周期算の解き方｜○番目は周期でわった余りで決まる理由・余り0の注意・ご石・数字の並び・曜日の例題【中学受験】

うかるくん

わり算の余りが0のときは、周期の何番目になるの？

合格先生

余り0は、ちょうど何周か終わったところだ。だから周期の最後と同じになるぞ。

周期算の公式

周期算は、同じ並び方がくり返し出てくる問題です。くり返しの1まとまりを周期といいます。ご石の並び、数字の並び、曜日、循環小数、かけ算の一の位などが代表です。

なぜ「余り」で決まるのか

周期の長さを $p$ とします。1番目から $p$ 番目が1周目、$p+1$ 番目から $2p$ 番目が2周目、…と区切ると、どの周も中身はまったく同じです。

$N$ 番目を $p$ でわって、商が $q$、余りが $r$ とすると

これは「$q$ 周ぴったり終わって、さらに $r$ 個進んだところ」という意味です。

• $r\ge1$ なら、$N$ 番目は $q+1$ 周目の $r$ 番目。どの周も同じ並びなので、周期の $r$ 番目と同じものです。
• $r=0$ なら $N=p\times q$ で、ちょうど $q$ 周目の最後（$p$ 番目）です。「0番目」はないので、ここをまちがえないようにします。

$N$ 番目までの合計も同じ考えで、「$q$ 周分」と「余りの $r$ 個分」に分けて数えます。

曜日は7日で1周する周期です。7日後・14日後…は同じ曜日なので、$d$ 日後の曜日は、$d$ を7でわった余り $r$ 日後の曜日と同じです。ここで使うのは「何日目か」ではなく日数の差です（1日から25日までは $25-1=24$ 日後）。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

余り0を「0番目」と考えるのはまちがいだ。0番目はないから、周期の最後と考えよう。

• 余り0を「0番目」と考える：余りが0のときは周期の最後。
• 曜日で日付そのものをわる：25日の曜日は「25÷7」ではなく、1日からの差「(25−1)÷7」で考える。
• 周期の始まりを見落とす：最初の何個かがくり返しに入らない並び（例：2, 1, 4, 7, 4, 7, 4, 7, …）は、その分を先に引いてからわる。

練習問題

うかるくん

まず、1周期が何個かを見つけるぞ。

1. 中学受験 赤、青、黄、青、赤、青、黄、青、…と旗が並んでいます。30 番目の旗は何色ですか。
   答えと解説を見る

   周期は4個。$30\div4=7$ 余り $2$ なので周期の2番目で、青
2. 中学受験 $2\div7$ を小数で表したとき、小数第 50 位の数字は何ですか。
   答えと解説を見る

   $2\div7=0.285714285714\cdots$ で「285714」の6個がくり返す。$50\div6=8$ 余り $2$ なので2番目の 8
3. 中学受験 3 を 2026 回かけた数の一の位の数字は何ですか。
   答えと解説を見る

   一の位は 3, 9, 7, 1 の4個がくり返す。$2026\div4=506$ 余り $2$ なので2番目の 9

関連する公式

• 日暦算（曜日・日付の計算）
• 植木算
• 群数列（区切って何番目かを考える）
• 整数の性質（余り）
• 有理数・無理数・循環小数

よくある質問

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