つるかめ算の解き方と公式｜面積図・「全部つるだったら」の考え方と例題【中学受験】連立方程式との関係も

うかるくん

「全部つる」と考えて出てきた数は、つるの数なの？

合格先生

いや、かめの数だ。差を割って出てくるのは、仮定したのと反対の方なんだぞ。

つるかめ算とは

つるかめ算は、「2種類のものの合計の数と、合計の量（足の数・代金など）が分かっているとき、それぞれの数を求める」問題の解き方です。足が2本のつると、4本のかめで考えるので、この名前がついています。

例：つるとかめが合わせて10匹、足の合計が28本。全部つるなら足は $2\times10=20$ 本。実際より $28-20=8$ 本少ない。つる1匹をかめにかえると足は2本ふえるので、かめは $8\div2=4$ 匹、つるは $10-4=6$ 匹です。

面積図で考える

面積図では、長方形のたてを「1つあたりの量」、横を「個数」にします。全部の面積が「足の合計」です。全部つるとした長方形（たて2）からはみ出した赤い部分が「ふえた分」で、その面積÷高さの差（$4-2$）が、かめの数になります。

歴史：もとは「きじとうさぎ」

つるかめ算のもとになった問題は、古代中国の数学書『孫子算経』にある「雉兎同籠（きじとうさぎが同じかごにいる）」の問題といわれています。日本では江戸時代に、めでたい動物の「つる」と「かめ」に置きかえて広まりました。

中学受験（算数）での使い方

つるかめ算は、中学受験の特殊算の代表です。足の数だけでなく、値段のちがう2種類の品物、点数のちがう問題、速さのちがう2つの区間など、いろいろな形で出ます。

高校受験（中学2年）では連立方程式で

中学2年で学ぶ連立方程式を使うと、つるかめ算はそのまま式にできます。つるを $x$ 匹、かめを $y$ 匹とすると

上の式を2倍して下の式から引くと $2y=8$、$y=4$。つるかめ算の「全部つるだったら」は、この引き算と同じことをしています。

よくある間違い

合格先生

弁償算では、こわすと「もらえない20円」と「はらう50円」の両方がへる。差は70円だ。

• 「全部つる」で出した数をかめの数と取りちがえる：差を割って出るのは、仮定と反対の方（全部つると仮定したら、出てくるのはかめ）。
• 弁償算の差：こわすと「もらえない20円」と「はらう50円」の両方がへる（70円）。
• 最後に答えを確かめる：つる6匹・かめ4匹なら足は $12+16=28$ 本。

練習問題

サクラちゃん

最後に、足の数で答えを確かめようね。

1. 中学受験 つるとかめが合わせて30匹います。足の合計は86本です。かめは何匹ですか。
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   全部つるなら60本、差26本、1匹で2本ふえる。$26\div2=13$。答え $13$ 匹（つる17匹）
2. 中学受験 1問4点の問題と1問6点の問題が合わせて15問あり、全部正解すると76点です。6点の問題は何問ありますか。
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   全部4点なら60点、差16点、1問で2点ふえる。$16\div2=8$。答え $8$ 問
3. 高校受験 大人1人600円、子ども1人400円の入館料で、合わせて25人が入り、11800円でした。大人は何人ですか。（連立方程式で）
   答えと解説を見る

   $x+y=25$、$600x+400y=11800$。1つ目を400倍して引くと $200x=1800$、$x=9$。答え $9$ 人

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