ケプラー予想とは？わかりやすく｜みかんの積み方・ヘールズの証明・Flyspeck

ケプラー予想とは？（ひとことで）

ケプラー予想とは、「同じ大きさの球を、すきまがいちばん少なくなるようにつめこむには、八百屋さんがみかんを積むときの積み方（面心立方格子）がベストか」という問題です。1611年にドイツの天文学者ヨハネス・ケプラーが述べました。

この積み方で球がしめる体積の割合（密度）は、π÷√18 ≒ 0.74048（約74.05％）です。1998年にアメリカの数学者トーマス・ヘールズが、コンピューターの計算を使った証明を発表しました。論文は2005年に数学の雑誌に載り、2014年には証明全体をコンピューターで確かめるFlyspeck（フライスペック）計画の完了が発表されました。この論文は2017年に出ています。

問題の意味は、みかんやオレンジを積んだことがある人なら分かるほど簡単です。ところが、証明まで400年以上かかりました。球の体積の公式は球の体積と表面積の公式で確認できます。

ケプラー予想の意味をやさしく解説

まず平面で考える：円のつめ方

3次元の前に、平面で円をならべる問題を考えます。同じ大きさの円を、すきまが少ないようにならべるには、どうすればよいでしょうか。

正方形のますに1つずつ円を入れると、円の面積の割合は π÷4 ≒ 78.5％です。ところが、円を六角形（ハチの巣）の形にならべると、割合は π÷(2√3) ≒ 90.7％になります。ハチの巣の形のほうが、ずっとすきまが少ないのです。この「平面ではハチの巣状がベスト」は、ラグランジュが格子の場合を示し、20世紀の初めまでに一般の場合も証明されています。

3次元：球をつめる

3次元では、球を1段目に六角形にならべ、その上の段を、球と球の間のくぼみの上に置いていきます。くぼみは2種類あり、3段目を「1段目と同じ位置（A）」に置くか、「まだ使っていないくぼみ（C）」に置くかで、積み方が2つにわかれます。

• ABCABC型（面心立方格子）：八百屋さんのみかんの山。立方体の頂点と各面の中心に球がある形です。
• ABAB型（六方最密充填）：蜂の巣のような形で、金属結晶でも見られます。

どちらも密度はπ÷√18 ≒ 0.74048で、同じです。実は、このABの重ね方は、段ごとに自由にえらべるので、密度が同じ積み方は無限にあることが分かっています。ケプラー予想は、「これ以上に密な積み方はない」ことを主張します。

密度を計算で確かめる

面心立方格子の立方体（1辺 a）の中には、球が4個分入っています（頂点の球8個の1/8ずつで1個分、面の中心の球6個の1/2ずつで3個分）。球の半径を r とすると、立方体の面の対角線の長さが 4r なので、a＝2√2 r です。すると、

密度 ＝ (4×4/3πr³) ÷ (2√2 r)³ ＝ (16π/3) ÷ 16√2 ＝ π÷(3√2) ＝ π÷√18 ≒ 0.7405

となります。かんたんな図形の計算と 平方根の計算の計算だけで確かめられます。ほかの積み方との比較は次の図のとおりです。

「いちばん」を証明するむずかしさ

球のつめ方は、格子（規則的な並び）だけではありません。球を不規則に置くことも、あるところは密に、あるところはまばらに置くことも自由です。ケプラー予想は、そのすべての置き方の中で、74.05％を超えるものがないと主張しています。

つながっている身近な問題

球のつめ方は、お菓子の箱づめ、お米をつめる容器、結晶のならび方、さらに通信で使われる誤り訂正符号（ノイズがあってもデータを正しく伝える技術）とも関係します。たとえば、デジタル通信では、信号を「高次元の球」の中心と考え、球どうしがかさならないようにつめると、まちがいにくい符号ができます。ケプラー予想の高次元版は、通信技術と結びついているのです。

ケプラー予想の歴史と年表

1611年：ケプラーの小さな本

ヨハネス・ケプラー（ケプラーの業績と生涯）は、惑星の運動を表す3つの法則で知られます。1611年、ケプラーは友人への新年の贈り物として、小さな本『六角形の雪について』を書きました。なぜ雪の結晶は六角形なのかを考える中で、ケプラーは、小さな粒がそれぞれ球で、できるだけ密にならぶと六角形の形ができるのでは、と考えました。そして、球の最もよい積み方は、八百屋の積み方（面心立方格子）だろう、と述べました。ただし、証明はつけていません。

16世紀末：砲弾の積み方

16世紀の終わりごろ、イギリスのウォルター・ローリー卿が、船に積む砲弾を最も効率よく積む方法を、数学者のトマス・ハリオットにたずねた、と伝えられています。ハリオットは砲弾の山の個数を数える表を作り、これがケプラーとのやりとりを通じて、球のつめ方への関心につながった、といわれます。

1831年：ガウスが「格子」の場合を証明

ガウスの業績と生涯は1831年、球が格子（規則正しい繰り返し）にならんでいる場合に限れば、面心立方格子が最も密になることを証明しました。これは、ケプラー予想の一部分の解決で、全体の解決ではありません。格子でない並べ方もすべて考えなくてはならないからです。

1900年：ヒルベルトの23の問題

1900年、ヒルベルトの業績と生涯は、20世紀の数学者に向けて23の問題を発表しました。その第18問題の一部に、球のつめ方の問題がふくまれています。

1953年：有限の計算に帰着

1953年にハンガリーのラースロー・フェイェシュ・トート（Fejes Tóth）が、この問題は「有限だけれど非常に大きな数の計算」に帰着できることを示しました。つまり、コンピューターさえあれば、理屈では確かめられる、と分かったのです。

1990年：ずさんな証明の騒ぎ

1990年には、項武義（Wu-Yi Hsiang）が証明を発表しましたが、その後の検討で、証明には不十分な点があるという見方が広まりました。ヘールズも1994年に批判を発表しています。

1998年：ヘールズの証明

1998年8月、ミシガン大学（当時）のトーマス・ヘールズが、大学院生のサミュエル・ファーガソンとともに、証明を発表しました。証明は、約250ページの文章と、3ギガバイトにおよぶ計算プログラムとデータから成ります。球の位置の関係を、約5000通りの図形（構成）に分け、それぞれについて、線型計画法という計算で「密度が74.05％をこえない」ことを確かめる、という方法です。

2003〜2005年：審査と掲載

数学雑誌Annals of Mathematics（数学の最高峰の1つ）は、12人の審査員に審査を依頼しました。審査には4年かかり、2003年に審査団は「証明が正しいと99％の確信をもっているが、コンピューターの計算を全部は確かめきれなかった」と報告しました。こうしてコンピューター計算以外の部分（約120ページ）だけが、2005年にAnnalsに掲載されました。

2003〜2014年：Flyspeck計画

ヘールズはこの結果を受けて、2003年にFlyspeck計画（Formal Proof of Kepler の略）を始めました。証明全体をコンピューターの証明検証ソフト（Isabelle と HOL Light）で1行ずつ確かめる計画です。2014年8月にその完了が発表され、論文A formal proof of the Kepler conjectureは2017年にForum of Mathematics, Piに掲載されました。

ケプラー予想はいつ・だれが解いた？

ケプラー予想は、1998年にアメリカの数学者トーマス・ヘールズ（と大学院生サミュエル・ファーガソン）が証明を発表しました。2005年に論文が掲載され、さらに2014年にFlyspeck計画で、証明全体のコンピューターによる確認が完了しました。

証明の考え方（ざっくり）

1. 球を、まわりの球との位置関係に応じて、小さな多面体（空間を切り分けた部分）に分けます。
2. それぞれの部分に「空間がどれくらい余るか」の点数をつけます。
3. 点数の合計が、面心立方格子の場合の点数を超えないことを示します。
4. そのために、約5000通りの場合に分けて、各場合を線型計画法（不等式の最適化）で計算して確かめます。

つまり「無限にある並べ方を、有限個の場合に分けて、一つひとつコンピューターで確かめる」という証明です。四色問題と同じように、コンピューターが本質的な役割をはたした証明です。

「99％」から「完全に確認」へ

審査団が「99％の確信」としか言えなかったのは、プログラムが数千行になり、人が全部確かめることができなかったからです。ヘールズは、「証明が正しいか」を人の判断にたよらず、コンピューターの検証ソフトに確かめさせることを選びました。これが Flyspeck です。完了までに11年かかり、世界の多くの研究者が協力しました。

8次元と24次元：ヴィアゾフスカの発見

3次元の証明が長く難しかったのに対して、ほかの次元では、驚くほど短い証明が2016年に出ました。ウクライナの数学者マリーナ・ヴィアゾフスカは、8次元では「E8格子」が、続いてほかの数学者たちと一緒に24次元では「リーチ格子」が、最もすきまの少ない球のつめ方であることを証明しました。8次元の論文はわずか約23ページほどでした。この功績で、ヴィアゾフスカは2022年にフィールズ賞を受けています（ヴィアゾフスカの業績）。

8次元と24次元は、「たまたま特別な形（E8、リーチ格子）」があるため、うまく証明できた次元です。4次元から7次元、9次元以上の多くの次元では、最もよい球のつめ方さえ、まだ分かっていません。

ケプラー予想はなぜ難しかったのか

1. 球の置き方が無限にある

格子なら規則があるので調べやすいのですが、球を不規則に置いた場合も含めると、無限の可能性があります。ガウスが証明できたのは格子の場合に限られました。

2. 少しずらしてもよい

球の位置を、ほんの少し動かしただけでも、密度は少し変わります。ケプラー予想の最大値（74.05％）は、ぎりぎりの値で、「ほんの少しでもよくなる積み方」がないことを示すには、とても細かい検討が必要です。

3. 場合分けが多すぎる

フェイェシュ・トートの考えをもとに、場合分けを有限にしぼることはできました。しかし、その場合の数が膨大で、人の手ではできません。コンピューターを使うしかなく、そのうえ「その計算が正しいと、どうやって保証するか」という問題が生まれました。

4. 平面とのちがい

平面の円の問題は、20世紀の初めに解かれ、証明は短いものです。しかし、3次元では「球どうしのすきま」が複雑で、平面のやり方がそのままでは使えません。同じ“つめこみ”でも、次元がかわると難しさが一変するのは、数学のふしぎなところです。

よくある誤解

「実際のオレンジの山を見れば、証明なんていらない」と思う人は多いです。でも、ある積み方が実際によく使われていることと、それが数学的に最良だと証明されていることは別の話です。八百屋さんの積み方が最良だと「確かめられた」のは、ようやく1998年のことです。また、「74.05％」という値は、積み方の種類（面心立方か六方か）に関係なく同じだ、という点にも注意が必要です。

受験・勉強とケプラー予想のつながり

中学受験：立体と球、個数の数え方

中学受験の算数では、「ボールを三角すいや四角すいに積んだとき、全部で何個か」という問題が出ます。1段ずつの数を、1、3、6、10、…（三角数）や 1、4、9、16、…（平方数）の和として数えます。たとえば四角すいに4段積むと、1＋4＋9＋16＝30個です。三角すい（正四面体）に4段積むと、1＋3＋6＋10＝20個です。

高校受験・大学受験：球の体積と数列

球の体積 4/3πr³ と、立方体の体積の比から密度を求めるのは、そのまま入試に出せる問題です。球の体積と表面積の公式をしっかり覚えましょう。また、積み上げた球の個数 n(n＋1)(2n＋1)/6 は、数学的帰納法での証明の典型例です。数学的帰納法とはで確認できます。

大学入試：球と空間図形

大学入試の空間図形では、「立方体の中に球が内接・外接する」「球を何個並べると…」という問題があります。立方体の頂点や面の中心に球を置いて、対角線の長さから半径を求める、面心立方格子の計算と同じ形です。数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）も、つめ込みの考え方のよい練習になります。

勉強法として

ケプラー予想から学べるのは、「いちばんよいこと」を示すには、すべてのライバルに勝つ必要があるということです。最大・最小の問題では、見つけた値が最大であることを、背理法の使い方などで示します。数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）で、証明の書き方も練習しましょう。

ケプラー予想が数学・社会にあたえた影響

• コンピューターによる証明の確認：Flyspeck 計画は、大きな数学の定理をソフトで1行ずつ確認する「形式的証明」の代表例です。四色問題の形式的証明とともに、証明の信頼性を考えなおすきっかけとなりました。
• 高次元の幾何学：ヴィアゾフスカの8次元・24次元の発見は、フーリエ解析やモジュラー形式という道具を新しく結びつけました。
• 通信と符号：スマートフォンの通信やデータ保存で使われる誤り訂正符号は、高次元の球のつめ方と関係しています。
• 結晶と材料：金属の結晶の多くは、面心立方や六方最密の形をしています。原子の並び方の研究でも、つめ方の考え方は役立ちます。

ケプラー予想は、「小さな本のなかの1つの予想」が、数学・計算機科学・物理学を結びつけた例です。同じように、見た目はやさしい問題が奥深いものに、フェルマーの最終定理やコラッツ予想があります。

ケプラー予想に挑戦！練習問題

ケプラー予想と関係する数学者・難問

• ケプラーの業績と生涯：1611年に予想を述べた天文学者です。
• ガウスの業績と生涯：1831年に、格子の場合のケプラー予想を証明しました。
• ヒルベルトの業績と生涯：23の問題の第18問題に、球のつめ方を入れました。
• ヴィアゾフスカの業績：8次元と24次元の最密充填を証明し、2022年にフィールズ賞を受けました。
• 四色問題・P≠NP予想・ポアンカレ予想：コンピューターによる証明や、形の研究でつながる難問です。

ほかの解かれた難問・決着した問題

• 三大作図問題とは（不可能・決められないと証明）
  定規とコンパスだけで、円と同じ面積の正方形・体積2倍の立方体・角の三等分を作図できるか。どれも不可能と証明された
• 平行線公準の問題とは（不可能・決められないと証明）
  ほかの公理から平行線の公理を証明できるか。証明できず、成り立たない幾何学（非ユークリッド幾何学）もあると分かった
• 5次方程式の解の公式とは（不可能・決められないと証明）
  2次・3次・4次方程式のような、四則と累乗根だけの解の公式が5次方程式にもあるか。一般にはないと証明された
• ケーニヒスベルクの橋の問題とは（解決）
  7つの橋を1回ずつ渡って元にもどれるか。できないと示し、グラフ理論が生まれた
• 四色問題とは（解決）
  どんな地図も4色でぬり分けられるか。コンピューターを使った初めての大きな証明
• 連続体仮説とは（不可能・決められないと証明）
  自然数と実数の「あいだの大きさ」の無限はあるか。今の集合論の公理からは決められないと証明された
• ポアンカレ予想とは（解決）
  穴のない3次元の図形は、球と同じ形と言えるか。ミレニアム懸賞問題で唯一の解決
• ABC予想とは（解決と発表・評価が分かれる）
  a＋b＝c のとき、c は abc の素因数の積よりめったに大きくならない。望月新一の証明は2021年に論文掲載、評価が分かれている

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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  公式・証明・例題を1つずつ
• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
• 数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）
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