自然数・整数とは？意味とちがい・0は自然数かをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

自然数・整数とは？意味とちがい・0は自然数かをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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自然数・整数とは

自然数は、ものを数えるときの 1,2,3,…1, 2, 3, \dots（正の整数）です。整数は、自然数に 0 と負の整数（−1,−2,…-1, -2, \dots）を足した数です。中学・高校では、0 は自然数に入れません。

読み方：しぜんすう・せいすう／英語：natural number / integer／習う学年：中学1年（正の数・負の数）。整数は小学校から使う

うかるくん

うかるくん

0 って自然数ですか？ 数えるときに「0個」って言いますよね？

合格先生

合格先生

中学・高校の数学では、0 は自然数に入れないよ。自然数は 1, 2, 3, … の正の整数。0 は整数だけど自然数じゃないんだ。

この用語のポイント

  • 自然数 ＝ 1, 2, 3, …（正の整数）
  • 整数 ＝ 負の整数・0・自然数
  • 中学・高校では 0 は自然数ではない（分野によって揺れあり）

やさしく言うと

自然数は、ものを数えるときに使う数です。「りんごが1個、2個、3個…」の 1, 2, 3, … が自然数です。

整数は、自然数に 0 と マイナスの数（−1,−2,−3,…-1, -2, -3, \dots）を足したものです。数直線でいうと、0 から左右に 1 ずつの目もりにある数が整数です。

−5−4−3−2−1012345 負の整数 自然数 （正の整数） 0 ぜんぶまとめて「整数」
右側の 1, 2, 3, … が自然数。0 と負の整数も入れると整数

マイナスの整数は、身のまわりでもよく使われています。

  • 気温：0℃より寒い日は、−3-3℃ のようにマイナスで表します。
  • ビルの階：地上の 1 階・2 階をプラス、地下 1 階・地下 2 階をマイナスと考えると、上下の階を 1 本の数直線にならべられます。
  • ゴルフのスコア：基準より少ない打数を −2-2 のように表します。
−5℃−3℃0℃5℃ 気温 −3℃ 3階＋32階＋21階＋1地面地下1階−1地下2階−2 地下は マイナスの階
0 より下（寒い・地下）を、負の整数で表す

まとめると、自然数は「数える数」、整数は「0 とマイナスもふくめた、目もりの上の数」です。

整数の例と、整数ではない数

○ 整数

  • 0、7、−7、−100
  • 63\dfrac{6}{3}（約分すると 2）
  • 9\sqrt9（＝3）、−4-\sqrt4（＝−2）
  • 2.02.0（小数で書いてあるが、値は 2）
  • (−2)2(-2)^2（＝4）

× 整数ではない数

  • 0.5、−1.2（小数）
  • 12\dfrac12、−53-\dfrac53（約分しても分数）
  • 2\sqrt2、π\pi
  • 72\dfrac{7}{2}（＝3.5）
  • −0.1-0.1（0 に近くても整数ではない）

見た目が分数や  \sqrt{\ } でも、計算すると 2 や 3 になるなら整数です。形ではなく値で判断します。

自然数と整数の関係

自然数は整数の一部です。整数は有理数の一部、有理数は実数の一部です。

整数 自然数 1, 2, 3, 4, … 100, 2026, … 0 −1, −2, −3, … −100, … 自然数に 0 と負の整数を足したもの 枠の外（整数ではない）： 0.5、−1.2、1/2、√2、π
整数の中に自然数がある

数を広げると、できる計算がふえます。自然数どうしの引き算 3−53-5 の答え −2-2 は自然数ではありませんが、整数なら引き算がいつでもできます。

数の範囲たし算かけ算引き算割り算
自然数○○×（3−5=−23-5=-2）×（3÷2=1.53\div2=1.5）
整数○○○×（3÷2=1.53\div2=1.5）

「○」は、答えがいつもその範囲に入ることを表します。割り算（0で割るのは除く）がいつもできるのは有理数まで広げたときです。

ハルちゃん

ハルちゃん

どうして、わざわざマイナスの数まで考えるの？

合格先生

合格先生

「3 − 5」の答えを出せるようにするためだよ。自然数だけだと、小さい数から大きい数は引けない。0 とマイナスの数を仲間に入れた整数なら、引き算がいつでもできるんだ。

指さして説明するまなぶくん

まなぶくん

自然数は、整数のうち正のものだけ。0やマイナスはふくまないよ！

整数のわり算と余り

整数の範囲では、わり切れないわり算を商と余りで答えます。小学校で習う「17 ÷ 5 ＝ 3 余り 2」がそれです。

17 個を 5 個ずつ分けると… 5 個5 個5 個 余り 3 つのまとまり 17 ＝ 5 × 3 ＋ 2 商は 3、余りは 2（余りは 0 以上 5 未満）
17 個を 5 個ずつに分けると、3 まとまりと余り 2

式で書くと 17=5×3+217=5\times3+2 です。余りは、わる数 5 より小さく、0 以上になるように決めます。高校の数学A「整数の性質」では、この形 a=bq+ra=bq+r（0≦r<b0\leqq r<b）を使って、偶数・奇数や倍数の性質を調べます。たとえば、偶数は「2 でわった余りが 0 の整数」、奇数は「余りが 1 の整数」です。

0 は自然数？

日本の中学・高校の数学では、0 は自然数に入れません。自然数は 1,2,3,…1, 2, 3, \dots（正の整数）です。このページもこの定義を使います。

ただし、国や分野によって定義に揺れがあります。数学の国際規格（ISO 80000-2）やコンピュータの分野では、0 を自然数に入れることが多いです。大学の本では、最初に「0 を含むか」を書いてあることがあります。

まぎらわしいときは、「正の整数」「0 以上の整数（負でない整数）」と言いかえると、意味がはっきりします。

テスト・入試ではこう出る

「自然数」ということばは中学1年の「正の数・負の数」で習います。整数は小学校から使い、高校の数学Aで「整数の性質」としてくわしく学びます。よく出るのは次の形です。

  • いくつかの数から、自然数・整数を選ぶ（9\sqrt9 や 84\dfrac84 に注意）。
  • 「−3.5<x<2.4-3.5<x<2.4 をみたす整数 xx は何個？」のような個数を数える問題。
  • 「12n\sqrt{12n} が自然数になる nn」など、平方根と組み合わせた問題（中学3年）。
  • 余りや倍数を使った整数の性質の証明（数学A）。

例題1（数の分類）

次の数のうち、自然数と整数をそれぞれすべて選びなさい。　−3-3、00、2.52.5、84\dfrac84、9\sqrt9、−12-\dfrac12、77

  1. 計算できるものは計算して、値で考える：84=2\dfrac84=2、9=3\sqrt9=3。
  2. 自然数（正の整数）は：84\dfrac84、9\sqrt9、77。
  3. 整数は、それに 0 と負の整数を加えて：−3-3、00、84\dfrac84、9\sqrt9、77。
  4. 2.52.5 と −12-\dfrac12 は整数ではありません。

答え　自然数：84\dfrac84、9\sqrt9、77　整数：−3-3、00、84\dfrac84、9\sqrt9、77

例題2（個数を数える）

−3.5<x<2.4-3.5<x<2.4 をみたす整数 xx は何個ありますか。また、そのうち自然数は何個ですか。

  1. 数直線をかいて、−3.5-3.5 と 2.42.4 の間にある目もりを数える。
  2. 整数は −3, −2, −1, 0, 1, 2-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 の 6 個（−4-4 は −3.5-3.5 より小さいので入らない）。
  3. そのうち自然数は 1, 21,\ 2 の 2 個。

答え　整数は 6 個、自然数は 2 個

机で勉強するまなぶくん

まなぶくん

まず計算して「値」にする。それから数直線で数えれば、まちがえないね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「0 は自然数」「−3 は自然数」はどちらも×！ 自然数は 1 から始まる正の整数だよ。

  • 0 を自然数に入れる：中学・高校では 0 は自然数ではありません。「0 以上の整数」と「自然数」は別です。
  • 負の数を自然数に入れる：−3-3 は整数ですが、自然数ではありません。自然数は正の整数だけです。
  • 形だけで判断する：42=2\dfrac{4}{2}=2 や 16=4\sqrt{16}=4 は整数です。逆に、0.5 は小数なので整数ではありません。
  • 個数を数えるとき 0 を忘れる：−2-2 から 22 までの整数は、−2, −1, 0, 1, 2-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 の 5 個です。0 をぬかして 4 個とするまちがいが多いです。
  • 負の整数の大小を逆にする：−5-5 と −2-2 では、−2-2 のほうが大きい数です。数直線で右にあるほど大きいと考えます。

ことばの由来

自然数は英語で natural number（ナチュラル・ナンバー）といい、ものを数えるときに「自然に」出てくる数、という意味です。整数は英語で integer（インテジャー）で、ラテン語の「欠けていない、まるごとの」という意味のことばがもとになっています。小数や分数のように「欠けた部分」がない数、というイメージです。

ミニ問題

問題1　−2-2 から 33 までの整数を、すべてたすといくつですか。

答えと解き方を見る

3 です。整数は −2, −1, 0, 1, 2, 3-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 の 6 個。−2-2 と 22、−1-1 と 11 が打ち消しあうので、残りは 0+3=30+3=3 です。0 も整数なので、数え忘れないようにしましょう。

問題2　1 から 50 までの自然数のうち、3 の倍数は何個ありますか。

答えと解き方を見る

16 個です。50÷3=1650\div3=16 余り 22 なので、3×13\times1 から 3×16=483\times16=48 までの 16 個です。

問題3　12n\sqrt{12n} が自然数になるような、もっとも小さい自然数 nn を求めましょう。

答えと解き方を見る

n=3n=3 です。12=22×312=2^2\times3 なので、12n12n が「ある自然数の 2 乗」になるには、3 をもう 1 つかければよく、12×3=36=6212\times3=36=6^2。このとき 36=6\sqrt{36}=6 で自然数です。n=1, 2n=1,\ 2 では 12\sqrt{12}、24\sqrt{24} となり自然数になりません。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

0は自然数ですか？

日本の中学・高校の数学では、0は自然数に入れません。自然数は1, 2, 3, …の正の整数です。ただし、国際規格やコンピュータの分野では0を入れることも多く、定義に揺れがあります。

自然数と整数のちがいは何ですか？

自然数は1, 2, 3, …の正の整数だけです。整数は、自然数に0と負の整数（−1, −2, …）を足したものです。

負の数は整数ですか？

−1, −2, −3のような負の整数は整数です。ただし−0.5や−1/2のような小数・分数は整数ではありません。

0は整数ですか？

0は整数です。正の整数でも負の整数でもない、ちょうどまん中の整数です。

√9や8/4は整数ですか？

整数です。√9＝3、8/4＝2 のように、計算した値が整数になるからです。見た目ではなく値で判断します。

自然数は何年生で習いますか？

中学1年の「正の数・負の数」で、正の整数を自然数ということを習います。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 A 数と式（正の数・負の数）
  • ISO 80000-2（数学記号の国際規格。自然数の集合に0を含める）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦