周期とは？意味と三角関数の周期の求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

周期とは？意味と三角関数の周期の求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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周期とは

同じ形がくり返すまでの間かくのことです。関数 f(x)f(x) で、すべての xx について f(x+p)=f(x)f(x+p)=f(x) となる 00 でない数 pp を周期といい、ふつうは正で最小のものをさします。y=sin⁡xy=\sin x の周期は 2π2\pi です。

読み方：しゅうき／英語：period／習う学年：数学Ⅱ（三角関数）。くり返しの考え方は中学受験の周期算でも使う

うかるくん

うかるくん

sin⁡2x\sin 2x の周期って、2π2\pi の2倍で 4π4\pi ですか？

合格先生

合格先生

逆なんだ。xx が2倍の速さで進むから、波も2倍の速さでくり返す。だから周期は半分の π\pi だよ。

この用語のポイント

  • 周期 ＝ 同じ形がくり返すまでの間かく。f(x+p)=f(x)f(x+p)=f(x)
  • sin⁡x\sin x・cos⁡x\cos x は 2π2\pi、tan⁡x\tan x は π\pi、sin⁡kx\sin kx は 2π∣k∣\dfrac{2\pi}{|k|}
  • ふつう「周期」は正で最小のものをさす

やさしく言うと

周期は「同じことがくり返すまでの間かく」です。身近なくり返しで考えてみましょう。

  • 曜日：月曜日の 7 日後は、また月曜日。曜日の周期は 7 日です。
  • 時計：長い針は 60 分で 1 周してもとの位置にもどります。長い針の周期は 60 分です。
  • 季節：春・夏・秋・冬は、だいたい 1 年でひとめぐりします。信号機の色の変わり方も、決まった時間でくり返します。
1 日が月曜日なら… 1日月2日火3日水4日木5日金6日土7日日8日月9日火10日水11日木12日金13日土14日日15日月16日火17日水18日木19日金20日土21日日 1 日・8 日・15 日が月曜日 → 7 日ごとにくり返す（周期 7 日）
1 日・8 日・15 日が月曜日。曜日は 7 日ごとにくり返す

数学では、グラフが横に pp だけずらすと、ぴったり重なるとき、pp を周期といいます。y=sin⁡xy=\sin x は 2π2\pi ずらすと重なるので、周期は 2π2\pi です。

xy 1−1 π2π3π4π 2π 2π 2π ごとに同じ形 → 周期は 2π y ＝ sin x
y＝sin x は 2π ごとに同じ形がくり返す

まとめると、周期は「何ごとに同じになるか」の、その「何」にあたる数です。

周期がある関数・ない関数

○ 周期がある

  • y=sin⁡xy=\sin x、y=cos⁡xy=\cos x（周期 2π2\pi）
  • y=tan⁡xy=\tan x（周期 π\pi）
  • y=sin⁡2xy=\sin 2x（周期 π\pi）
  • y=sin⁡x+1y=\sin x+1（上にずらしても周期は 2π2\pi）
  • 曜日（周期7日）、時計の針（短い針は12時間）

× 周期がない

  • y=x2y=x^2（ずらしても重ならない）
  • y=2xy=2^x（どんどん大きくなる）
  • y=xsin⁡xy=x\sin x（波の高さが変わっていく）
  • y=xy=x（右に行くほど大きくなる）
  • y=sin⁡x+xy=\sin x+x（波打ちながら上がっていく）

周期がある関数は、グラフがどこまで行っても同じ形のくり返しです。少しでも大きくなったり、波の高さが変わったりすると、周期はありません。

三角関数の周期の求め方

関数周期メモ
y=sin⁡xy=\sin x、y=cos⁡xy=\cos x2π2\pi360° で1周
y=tan⁡xy=\tan xπ\pi180° でもとにもどる
y=sin⁡2xy=\sin 2xπ\pi2倍の速さでくり返す
y=sin⁡x2y=\sin\dfrac{x}{2}4π4\pi半分の速さ
y=sin⁡kxy=\sin kx（k≠0k\ne0）2π∣k∣\dfrac{2\pi}{|k|}xx の係数で割る

xx の係数が2倍になると、波は2倍の速さでくり返すので、周期は半分になります。

xy 1−1 π2π π y ＝ sin 2x（周期 π） y ＝ sin x（周期 2π）
y＝sin 2x の周期は π（sin x の半分）
サクラちゃん

サクラちゃん

y=3sin⁡xy=3\sin x や y=sin⁡x+2y=\sin x+2 も、周期は変わるんですか？

合格先生

合格先生

変わらないよ。前の 3 は波の高さ、うしろの +2+2 は上下の位置を変えるだけ。周期を変えるのは、xx にかかる係数だけなんだ。だから y=3sin⁡x+2y=3\sin x+2 の周期も 2π2\pi だよ。

また、y=sin⁡(x−π3)y=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) のように横にずらしただけのグラフも、周期は 2π2\pi のままです。周期を求めるときは、xx の係数だけを見ます。

算数の周期算

中学受験の算数では、くり返しを使う問題を周期算といいます。「今日が月曜日なら、100日後は何曜日？」は、100÷7=14100\div7=14 あまり 22 なので、月曜日から2日進んで水曜日です。くり返しの1まとまりを見つけて、あまりで考えるのがコツです。

赤・青・青・黄 のくり返し（4 個で 1 まとまり） 123456789101112 … 30 番目は？　30 ÷ 4 ＝ 7 あまり 2 7 まとまり（28 個）が終わって、次のまとまりの 2 番目 → 30 番目は 青
4 個で 1 まとまり。30÷4＝7 あまり 2 なので、30 番目は 2 番目と同じ青

あまりが 0 のときは、まとまりの最後と同じになります。たとえば 28 番目は 28÷4=728\div4=7 あまり 00 なので、4 番目と同じ黄色です。あまり 0 を「1 番目」とまちがえないようにしましょう。

ひらめいたハルちゃん

ハルちゃん

何個ごとにくり返すかを見つければ、周期算はかんたんだね！

テスト・入試ではこう出る

三角関数の周期は高校の数学Ⅱ（三角関数）で習います。くり返しの考え方は、中学受験の算数の周期算・日暦算でもよく出ます。よく出るのは次の形です。

  • y=sin⁡kxy=\sin kx、y=cos⁡kxy=\cos kx、y=tan⁡kxy=\tan kx の周期を求める（数学Ⅱ）。
  • グラフから周期を読みとり、式の係数を決める問題。
  • くり返しならぶ数や図形の「○番目は？」「○番目までの和は？」（算数）。
  • カレンダーの曜日を求める問題（日暦算）。

例題1（三角関数の周期）

関数 y=3sin⁡x3y=3\sin\dfrac{x}{3} の周期を求めなさい。

  1. y=3sin⁡x3y=3\sin\dfrac{x}{3} は sin⁡kx\sin kx の形で、k=13k=\dfrac13。
  2. 周期は 2π∣k∣=2π÷13=6π\dfrac{2\pi}{|k|}=2\pi\div\dfrac13=6\pi。
  3. 前の 3（波の高さ）は周期に関係しません。

答え　6π6\pi

例題2（周期算・曜日）

今日は水曜日です。50 日後は何曜日ですか。

  1. 曜日は 7 日ごとにくり返す（周期 7 日）。
  2. 50÷7=750\div7=7 あまり 11。7 週間（49 日）たつと、また水曜日。
  3. そこから 1 日進むので、木曜日。

答え　木曜日

机で勉強するハルちゃん

ハルちゃん

何ごとにくり返すかを見つけて、わり算のあまりを見る。これだけで解けちゃう！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

sin⁡2x\sin 2x の周期は 4π4\pi ではなく π\pi！ 係数で割るんだよ。

  • sin⁡2x\sin 2x の周期を 2π2\pi や 4π4\pi にする：sin⁡kx\sin kx の周期は 2π∣k∣\dfrac{2\pi}{|k|} なので、sin⁡2x\sin 2x の周期は π\pi です。係数でかけるのではなく割ります。
  • tan⁡x\tan x の周期を 2π2\pi にする：tan⁡x\tan x は π\pi ずらすと重なるので、周期は π\pi です。
  • 波の高さで周期が変わると思う：y=3sin⁡xy=3\sin x の周期は 2π2\pi のままです。前の係数は波の高さ（振幅）を変えるだけです。
  • 周期は1つだけと思う：2π2\pi が周期なら、4π4\pi、6π6\pi ずらしても重なります。ふつう「周期」というと、正で最小のものをさします（このページもこの意味で使います）。
  • 周期算で、あまり 0 を 1 番目にする：あまりが 0 なら、まとまりの最後と同じです。

ことばの由来

「周期」の「周」はひとまわり、「期」は決まった期間という意味で、「ひとまわりしてもとにもどるまでの期間」を表します。英語では period（ピリオド）といい、周期をもつ関数を periodic function（周期関数）といいます。

ミニ問題

問題1　「1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, …」と数がならんでいます。100 番目の数と、1 番目から 100 番目までの数の和を求めましょう。

答えと解き方を見る

100 番目は 1、和は 199 です。「1, 2, 3」の 3 個で 1 まとまり。100÷3=33100\div3=33 あまり 11 なので、33 まとまりのあとの 1 番目で 1。和は、1 まとまりの和 6 が 33 回で 6×33=1986\times33=198、残り 1 個の 1 をたして 199 です。

問題2　関数 y=tan⁡2xy=\tan 2x の周期を求めましょう。

答えと解き方を見る

π2\dfrac{\pi}{2} です。tan⁡x\tan x の周期は π\pi なので、xx の係数 2 で割って π2\dfrac{\pi}2。sin⁡\sin・cos⁡\cos とちがって、もとの周期が 2π2\pi ではなく π\pi であることに注意します。

問題3　関数 f(x)f(x) は、すべての xx で f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x) をみたし、f(1)=5f(1)=5 です。f(9)f(9) の値を求めましょう。

答えと解き方を見る

5 です。f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x) をくり返し使うと、f(9)=f(7)=f(5)=f(3)=f(1)=5f(9)=f(7)=f(5)=f(3)=f(1)=5。2 が周期なら、44 や 88 ずらしても値は同じです（9=1+89=1+8）。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

周期とはどういう意味ですか？

同じ形がくり返すまでの間かくのことです。関数では、f(x+p)＝f(x) がすべての x で成り立つ数 p を周期といい、ふつうは正で最小のものをさします。

sin2x の周期はいくつですか？

πです。sin kx の周期は 2π÷|k| なので、k＝2 のとき 2π÷2＝π になります。

tanx の周期は 2π ではないのですか？

tanx の周期は π です。π ずらすとグラフがぴったり重なります。

3sinx の周期は変わりますか？

変わりません。前の3は波の高さを変えるだけで、周期は2πのままです。周期を変えるのは x にかかる係数だけです。

周期算とは何ですか？

中学受験の算数で、くり返しを使って解く問題です。くり返しの1まとまりを見つけ、割り算のあまりで考えます。

周期は何年生で習いますか？

三角関数の周期は高校の数学Ⅱで習います。くり返しの考え方は、中学受験の算数の周期算でも使います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（三角関数）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦