この公式のポイント
- まず1組の解（代入か互除法）
- 引いて a(x−x0)=−b(y−y0)
- 互いに素だから x−x0 は b の倍数
- 解は直線上に等間隔に並ぶ
うかるくん
3x+5y=1 の整数解は無数にあるのに、どうやって答えるの？
![合格先生]()
合格先生
1組の解を見つけ、x=x0+bk、y=y0−ak の形で全部表すんだ。k は整数だぞ。
1次不定方程式の解き方
ax+by=c をみたす整数 x, y を求める問題を1次不定方程式といいます。解は無数にありますが、決まった形で全部書き表せます。
一般解の求め方（a、b は互いに素）
- 1組の解 (x0, y0) を見つける（小さい数を代入、または互除法）
- a(x−x0)=−b(y−y0) と変形する
- a と b は互いに素なので x−x0 は b の倍数：
x=x0+bk,y=y0−ak(k は整数)証明：なぜ全部の解がこの形になるのか
ax+by=c と ax0+by0=c を引くと a(x−x0)+b(y−y0)=0、つまり a(x−x0)=−b(y−y0)。右辺は b の倍数なので左辺 a(x−x0) も b の倍数。a と b は1以外の公約数をもたないので、x−x0 が b の倍数（整数の性質）。x−x0=bk とおくと、ak⋅b=−b(y−y0) より y−y0=−ak。
図で見ると、直線 3x+5y=1 の傾きは −53。右へ5進むと下へ3下がるので、格子点（整数の点）は (5, −3) ずつ並びます。
1組の解を互除法で見つける
17x+5y=1 なら、17=5⋅3+2、5=2⋅2+1。逆にたどると 1=5−2⋅2=5−2(17−5⋅3)=5⋅7−17⋅2。よって (x0, y0)=(−2, 7)。
大学受験（数学A）での使い方
大学受験例題1（一般解）
3x+5y=1 の整数解をすべて求めなさい。
解き方
x=2, y=−1 が1組の解。引くと 3(x−2)=−5(y+1)。3と5は互いに素なので x−2=5k、y+1=−3k。
答え x=5k+2, y=−3k−1（k は整数）
大学受験例題2（正の整数解）
7x+4y=50 をみたす正の整数
x, y をすべて求めなさい。
解き方
1組の解 (2, 9)。一般解 x=2+4k、y=9−7k。
x>0 より k≥0、y>0 より k≤1。k=0, 1 で (2, 9), (6, 2)。
答え (x, y)=(2, 9), (6, 2)
直線 7x+4y=50 上で、x も y も正の整数になる点は2つ
大学受験例題3（互除法）
17x+5y=1 の整数解をすべて求めなさい。
解き方
互除法で (x0, y0)=(−2, 7)。17(x+2)=−5(y−7) より x=−2+5k、y=7−17k。
答え x=5k−2, y=−17k+7
よくある間違い
![腕でバツを作る合格先生]()
合格先生
x が増えれば y は減る。x0+bk と y0−ak で、ずれ方の符号が逆になるぞ。
- x と y のずれ方の符号を同じにする：x が増えれば y は減る（x0+bk、y0−ak）。
- a, b が互いに素でないのにそのまま使う：先に最大公約数で割る（c が割り切れなければ整数解なし）。
練習問題
![指さして説明するサクラちゃん]()
サクラちゃん
1組目が見つからないときは、互除法を逆にたどろう
- 大学受験 2x+3y=1 の整数解をすべて求めなさい。
答えと解説を見る
(x0,y0)=(−1,1)。x=3k−1, y=−2k+1 - 大学受験 4x+6y=7 に整数解はありますか。
答えと解説を見る
左辺はいつも偶数、右辺は奇数。整数解はない - 大学受験 1個 70 円のパンと 1個 50 円のおにぎりを合わせて 550 円分買います（どちらも1個以上）。買い方をすべて求めなさい。
答えと解説を見る
7x+5y=55。(x, y)=(5, 4)。他は x=0 や y<0 になる。答え パン5個・おにぎり4個
関連する公式
よくある質問
1次不定方程式の解き方は？
1組の整数解(x₀, y₀)を見つけ、もとの式から引いて a(x−x₀)=−b(y−y₀) とし、aとbが互いに素であることから x=x₀+bk、y=y₀−ak とします。
1組の解が見つからないときは？
ユークリッドの互除法を逆にたどると、ax+by=1 の解が見つかります。
整数解がないのはどんなとき？
aとbの最大公約数でcが割り切れないときです。
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出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（数学と人間の活動）
最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
