ライプニッツは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜微分積分・∫の記号・2進法

ライプニッツは何をした人？（業績をひとことで）

ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（1646〜1716年）は、ドイツの数学者・哲学者・法律家・外交官です。微分積分学をニュートンとは別に作り上げ、いま教科書で使われているdx・dy/dx・∫（インテグラル）の記号を考えた人として知られます。さらに、0と1だけで数を表す2進法を整理して広め、計算機を設計し、「考えることを計算にできないか」という記号論理学の夢を最初に語った人でもあります。数学だけでなく、哲学・法学・歴史学・物理学・外交と、なんでもこなす「最後の万能人」ともよばれます。

受験生にとってのライプニッツは、まず「∫ と dx と dy/dx の生みの親」です。高校数学Ⅱ・Ⅲで習う微分の公式（xⁿ・積・合成）や積分の公式と微分積分学の基本定理は、ライプニッツの書き方で書かれています。また、情報の授業で習うn進法（2進法・10進法）の意味も、ライプニッツが体系的に論じた分野です。大学に入ると、積の微分を何回もくり返すライプニッツの公式や、ライプニッツ級数にも出会います。

ライプニッツの生涯と年表

ライプツィヒの大学教授の家に生まれた

ライプニッツは1646年7月1日（現在のグレゴリオ暦）、ドイツ東部の都市ライプツィヒで生まれました。父は大学の道徳哲学の教授でしたが、ライプニッツが6歳のときに亡くなります。その後、父の残した大きな書斎で、少年は本を片っぱしから読みました。ラテン語やギリシャ語の古典、歴史、神学などを独学で身につけたと伝えられます。

14歳で大学へ、20歳で法学の博士に

1661年、ライプニッツは14歳でライプツィヒ大学に入学します。最初に学んだのは哲学と法律で、数学は十分に学んでいませんでした。1666年には、まだ20歳でしたが、法学の博士号を求めます。ところが、年が若すぎることなどを理由に地元の大学では認められず、アルトドルフ大学で博士号を得たと伝えられます。大学に残らないかと誘われても断り、外交官・政治家の道を選びました。

パリでの数学修行

1672年、ライプニッツは外交の仕事でパリに向かいます。そこで出会ったのが、オランダの科学者ホイヘンス（振り子時計の発明者）です。ライプニッツはホイヘンスの教えを受け、はじめて本格的に数学を学びました。わずか数年で、微分積分学の基本を作り上げたというのですから、驚くべき速さです。1673年にはロンドンを訪れ、王立協会（イギリスの学者の集まり）に足し算・引き算・かけ算・割り算ができる計算機の試作品を見せて、会員に選ばれました。

ハノーファーの宮廷で

1676年、ライプニッツはドイツのハノーファー公に仕えるため、パリを去ります。以後、亡くなるまで約40年間、ハノーファーの宮廷で図書館長・顧問・歴史編さん者などをつとめました。1684年には、微分法をはじめて印刷して発表し、1686年には積分法も発表します。1700年にはベルリンに科学アカデミーを作り、初代の総裁になりました。ロシアのピョートル大帝にも会い、学問の集まりを作るように助言したといわれます。

晩年：ニュートンとの争いと孤独

晩年のライプニッツは、ニュートンとの「微分積分の先取権争い」に巻きこまれ、つらい立場に置かれました。仕えていたハノーファー公がイギリス王ジョージ1世になった（1714年）とき、ライプニッツはロンドンへ連れて行ってもらえず、ハノーファーに取り残されたといわれます。1716年11月14日、痛風などの病気で70歳で亡くなりました。葬儀に出た人はごくわずかだった、と伝えられています。

ライプニッツの主な業績をやさしく解説

ライプニッツの名前がつく公式・定理・用語

ライプニッツの名前がつく公式や、ライプニッツが作った記号をまとめました。

• ライプニッツの記号：dx、dy/dx、∫ など。→ 微分の公式（xⁿ・三角関数・指数関数）と積分の公式一覧
• ライプニッツ級数：$\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots$。円周率を表す無限の和。
• ライプニッツの公式（積の高階微分）：2つの関数の積を $n$ 回微分する公式。$(fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$。二項定理にそっくりの形です。たとえば2回微分なら $(fg)''=f''g+2f'g'+fg''$。→ 順列・組合せの公式（二項係数）
• ライプニッツの判定法：プラスとマイナスが交互にならぶ級数が、項の大きさが小さくなっていくとき収束する、という定理。
• ライプニッツの調和三角形：パスカルの三角形に似た、分数の三角形。
• 関数（function）・座標（coordinate）という言葉も、ライプニッツが数学に持ちこんだと言われます。→ 関数とは
• 哲学ではモナド（単子）・充足理由律・予定調和などが有名です。

ライプニッツの逸話と名言

ニュートンとの「先取権争い」

微分積分学を先に思いついたのはどちらか。この問題は、18世紀のヨーロッパを二つに割りました。ニュートンは1660年代の半ばに「流率法」を考えていましたが、論文を出さずにしまっておきました。ライプニッツは1675年ごろに独自に考えをまとめ、1684年に先に印刷して発表しました。のちに、ニュートンの支持者が「ライプニッツはニュートンの原稿を見て盗んだのでは」と言い出し、イギリスの王立協会の委員会（ニュートン自身が会長）が1713年に「ライプニッツが悪い」という報告を出しました。

ところが、いまの数学史では、2人は別々に、ほぼ同じ時期に考えついたと見るのが主流です。ニュートンのほうが考え自体は早く、ライプニッツのほうが発表と記号が早く、また使いやすかったといわれます。争いの結果、イギリスの数学者はニュートンの点の記号にこだわり、大陸のほうが微分積分学の発展で先に進みました。イギリスが dx の記号に切り替えたのは、1800年代に入ってからです。

「可能な世界のうちで最善の世界」

ライプニッツは哲学者としても有名で、1710年の本『神義論（弁神論）』で、次のような考えを述べました。

われわれの世界は、可能なすべての世界のうちで最善のものである。

世界に悪いことがあるのに、なぜ「最善」なのか。この考えは当時から批判を受け、のちにフランスの作家ヴォルテールが小説『カンディード』（1759年）で笑い話にしたことでも知られます。ただ、ライプニッツ自身は、本気で理由を考え抜いたとされます。

数学の外でも大活躍

ライプニッツは、鉱山の水をくみ出す風車の工夫に取り組んだり、法律の本を書いたり、ドイツの国同士の外交に走り回ったりと、実にたくさんの仕事をしました。何通もの手紙（残っているものだけで1万5000通以上ともいわれます）をヨーロッパ中の学者に送り、考えを交換していました。ハノーファーでは、ひとつの椅子に座ったまま、何日もほとんど動かずに書いていた、と伝えられています。

計算してみよう（Calculemus）。

ハノーファーでの最期

最期のようすは悲しいものだったと伝えられます。仕えていた宮廷からは「歴史の本がまだできていない」と冷たく見られていました。葬儀にはほとんど人が参列しなかったという話が有名ですが、どこまで正確なのかは、はっきりしない部分もあります。いずれにせよ、死後に評価が大きく高まった人物であることは確かです。

受験・勉強とライプニッツのつながり

中学受験：2進法・n進法

中学受験の算数では、2進法そのものを問う問題がときどき出ます。「重さをはかるおもり（1g・2g・4g・8g……）の組み合わせ」「ランプのつくパターン」などは、ライプニッツの2進法の考え方です。「何gのおもりを使えば1〜15gが全部はかれるか」は、1・2・4・8の4個で足りる、という答えになります。

高校受験：規則性・文字式の「見える化」

高校受験で直接ライプニッツの名前は出ませんが、1次関数の「変化の割合」は微分の考えそのものです。$y=ax+b$ の $a$ は、$x$ が1増えたときの $y$ の増えかたで、まさに「dy÷dx」のかんたんな場合です。変化の割合をきちんと言えるようにしておくと、高校の微分がすっと入ります。

大学受験：微分・積分・数列の極限

• 微分：接線の傾き、増減表、極値。微分と増減・極値の問題は、毎年のように出る基本問題です。
• 積分：面積・体積。置換積分や部分積分の問題では、dx の書き方がそのまま計算のヒントになります。
• 2進法・n進法：整数問題や情報で出題されます。
• 無限級数：数学Ⅲの「数列の極限」「無限級数」。

京都大学・東京大学などの難関大の微積分の問題は、京大理系数学の出題分析（積分・微分の出題頻度）を見ると、毎年のように出題されることが分かります。

勉強法として：記号の意味を言葉にする

ライプニッツの記号の便利さは、意味が見えることです。dx は「ほんの少しの x」、∫ は「足し合わせ」、dy/dx は「変化の割合」。微分や積分の公式を、式の形だけで暗記すると忘れやすくなります。「何をしている計算か」を図や言葉にしておくと、応用問題でも手が止まりません。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も読んでください。数学の記号の読み方は数学でよく使う記号の意味一覧（∫・Σ・∞）にまとめてあります。

ライプニッツがその後の数学にあたえた影響

• 微分積分学：ライプニッツの記号と書き方は、ベルヌーイ兄弟（ヤコブ・ベルヌーイ）、ロピタル、オイラーなどに受けつがれ、18世紀の数学を大きく発展させました。いまの教科書もライプニッツの記号を使っています。
• 解析学の厳密化：「dx は本当は何なのか」という疑問が、19世紀のコーシーやワイエルシュトラスによる極限の厳密な定義につながりました。
• 情報科学：2進法と記号論理の考え方は、ブールの論理代数（ブールの論理代数）、チューリング、フォン・ノイマンを経て、コンピュータの設計につながりました。
• 記号の工夫：かけ算の点（・）や、割り算のコロン（：）を提案したのもライプニッツです（1698年ごろの手紙）。
• 哲学：モナドや「充足理由律（すべてのものには理由がある）」は、のちの哲学者カントなどに大きな影響をあたえました。

現在、世界の数学者が使う記号の多くは、ライプニッツが「あとの人のために」と考えて決めたものです。ドイツのハノーファーには、ライプニッツの名前をとった大学（ライプニッツ大学ハノーファー）があります。

ライプニッツに挑戦！練習問題

ライプニッツと関係する数学者

• ニュートン（微分積分学を別々に作ったライバル）：先取権争いは、数学史で最も有名な争いの一つです。
• ホイヘンス（パリでの数学の師）：ライプニッツに数学を教えた人です。
• パスカル（計算機の先輩）：その遺稿を読み、ライプニッツも影響を受けました。
• ヤコブ・ベルヌーイ（微分積分学を広めた弟子）・ロピタル（最初の微分の教科書を書いた人）：ライプニッツの方法を広めました。
• デカルト（座標の考えをひらいた人）・フェルマー（接線の方法の先がけ）：ライプニッツが若いころに学んだ人たちです。
• 関孝和（日本の行列式の発見者）：同じ時代に、遠くはなれた日本で数学を築きました。
• オイラー（ライプニッツの記号を受けついだ大数学者）：ライプニッツの解析学を完成させていった人です。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、用語の意味を調べるなら数学用語辞典（微分・積分・極限の意味）もどうぞ。

16〜17世紀の数学者

• タルタリア（1499ごろ〜1557）
  3次方程式の解き方を見つけた（カルダノの公式のもと）
• カルダノの業績と生涯
  『アルス・マグナ』で3次・4次方程式の解の公式を発表。確率の研究の先がけ
• ヴィエト（1540〜1603）
  文字を使った式（記号代数）を広めた。解と係数の関係
• ネイピアの業績と生涯
  対数を発明し、大きな数のかけ算を足し算に変えた。ネイピアの骨
• ケプラーの業績と生涯
  惑星の運動の3法則。たる（樽）の体積の研究は積分の先がけ
• デカルトの業績と生涯
  座標（x軸・y軸）で図形を式に。「我思う、ゆえに我あり」
• フェルマーの業績と生涯
  フェルマーの最終定理・フェルマーの小定理。本業は法律家のアマチュア数学者
• ウォリス（1616〜1703）
  無限大の記号 ∞ を使い始めた。ウォリスの公式（ウォリス積分）
• パスカルの業績と生涯
  パスカルの三角形・確率論。計算機（パスカリーヌ）。「人間は考える葦である」
• ホイヘンス（1629〜1695）
  確率論の最初の本。振り子時計・光の波の性質
• 関孝和の業績と生涯
  行列式の考え・ベルヌーイ数を西洋とほぼ同じころ発見。「算聖」とよばれる
• ニュートンの業績と生涯
  微分積分（流率法）・二項定理の一般化・万有引力

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  公式・証明・例題を1つずつ
• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
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• 理系時計（GeekClock）の数式の意味
  階乗・2進数・黄金比
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