関数とは？意味と見分け方・f(x)をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

関数とは？意味と見分け方・f(x)をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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関数とは

2つの量 x,yx, y があって、xx の値を1つ決めると、yy の値がただ1つに決まるとき、「yy は xx の関数である」といいます。比例 y=2xy=2x や y=x2y=x^2 などが関数です。

読み方：かんすう／英語：function／習う学年：中学1年（比例・反比例）、数学Ⅰで f(x) の書き方

うかるくん

うかるくん

y=x2y=x^2 って、x=2x=2 と x=−2x=-2 で同じ yy になるのに、関数なんですか？

合格先生

合格先生

うん、関数だよ。大事なのは1つの xx から yy が1つだけ出ること。ちがう xx から同じ yy が出るのはOKなんだ。

この用語のポイント

  • xx を1つ決めると yy がただ1つに決まるとき、yy は xx の関数
  • ちがう xx から同じ yy はOK。1つの xx から yy が2つはだめ
  • 高校では f(x)f(x) と書く。f(3)f(3) は「x=3x=3 のときの値」

やさしく言うと

関数は、入れた数に対して、出てくる数がただ1つに決まる「しくみ」です。身近なところにたくさんあります。

  • 自動販売機：ボタンを1つ押すと、決まった飲み物が1本出てきます。同じボタンなのに日によってちがう飲み物が出たら困りますね。
  • 買い物の代金：1個 80 円のりんごを xx 個買うと、代金 yy 円は 80x80x 円に決まります。
  • 時刻と気温：ある日のある時刻の気温は1つに決まります。式で表せなくても、記録すれば表やグラフになります。

まとめると、xx を1つ決めると yy が1つに決まる関係が関数です。

入れる x ＝ 3 関数 f 2倍して1をたす f(x) ＝ 2x ＋ 1 出てくる y ＝ 7 x を1つ決めると、y がただ1つに決まる
関数は、x を入れると y が1つ出てくる箱のようなもの
指さして説明するうかるくん

うかるくん

「x を決めたら y が1つ」。これさえ守っていれば、式がなくても関数なんだ！

関数になるもの・ならないもの

○ yy は xx の関数

  • 1個80円のりんごを xx 個買ったときの代金 yy 円（y=80xy=80x）
  • 1辺 xx cmの正方形の面積 yy cm²（y=x2y=x^2）
  • 時刻 xx と、そのときの気温 yy（式はなくても1つに決まる）
  • 分速 60 m で xx 分歩いたときの道のり yy m（y=60xy=60x）
  • 面積 12 cm² の長方形のたて xx cm と横 yy cm（y=12xy=\dfrac{12}{x}）
  • y=5y=5（xx に関係なく yy は 5 の1つ）

× yy は xx の関数ではない

  • 身長 xx cmの人の体重 yy kg（同じ身長でも体重はいろいろ）
  • 自然数 xx の約数 yy（x=6x=6 なら yy は 1, 2, 3, 6）
  • x=y2x=y^2 をみたす yy（x=4x=4 なら y=±2y=\pm2）
  • 周の長さ xx cm の長方形の面積 yy（形によって変わる）
  • 絶対値が xx の数 yy（x=3x=3 なら y=±3y=\pm3）
  • 年れい xx 才の人の身長 yy cm

右の列は、どれも1つの xx に対して yy がいくつもあるものです。左の最後の y=5y=5 のように、yy が xx によって変わらなくても、1つに決まるので関数です。

「ただ1つ」を図で見る

大事なのは「1つの xx に、yy が1つ」です。ちがう xx から同じ yy が出るのはかまいません（y=x2y=x^2 では x=2x=2 でも x=−2x=-2 でも y=4y=4）。だめなのは、1つの xx から yy が2つ以上出ることです。

関数である y ＝ x² 関数ではない x ＝ y² をみたす y −2−11214 14−2−112 xy xy どの x からも矢印は1本 1つの x から矢印が2本
左はどの x からも矢印が1本なので関数。右は1つの x から2本出るので関数ではない
指さして説明するうかるくん

うかるくん

x を1つ決めると y がただ1つ決まる。それが関数の決まりだ！

グラフで見分ける

グラフがあれば、たての線（yy 軸に平行な線）を引いて調べられます。どこにたての線を引いても、グラフと交わる点が1つ以下なら関数です。2つ以上で交わるところがあれば、関数ではありません。

y ＝ x² 円 x² ＋ y² ＝ 4 たての線と交わるのは 1点 → 関数 たての線と 2点 で交わる → 関数ではない
たての線と2点で交わる円は、y が x の関数になっていない
サクラちゃん

サクラちゃん

円のグラフは関数じゃないんですか？ ちゃんと式もあるのに…

合格先生

合格先生

式があることと、関数であることは別なんだ。円は1つの xx に yy が2つあるから関数ではない。でも上半分だけ、下半分だけに分ければ、それぞれは関数になるよ。

反対に、式で書きにくいものでも関数になります。たとえば「1時間ごとに 200 円」の駐車場の料金は、グラフが階段の形になりますが、どの時間にも料金が1つに決まるので関数です。

123200400600 x（時間）y（円）0 1時間ごとに200円 ふくまない ふくむ x＝1 なら 200円（1つ）
駐車場の料金。式で書きにくくても、x を決めると y が1つなので関数

中学・高校で習う関数

関数式の例習う学年
比例y=2xy=2x中学1年
反比例y=6xy=\dfrac{6}{x}中学1年
一次関数y=2x+1y=2x+1中学2年
2乗に比例する関数y=x2y=x^2中学3年
2次関数y=x2−4x+3y=x^2-4x+3数学Ⅰ
三角関数・指数関数・対数関数y=sin⁡xy=\sin x、y=2xy=2^x、y=log⁡2xy=\log_2 x数学Ⅱ
分数関数・無理関数y=1x−1y=\dfrac{1}{x-1}、y=xy=\sqrt{x}数学Ⅲ

f(x) の書き方

高校では、関数を f(x)f(x) と書きます。f(x)=2x+1f(x)=2x+1 のとき、x=3x=3 を入れた値を f(3)f(3) と書き、f(3)=2×3+1=7f(3)=2\times3+1=7 です。ff は英語の function（関数）の頭文字です。関数が2つ以上あるときは、g(x)g(x)、h(x)h(x) のように別の文字を使います。

xx がとる値の範囲を定義域、yy がとる値の範囲を値域といいます。たとえば、上の駐車場の料金を3時間までと決めれば、定義域は 0<x≦30<x\leqq3、値域は「200, 400, 600」です。

テスト・入試ではこう出る

中学1年では「yy は xx の関数といえるか」を選ぶ問題がよく出ます。高校では f(x)f(x) の記号を使って値を求める問題、定義域から値域を求める問題、最大値・最小値を求める問題が出ます。どれも「xx を決めると yy が1つ」という意味がわかっていれば迷いません。

例題1（f(x) の値）

f(x)=x2−3x+1f(x)=x^2-3x+1 のとき、f(2)f(2) と f(−1)f(-1) を求めなさい。

  1. f(2)f(2) は「xx に 2 を入れた値」：f(2)=22−3×2+1=4−6+1=−1f(2)=2^2-3\times2+1=4-6+1=-1。
  2. f(−1)f(-1) は「xx に −1-1 を入れた値」。負の数はかっこをつけて入れる：f(−1)=(−1)2−3×(−1)+1=1+3+1=5f(-1)=(-1)^2-3\times(-1)+1=1+3+1=5。

答え　f(2)=−1f(2)=-1、f(−1)=5f(-1)=5

例題2（関数といえるか）

1時間ごとに 200 円の駐車場（3時間まで）で、とめた時間を xx 時間、料金を yy 円とします。（1）x=2.5x=2.5 のときの yy を求めなさい。（2）yy は xx の関数といえますか。（3）xx は yy の関数といえますか。

  1. （1）2.5 時間は「2時間より長く3時間まで」なので 600 円。
  2. （2）どの時間 xx にも料金 yy はただ1つに決まるので、yy は xx の関数である。
  3. （3）反対に、料金が 400 円のとき、時間は 1.5 時間も 2 時間もありえて、1つに決まらない。だからxx は yy の関数ではない。

「どちらを先に決めるか」で、関数かどうかが変わることがあります。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「1つの xx に yy が1つ」が条件！ 同じ yy が何回出てもかまわないよ。

  • 1つの xx に yy が2つ以上あっても関数だと思う：x=y2x=y^2 をみたす yy は、x=4x=4 で y=2,−2y=2, -2 の2つになるので、yy は xx の関数ではありません。
  • ちがう xx から同じ yy が出ると関数ではないと思う：y=x2y=x^2 のように、x=2x=2 と x=−2x=-2 で同じ yy になっても関数です。
  • 式で書けないと関数ではないと思う：時刻と気温のように、表やグラフで yy が1つに決まっていれば関数です。
  • f(x)f(x) を「ff かける xx」と読む：f(x)f(x) は「xx を入れたときの値」です。f(3)f(3) は f×3f\times3 ではありません。
  • 負の数をかっこなしで入れる：f(x)=x2f(x)=x^2 で f(−3)f(-3) は (−3)2=9(-3)^2=9 です。−32=−9-3^2=-9 としないように、かっこをつけて入れます。

ことばの由来

関数は、昔は「函数」と書きました。今の教科書では「関数」と書きます。英語では function（ファンクション）で、ふだんの英語では「はたらき・機能」という意味です。「xx を入れると yy を出す」というはたらきそのものを表すことばです。

ミニ問題

問題1　次のうち、yy が xx の関数であるものをすべて選びましょう。（ア）半径 xx cm の円の面積 yy cm²　（イ）絶対値が xx である数 yy（x>0x>0）　（ウ）1本 xx 円の鉛筆を 5 本買ったときの代金 yy 円

答えと解き方を見る

（ア）と（ウ）です。（ア）は y=πx2y=\pi x^2、（ウ）は y=5xy=5x で、xx を決めると yy が1つに決まります。（イ）は、たとえば x=3x=3 のとき y=3y=3 と y=−3y=-3 の2つがあるので、関数ではありません。

問題2　f(x)=3x−5f(x)=3x-5 で、f(a)=7f(a)=7 となる aa の値を求めましょう。

答えと解き方を見る

a=4a=4 です。f(a)=3a−5f(a)=3a-5 なので、3a−5=73a-5=7 より 3a=123a=12、a=4a=4。たしかめ：f(4)=12−5=7f(4)=12-5=7。

問題3　f(x)=2x+1f(x)=2x+1 の定義域が 1≦x≦31\leqq x\leqq3 のとき、値域を求めましょう。

答えと解き方を見る

3≦y≦73\leqq y\leqq7 です。f(x)=2x+1f(x)=2x+1 は xx が増えると yy も増える関数なので、いちばん小さいのは f(1)=3f(1)=3、いちばん大きいのは f(3)=7f(3)=7 です。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

関数とは簡単にいうと何ですか？

xを1つ決めるとyがただ1つに決まる関係のことです。xを入れるとyが1つ出てくる箱のようなものと考えるとわかりやすいです。

関数かどうかはどう見分けますか？

1つのxに対してyが2つ以上ある場合があれば関数ではありません。グラフなら、たての線を引いて2点以上で交わるところがないかを調べます。

式がなくても関数ですか？

関数です。時刻と気温のように、表やグラフでxに対してyが1つに決まっていれば、式で書けなくても関数です。

y＝x²は関数ですか？

関数です。xを1つ決めるとyは1つに決まります。x＝2とx＝−2で同じyになりますが、それはかまいません。

関数と函数は同じですか？

同じ意味です。昔は「函数」と書きましたが、今の教科書では「関数」と書きます。

関数は何年生で習いますか？

「関数」という言葉は中学1年の比例・反比例で習います。f(x)という書き方は高校の数学Ⅰで習います。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 C 関数（比例、反比例）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（2次関数）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦