n進法とは？意味と変換のしかたをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

2進法って、0 と 1 しかないのに、どうやって大きな数を表すの？

合格先生

2個そろったら位を上げるんだ。位は 1、2、4、8…と2倍ずつ大きくなるから、$1101_{(2)}$ は $8+4+1=13$。0 と 1 だけで、どんな数も表せるんだよ。

やさしく言うと

n進法は、$n$ 個ずつまとめるたびに、位を1つ上げる数の表し方です。ふだん使っている数は、10個ずつまとめて位が上がる10進法です。2個ずつなら2進法、5個ずつなら5進法です。

身近なたとえで考えてみましょう。

• 時計：60秒で1分、60分で1時間。時間の数え方は、60ずつで位が上がる60進法です。
• えんぴつのダース：12本で1ダース、12ダースで1グロス。12ずつまとめる数え方は12進法の考え方です。
• コンピュータ：電気が「つく・消える」の2つだけで数を表すので、0 と 1 だけを使う2進法を使っています。

つまり、n進法は「何個ずつまとめるか」を $n$ に決めた、位取りのルールです。$n$ を底（てい）ともいいます。

n進法の例

n進法で使う数字は、0 から $n-1$ までです。$n$ 個そろったら、くり上がって上の位に1をたすからです。何進法かを示すために、$1101_{(2)}$ のように右下に底を書きます。

図で見る：位の重み

10進法の $352$ は、$3\times100+5\times10+2\times1$ のことです。位は右から 1、10、100…と 10倍ずつ大きくなります。2進法では、位が 1、2、4、8…と 2倍ずつ大きくなります。

一般に、$n$ 進法の位は右から $n^0=1$、$n^1$、$n^2$、$n^3$、…です。いちばん右の位は $n^0=1$ であることに注意しましょう。

ハルちゃん

2進法の「10」は、10 じゃないんですか？

合格先生

そう、2進法の $10_{(2)}$ は「2 のまとまりが1つ、ばらが0」だから、10進法の 2 なんだ。同じ「10」でも、何進法かで表す数がちがう。だから右下に底を書くんだよ。

10進法との行き来

n進法 → 10進法は、各位の数字に位の重みをかけて足します。10進法 → n進法は、$n$ でわり続けて、余りを下から上へ読みます。

なぜ下から読むのでしょうか。最初にわったときの余りは「ばら」の数、つまり一の位だからです。2回目の余りは2の位、3回目は4の位…と、上の位ほどあとから出てきます。

まなぶくん

2進法の位は 1、2、4、8、16…！ 電球をつけていけば、どんな数も作れるんだ！

小数も表せます。2進法の小数点の右の位は $\dfrac12$、$\dfrac14$、…なので、$0.1_{(2)}=\dfrac12$、$0.11_{(2)}=\dfrac12+\dfrac14=\dfrac34$ です。

テスト・入試ではこう出る

中学受験の算数では「N進法」として、決まった数字だけを使う数の並びや、ふしぎな数え方の問題によく出ます。高校では数学A（数学と人間の活動）で記数法として習い、10進法との変換、n進法どうしの計算、何けたになるかなどが出ます。

まちがえやすい点

合格先生

右はしの位は $n$ じゃない！ $n^0=1$ の位から数えよう。

• いちばん右の位を $n$ にする：$1101_{(2)}$ を $1\times16+1\times8+0\times4+1\times2$ とするのは×。右はしは $n^0=1$ の位なので、$8+4+0+1=13$ です。
• 余りを上から読む：13 を2でわり続けたとき、余りを上から読んで $1011$ とするのは×。下から上へ読んで $1101$ です。
• $n$ 以上の数字を使う：2進法に 2、5進法に 5 は出てきません。$n$ 個そろったら、くり上がります。
• 底を書かない：$101$ だけでは、10進法の百一なのか、2進法の 5 なのか分かりません。$101_{(2)}$ のように底を書きます。
• n進法の計算でくり上がりをまちがえる：5進法の $4+3$ は「7」ではなく、5 で1くり上がって $12_{(5)}$ です。

ことばの由来

「進」は「位が上へ進む」という意味です。$n$ ずつで位が進むので n進法といいます。英語では base-n（ベース・エヌ）などといい、base は「もと・土台」という意味です。2進法は binary（バイナリ）、10進法は decimal（デシマル）とも呼ばれます。60進法は、古代メソポタミアで使われていたことが知られていて、いまの時計や角度の「分・秒」にその名残があります。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• n進法
• 整数の性質（約数の個数・倍数の判定）
• 合同式（mod の計算）

あわせて覚えたい用語

• 自然数・整数
• 余り
• 指数

よくある質問