ウェアリングの問題とは？わかりやすく｜どんな自然数もk乗数の和？4平方定理・23が9個・ヒルベルトの証明

ウェアリングの問題とは？（ひとことで）

ウェアリングの問題とは、「どんな自然数も、決まった個数の $k$ 乗数の和で書けるか」という問題です。1770年にイギリスの数学者エドワード・ウェアリングが書物に述べ、1909年にドイツのヒルベルトの業績と生涯が「書ける」と証明しました（ヒルベルト・ウェアリングの定理）。

ウェアリングは、平方数（2乗）なら4個、立方数（3乗）なら9個、4乗数なら19個で足りるだろうと書きました。このうち、平方数の4個は、同じ1770年にラグランジュの業績と生涯が証明しています（四平方定理）。立方数の9個は1909〜12年に、4乗数の19個は1986年になって、証明が完成しました。

問題の意味は、小学生でも分かります。たとえば、$7=4+1+1+1$ は、平方数4個の和です。ところが、7は平方数3個の和では書けません。「数によって、必要な個数がちがう」ところが、おもしろいところです。整数の性質や自然数・整数の知識だけで、挑戦を始められます。ほかの素数の話題は、ゴールドバッハ予想（偶数は素数2つの和？）も読んでみてください。同じ「数をいくつかの数の和で書く」問題の仲間です。

ウェアリングの問題の意味をやさしく解説

$k$ 乗数とは

$k$ 乗数とは、整数を $k$ 回かけた数のことです。$k=2$ なら平方数（1、4、9、16、25、…）、$k=3$ なら立方数（1、8、27、64、125、…）、$k=4$ なら4乗数（1、16、81、256、…）です。ここでは、0はふくめず、正の整数の $k$ 乗だけを使います。同じ数を何度使ってもかまいません。指数とはの復習になります。

「$g(k)$」とは何か

ウェアリングの問題では、つぎの数を調べます。

$$g(k)=\text{どんな自然数も表せる、}k\text{乗数の個数の最小値}$$

つまり、「$k$ 乗数 $g(k)$ 個以内で、どんな自然数でも表せる。でも、$g(k)-1$ 個では表せない自然数が必ずある」という数です。ウェアリングは $g(2)=4$、$g(3)=9$、$g(4)=19$ だろうと述べました。ヒルベルトの証明は、「すべての $k$ について、そのような $g(k)$ という数が存在する」ことの証明です。個数が具体的にいくつかまでは分かりませんでした。

平方数の場合：4個で足りる

まず、平方数で、1から40までを調べてみます。

たとえば、次のようになります。

• 13＝9＋4（2個）
• 14＝9＋4＋1（3個）
• 7＝4＋1＋1＋1（4個。3個では書けない）
• 15＝9＋4＋1＋1（4個）、23＝9＋9＋4＋1（4個）

グラフの赤い棒（4個必要な数）には、7、15、23、28、31、39、…があります。実は、「$4^a(8b+7)$ の形の数」だけが、3個では書けないことが、ルジャンドルとガウスによって分かっています（3平方定理）。それ以外の数は、3個以内で書けます。

立方数の場合：9個必要な数がある

つぎに、立方数で調べます。立方数は 1、8、27、64、…と、増え方が速いので、小さい数を表すには、1がたくさん必要になります。

とくに目立つのが23です。23以下の立方数は、1と8だけですから、23 ＝ 8×2 ＋ 1×7 の9個が最小です。次に大きな「9個必要な数」が、239です。そして、9個が必要な数は、23と239の2つだけだと分かっています。これより大きい数は、8個以内で書けます。それ以外の大きな数は、さらに少ない個数で足ります。

4乗数の場合：19個必要な数

4乗数でも同じ現象が起こります。4乗数は 1、16、81、…で、79以下の4乗数は1と16だけです。$79 = 16\times4+1\times15$ で、19個かかります。これより少なくはできません。$g(4)=19$ は、この79（や159、239など）が必要な個数を決めています。

なぜ「$g(k)$」は公式で書ける？

$g(k)$ がいくつになるかの「最悪の数」は、あるパターンで作れます。$q=\lfloor(3/2)^k\rfloor$（$(3/2)^k$ の整数部分）とおき、$n=2^k q-1$ という数を考えます。この数は $2^k q$ より1小さいので、$(q-1)$ 個の $2^k$ と、$(2^k-1)$ 個の1で作るしかありません（$3^k$ を使うと大きすぎるため）。ですから、$k$ 乗数が $(q-1)+(2^k-1)=2^k+q-2$ 個必要になります。つまり $g(k)\ge 2^k+\lfloor(3/2)^k\rfloor-2$ です。この下限は、ほとんどすべての $k$ で等しいことが分かっています。

たとえば $k=3$ なら $q=\lfloor27/8\rfloor=3$、$2^3+3-2=9$。$k=4$ なら $q=\lfloor81/16\rfloor=5$、$16+5-2=19$。$k=2$ なら $q=\lfloor9/4\rfloor=2$、$4+2-2=4$ です。$k=5,6$ でも、この式は37、73となり、実際の値と一致します。

ウェアリングの問題の歴史と年表

平方数の和：バシェからラグランジュへ

「どんな自然数も4個以内の平方数の和」という予想は、ディオファントスの業績と生涯の『算術』のフランス語版（1621年）に注をつけたバシェが述べたと伝えられます。フェルマーの業績と生涯も、証明を得たと主張しましたが、書き残しませんでした。オイラーは何十年もこの問題に取り組み、大きな結果を出しましたが、完全な証明には届きませんでした。1770年、ラグランジュがついに証明を完成させます（四平方定理）。オイラーの結果を土台にした証明でした。

1770年：ウェアリングの提出

同じ1770年、ケンブリッジ大学の教授ウェアリングは、『代数的思索』という書物で、「平方数4個の次は、立方数9個、4乗数19個、…と、$k$ 乗数にも決まった個数があるだろう」と述べました。ウェアリング自身は、証明を示しませんでした。ここから、「ウェアリングの問題」が始まります。

1909年：ヒルベルトの証明

それから約140年、だれも一般の $k$ では証明できませんでした。1909年、ヒルベルトは、「すべての $k$ について、$g(k)$ が存在する」ことを証明しました。この証明は、ヒルベルトが見つけた特別な恒等式（式の変形）を使い、数学的帰納法のように $k$ を一つずつ大きくして進めるもの、といわれます。ただし、具体的な個数を求める方法は含まれていません。そのため、「$g(k)$ はいくつか」は、あとの数学者たちの仕事として残りました。

1909〜12年：立方数の9個

同じ1909年、ヴィーフェリヒが $g(3)=9$ の証明を発表しました。のちにケンプナーが1912年に証明の穴を埋めて、完成させたと伝えられます。「23と239だけが9個を必要とし、ほかの数は8個以内」ということが、のちの研究で分かっています。

1920年代以降：円周法と$G(k)$

1920年代、ハーディの業績と生涯とリトルウッドは、円周法という新しい方法でウェアリングの問題に取り組みました。これは解析学（極限の考え方や積分）で整数の問題を解く方法です。彼らは、$g(k)$ とは別に、新しい量 $G(k)$ を考えました。

$g(k)$ は「すべての自然数が表せる個数」ですが、23のような小さな例外に引っぱられて大きくなります。これに対し $G(k)$ は「じゅうぶん大きいすべての自然数」が表せる最少の個数です。小さい数の例外を無視すると、必要な個数はずっと少なくなります。$G(2)=4$（4平方定理）、$G(4)=16$（1939年、ダヴェンポート）が分かっていて、$G(3)$ は4以上7以下と分かっています（7以下は1943年のリンニクの結果）。立方数の和は、ほとんどの大きな数が4個で書けると考えられていますが、証明はまだありません。

1964年、1986年

$g(5)=37$ は、1964年に陳景潤が証明しました。$g(6)=73$ は、1940年にピライが示しています。$g(4)=19$ は、1986年に、バラスブラマニアン、デシューイエ、ドレスの3人が、大型計算機も使って証明しました。

ウェアリングの問題はいつ・だれが解いた？

ウェアリングの問題は、1909年にヒルベルトが「すべての $k$ で $g(k)$ が存在する」ことを証明して、大きな部分が解決しました。そのあと、個々の $k$ の値を決める研究が続きました。ここでは、今分かっていることを整理します。

1. $g(k)$ の値が分かっているもの

• $g(2)=4$（ラグランジュ、1770年）
• $g(3)=9$（ヴィーフェリヒ、ケンプナー、1909〜12年）
• $g(4)=19$（バラスブラマニアン、デシューイエ、ドレス、1986年）
• $g(5)=37$（陳景潤、1964年）
• $g(6)=73$（ピライ、1940年）

$k\ge7$ でも、多くの値で公式 $g(k)=2^k+\lfloor(3/2)^k\rfloor-2$ が正しいと確かめられています。1957年にマーラーが「この公式が成り立たない $k$ は、あるとしても有限個しかない」ことを示し、のちの計算で、大きな $k$ の範囲でも確かめられました。ただし、すべての $k$ で成り立つかどうかは、まだ完全には証明されていないと言われます（2026年時点で、私が確認できた範囲）。

2. もっと少なくていいのは？ $G(k)$

$g(k)$ は小さい数の例外に引っぱられて大きくなりますが、じゅうぶん大きい数だけなら、もっと少ない個数で足ります。$G(2)=4$、$G(4)=16$ が分かっていますが、$G(3)$ は4以上7以下というところまでしか決まっていません。多くの数学者が、「$G(3)=4$ だろう」と考えていますが、証明はありません。この意味で、ウェアリングの問題は、まだ終わっていないと言えます。

3. 3つの立方数の和（有名な未解決の仲間）

「$x^3+y^3+z^3=n$ をみたす整数（負の数もふくむ）の組 $(x,y,z)$ があるか」という問題があります。9で割ると4か5余る数は、このような形に書けないことが、合同式（mod の計算）で簡単に分かります（立方数を9でわった余りは0、1、8のどれかだから）。それ以外の数は、ほとんどの数で解が見つかっていますが、見つけるのはとても大変です。2019年には、33（ブッカー）と42（ブッカーとサザーランド）に解が見つかり、話題になりました。きっちりした答えは、桁がとても大きい数の組です。ウェアリングの問題の仲間ですが、「どんな数でも書けるか」は、まだ分かっていません。

ウェアリングの問題はなぜ難しかったのか

1. 「足し算」と「$k$ 乗」は別の世界

$k$ 乗は「かけ算」から生まれる数です。ところが、問題は、その $k$ 乗数を「足し算」で組み合わせることです。$k$ 乗数は、大きくなるほどまばらになります（100以下の平方数は10個、立方数は4個、4乗数は3個だけ）。まばらな数を足し合わせて、どんな数でも作れるのは、本当に不思議なことです。

2. 個数を絞るほど難しくなる

「どんな自然数も1をたくさん足せば作れる」ので、個数の上限が存在することを示すのが問題の核心です。ヒルベルトの証明のあと、$g(k)$ を正確に決めるために、いろいろな $k$ ごとに、個別の難しい議論が必要でした。$g(4)=19$ は、ヒルベルトの証明から77年後にようやく完成しました。

3. 例外の数をていねいに調べる必要がある

$g(k)$ は、「最悪の数」で決まります。そのため、「小さい数の例外を全部調べる」のと、「大きい数についての一般論を証明する」のを、両方やらなければなりません。大きい数は円周法などの強力な方法で、小さい数は計算機で調べます。$g(4)$ の証明に大型計算機が必要だったのは、このためです。

4. 新しい道具が必要だった

ウェアリングの問題は、数学の新しい分野をいくつも育てました。ヒルベルトの恒等式、ハーディとラマヌジャンの業績と生涯の分割数の研究から生まれ、リトルウッドとともに育てた円周法、ヴィノグラードフの三角和の評価などです。これらの道具がそろうまで、解決は遠かったのです。

よくある誤解：「個数が少ないほどきれい？」

「できるだけ少ない個数で表す」ことが目標のように見えますが、$g(k)$ は「すべての数」が少ない個数で書けるかという問題です。たとえば、$g(3)=9$ なのは23と239だけが例外だからで、ほとんどの数は4個、5個で書けます。「ほとんどの数は少なくていいが、ごく一部の数が個数を押し上げている」という構造が、問題を難しくしています。

受験・勉強とウェアリングの問題のつながり

中学受験：平方数・立方数と「あてはめ」

中学受験の算数では、平方数（1、4、9、16、25、36、49、64、81、100）や、立方数（1、8、27、64、125）を使う問題が出ます。「連続する奇数の和は平方数になる」（$1+3+5=9$、$1+3+5+7=16$）は、図でも説明される定番の性質です。また、素因数分解と約数の個数を使って「平方数になる数」を調べる問題も、毎年出ます。「平方数を足して20にする方法を全部書く」のようなあてはめ問題では、ウェアリングの問題の考え方（小さい数から順に試す）がそのまま役立ちます。

高校・大学受験：余りで「できない」ことを示す

受験でいちばん役立つのは、「余りを使って、表せないことを示す」技術です。たとえば、「7が平方数3個の和で書けない」ことは、つぎのように示せます。

• 整数の平方を8でわった余りは、0、1、4のどれか（$n$ が偶数のとき $4$ か $0$、奇数のとき $1$）。
• 3つの平方数の和を8でわった余りは、(0、1、4) から3つ（重複可）を選んで足したもの。0、1、2、3、4、5、6 などになるが、7にはならない。
• 7を8でわった余りは7。だから、7は平方数3個の和にならない。

同じように、立方数を9でわった余りは0、1、8のどれかなので、3つの立方数の和を9でわった余りに、4と5は現れません。たとえば13や14（9でわって4と5余る数）は、整数の立方数3個の和では書けません。これは、合同式（mod の計算）の使い方を使う典型的な入試問題の型です。「$x^2+y^2=4n+3$ をみたす整数 $x,y$ は存在しない」なども、4でわった余りで示します（平方数を4でわった余りは0か1だから）。

「少なくとも〜個必要」を示す練習

ウェアリングの問題は、「最小の個数」を求める問題の練習になります。最小値の問題は、①その個数で書けることを示す（構成）、②それより少なくはできないことを示す（下からの評価）の2段階で答えます。23を立方数の和にする問題なら、①$23=8+8+1\times7$ の9個で書ける、②使える立方数は1と8だけで、8を3個以上使うと24以上になるから、8は2個まで。残りを1で埋めるので、最小は9個。これは、入試の最小値・最大値の問題、最大公約数・最小公倍数の最小の考え方とも通じます。

数学の勉強の進め方は、数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。分からない問題は、小さい数で実験して規則を見つけるのが近道です（数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）も、この考え方で解けます）。

ウェアリングの問題が数学・社会にあたえた影響

• 解析的整数論の発展：ハーディとリトルウッドの円周法は、ウェアリングの問題のために作られました。この方法は、ゴールドバッハ予想の研究（ヴィノグラードフの定理）にも使われ、素数の研究全体に広がりました。
• 代数の道具が広がった：ヒルベルトの恒等式は、数学の基本的な道具の一つになりました。
• 計算機の活用：$g(4)=19$ の証明は、大型計算機を使ってはじめて完成しました。「小さい数を計算機で調べ、大きい数を理論で押さえる」という方法は、四色問題やケプラー予想の証明にも通じます。
• 四平方定理の応用：ラグランジュの四平方定理は、コンピューターグラフィックスで使われる四元数（ハミルトンの業績と生涯が発見）の理論とも関係しています。整数四元数のノルムが平方数4個の和になるからです。
• ほかの「何個で足りるか」問題：「多角数の和」（フェルマーの多角数定理：どの自然数も $n$ 個以内の $n$ 角数の和）や、「素数の和」（ゴールドバッハ）など、同じ型の問題が生まれました。カタラン予想（累乗どうしの差が1になるのは8と9だけ？）も、累乗数をめぐる仲間の問題です。

ガウスの業績と生涯は、3つの三角数の和（フェルマーが予想した結果）を証明し、日記に「ΕΥΡΗΚΑ！ num＝Δ＋Δ＋Δ」と書いたと伝えられます。累乗数や多角数をめぐる問題は、数学者たちを長く惹きつけてきました。

ウェアリングの問題に挑戦！練習問題

ウェアリングの問題と関係する数学者・難問

• ラグランジュ：1770年に四平方定理（平方数4個で足りる）を証明しました。
• ヒルベルト：1909年、すべての $k$ でウェアリングの問題が「ある」と証明しました。
• ハーディ：リトルウッドと円周法を作り、$G(k)$ の研究を進めました。
• フェルマー：四平方定理や、多角数の和について、証明なしの主張を残しました。
• ゴールドバッハ予想・カタラン予想・素数定理・フェルマーの最終定理：数を累乗や素数の言葉で調べる、並び立つ難問です。

ほかの解かれた難問・決着した問題

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