平方根とは？意味と√（ルート）のちがいをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

平方根とは？意味と√（ルート）のちがいをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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平方根とは

2乗すると aa になる数を、aa の平方根といいます。正の数の平方根は正と負の2つあり（9 の平方根は 3 と −3）、正のほうを a\sqrt a と書きます。

読み方：へいほうこん／英語：square root／習う学年：中学3年（平方根）、数学Ⅰ（数と式）

うかるくん

うかるくん

9 の平方根は 3 ですよね？ 9=3\sqrt9=3 だから…

合格先生

合格先生

(−3)2(-3)^2 も 9 だから、9 の平方根は 3 と −3 の2つなんだ。9\sqrt9 はそのうち正のほうだけを表す記号だよ。

この用語のポイント

  • aa の平方根 ＝ 2乗すると aa になる数（正の数なら2つ）
  • a\sqrt a は正のほうだけ。9=3\sqrt9=3、9 の平方根は ±3\pm3
  • a+b≠a+b\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt{a+b}、a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|

やさしく言うと

平方根は、2乗すると、ある数になる数です。「平方」は2乗のこと、「根」は「もと」のことで、「2乗する前のもとの数」という意味です。身近なイメージで考えてみましょう。

  • 正方形の畑：面積が 9m² の正方形の畑なら、1辺は 3m です。面積から1辺の長さを求めるのが、平方根を求めることです。
  • 2乗の「巻きもどし」：33 を2乗すると 99。この動画を逆再生して、99 から「もと」の 33 にもどるのが平方根です。ただし −3-3 を2乗しても 99 なので、もどり先は2つあります。
  • コピー用紙：A4 などの A 判の紙は、短い辺と長い辺の比が 1:21:\sqrt2（約 1:1.41）になるように決められています。半分に切っても同じ形になるようにするためです。

面積が 9 の正方形の1辺は 3、面積が 4 なら 2 です。では面積が 2 なら？ 2乗して 2 になる数は整数や分数では表せないので、記号  \sqrt{\ }（ルート、根号）を使って 2\sqrt2 と書きます。

正方形の面積 → 1辺の長さ 2√2 42 93 （約1.41） 中の数＝面積、下の数＝1辺
面積が aa の正方形の1辺の長さが a\sqrt a

まとめると、a\sqrt a は「面積 aa の正方形の1辺の長さ」と考えるとイメージしやすくなります。

正しい答えと、まちがった答え

○ 正しい

  • 9 の平方根は 3 と −3（±3\pm3）
  • 2 の平方根は ±2\pm\sqrt2
  • 14\dfrac14 の平方根は ±12\pm\dfrac12
  • 0 の平方根は 0（1つだけ）
  • (−3)2=3\sqrt{(-3)^2}=3（中の (−3)2(-3)^2 は 9）
  • 12=23\sqrt{12}=2\sqrt3（12=4×312=4\times3）

× まちがい

  • 9=±3\sqrt9=\pm3（9\sqrt9 は正のほうだけ）
  • 9 の平方根は 3（−3-3 を忘れている）
  • (−3)2=−3\sqrt{(-3)^2}=-3（正しくは 3）
  • −4-4 の平方根は ±2\pm2（222^2 も (−2)2(-2)^2 も 4）
  • 9+16=25\sqrt9+\sqrt{16}=\sqrt{25}（たし算はまとめられない）
  • 23=62\sqrt3=\sqrt6（正しくは 12\sqrt{12}）

×の多くは、「平方根」という言葉と「 \sqrt{\ }」という記号を同じものと思ってしまうことから起こります。次の節で、その区別をはっきりさせましょう。

「平方根」と「√a」のちがい

正の数 aa の平方根は、正と負の2つあります。a\sqrt a は、そのうち正のほうだけを表す記号です。

9 のとき2 のとき
aa の平方根33 と −3-32\sqrt2 と −2-\sqrt2
a\sqrt a（正の平方根）332\sqrt2（約1.41）
−a-\sqrt a（負の平方根）−3-3−2-\sqrt2（約 −1.41）
xyO y＝9 −3 3 ＝√9 ＝−√9 2乗して 9 になる数は 3 と −3
y=x2y=x^2 と y=9y=9 は2か所で交わる。9 の平方根は2つ

負の数の平方根は、実数の中にはありません（実数は2乗すると 0 以上だからです）。高校の数学Ⅱでは、虚数を使って −4=2i\sqrt{-4}=2i のように考えます。

笑顔のサクラちゃん

サクラちゃん

正の数の平方根はプラスとマイナスの2つあるのを忘れないでね。

図で見る（√2 はどこにある？）

2\sqrt2 は「約1.41」ですが、方眼の上でちょうどの長さを作れます。1辺 2 の正方形を4マスに分け、各辺のまん中を結ぶと、かたむいた正方形ができます。

面積 2 √2 11 1辺 2 の正方形（面積 4）の 各マスを半分ずつ使う → 赤い正方形の面積は 　4 の半分で 2 → 1辺は 2乗して2になる数 ＝ √2（約1.41）
各マスの半分を4つ集めると面積2。1辺は √2

かたむいた正方形は、4つのマスをそれぞれ半分ずつ使っているので、面積は 4÷2=24\div2=2 です。だから1辺は 2\sqrt2。これは1辺 1 の正方形の対角線の長さでもあります。中学3年の三平方の定理でも、12+12=21^2+1^2=2 から同じ答えが出ます。

うかるくん

うかるくん

2\sqrt2 と 3\sqrt3 って、どっちが大きいかすぐ分かりますか？

合格先生

合格先生

中の数が大きいほうが大きいよ。面積が大きい正方形ほど、1辺も長いからね。数直線に並べると、よく分かるよ。

√1√2√3√4√5√6√7√8√90123 中の数が大きいほど、ルートも大きい √2, √3√5〜√8 1と2の間 →
√1〜√9 を数直線に。√4＝2、√9＝3 の間にほかのルートが入る

計算の決まりと、覚えたい値

  • かけ算・割り算：2×3=6\sqrt2\times\sqrt3=\sqrt6、12=4×3=23\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3（a>0, b>0a>0,\ b>0 のとき）
  • 分母の有理化：12=22\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}
  • たし算はまとめられない：9+16=3+4=7\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7 ですが、9+16=25=5\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 です。
  • 中が同じならまとめられる：23+33=532\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3。文字式の 2a+3a=5a2a+3a=5a と同じです。
  • 大小をくらべる：正の数どうしなら、2乗してくらべます。23=122\sqrt3=\sqrt{12}、32=183\sqrt2=\sqrt{18} なので、323\sqrt2 のほうが大きいです。
平方根値覚え方（語呂合わせ）
2\sqrt21.41421356…一夜一夜に人見ごろ
3\sqrt31.7320508…人並みにおごれや
5\sqrt52.2360679…富士山麓オウム鳴く

テスト・入試ではこう出る

中学3年では、平方根を答える問題、ルートの計算（簡単にする・たし算ひき算・有理化）、大小や整数部分の問題がよく出ます。高校入試では、「48n\sqrt{48n} が自然数になる nn」のような整数の問題が定番です。高校の数学Ⅰでは、a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| を使う問題や、二重根号の問題も出ます。

例題1（ルートの計算）

12+27\sqrt{12}+\sqrt{27} を計算しなさい。

  1. ルートの中を「(2乗の数)×(残り)」に分ける：12=4×312=4\times3、27=9×327=9\times3。
  2. 12=23\sqrt{12}=2\sqrt3、27=33\sqrt{27}=3\sqrt3。
  3. ルートの中が同じ 3 なので、文字式の 2a+3a2a+3a と同じようにまとめる：23+33=532\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3。

答え　535\sqrt3

例題2（自然数になる条件）

48n\sqrt{48n} が自然数になるような、いちばん小さい自然数 nn を求めなさい。

  1. 48 を素因数分解する：48=24×3=42×348=2^4\times3=4^2\times3。
  2. 48n=43n\sqrt{48n}=4\sqrt{3n}。これが自然数になるには、3n3n が「ある数の2乗」になればよい。
  3. いちばん小さいのは 3n=93n=9、つまり n=3n=3。そのとき 144=12\sqrt{144}=12 で自然数になる。

答え　n=3n=3

ひらめいたうかるくん

うかるくん

ルートの中を「2乗の数×残り」に分けるのがコツなんだね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「9=±3\sqrt9=\pm3」は×！ 9=3\sqrt9=3、9 の平方根は ±3\pm3。言葉と記号を区別しよう。

  • 9=±3\sqrt9=\pm3 と書く：9\sqrt9 は正の平方根なので 3 だけです。「9 の平方根」なら ±3\pm3 です。
  • (−3)2=−3\sqrt{(-3)^2}=-3 とする：(−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3 です。一般に a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|（絶対値）です。
  • a+b=a+b\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{a+b} とする：成り立ちません。ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a,ba, b が正）とまぜないようにしましょう。
  • ルートの外の数を、そのまま中に入れる：232\sqrt3 を 6\sqrt6 とするのは×。外の 2 を中に入れるときは2乗して 4×3=12\sqrt{4\times3}=\sqrt{12} です。
  • 「平方根を答えよ」で1つしか書かない：「25 の平方根」は ±5\pm5。「25\sqrt{25} を求めよ」なら 5。問題の言葉をよく読みましょう。

ことばの由来

平方は2乗、根は「もと」という意味です。英語では square root（スクウェア ルート）といい、square は「正方形・2乗」、root は「根」です。面積 aa の正方形の1辺、という意味がそのまま名前になっています。「ルート」という読み方は、この英語から来ています。

記号  \sqrt{\ } の形の由来には、ラテン語で「根」を意味する radix の頭文字 r から来たという説などがあります。

ミニ問題

問題1　次の数を答えましょう。(1) 49 の平方根　(2) 49\sqrt{49}　(3) −49-\sqrt{49}

答えと解き方を見る

(1) 77 と −7-7（±7\pm7）　(2) 77　(3) −7-7

「49 の平方根」は2乗して 49 になる数で、2つあります。49\sqrt{49} はそのうち正のほうだけ、−49-\sqrt{49} は負のほうだけです。

問題2　50−18\sqrt{50}-\sqrt{18} を計算しましょう。

答えと解き方を見る

222\sqrt2 です。

50=25×2=52\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2、18=9×2=32\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2。ルートの中が同じ 2 になったので、52−32=225\sqrt2-3\sqrt2=2\sqrt2 とまとめられます。50−18=32\sqrt{50-18}=\sqrt{32} とはしません。

問題3　4<a<54<\sqrt a<5 を満たす自然数 aa は、何個ありますか。

答えと解き方を見る

8個 です。

4、a\sqrt a、5 はどれも正なので、2乗しても大小は変わりません。16<a<2516<a<25 なので、a=17, 18, ⋯ , 24a=17,\ 18,\ \cdots,\ 24 の 8個です。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

平方根とは簡単にいうと何ですか？

2乗するとその数になる数です。たとえば3²＝9、(−3)²＝9なので、9の平方根は3と−3です。

√9は±3ですか？

いいえ、√9＝3です。√は正の平方根だけを表す記号です。「9の平方根」と言うときは、3と−3の2つになります。

0やマイナスの数の平方根はありますか？

0の平方根は0だけです。負の数の平方根は実数にはありません。高校の数学Ⅱでは虚数を使って、√−4＝2iのように表します。

√2と√3はどちらが大きいですか？

√3のほうが大きいです。正の数のルートは、中の数が大きいほど大きくなります。√2は約1.41、√3は約1.73です。

ルートのたし算はどうしますか？

中の数が同じものだけまとめられます。2√3＋3√3＝5√3 です。√2＋√3 はこれ以上まとめられません。

平方根は何年生で習いますか？

中学3年で習います。高校の数学Ⅰでは、分母の有理化などの計算をさらに学びます。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 A 数と式（平方根）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（数と式）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦