絶対値とは？意味と外し方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

絶対値って、マイナスを取るだけですよね？ $|a|=a$ でいいですか？

合格先生

数字ならそれでいいけど、文字は要注意。$a$ が負なら $|a|=-a$ なんだ。たとえば $a=-3$ なら $-a=3$ で、ちゃんと正になるよ。

やさしく言うと

絶対値は、数直線で 0 からどれだけはなれているか（距離）です。$-3$ も $3$ も、0 からの距離は 3 なので、絶対値はどちらも 3 です。

• エレベーター：1 階を 0 として、3 階上も地下 3 階も、1 階から「3 階分」はなれています。上か下か（向き）は考えず、はなれ方だけを見るのが絶対値です。
• 家からの距離：東へ 3km を $+3$、西へ 3km を $-3$ と表しても、家からの距離はどちらも 3km です。
• 気温の差：0℃ から見ると、5℃ も $-5$℃ も 5 度はなれています。

距離なので、絶対値はいつも 0 か正の数になります。数字なら「マイナスの符号を取ったもの」と覚えてもかまいませんが、文字のときは注意が必要です（下の「文字のときの決まり」）。

正しい計算と、まちがった計算

かけ算・割り算は $|ab|=|a||b|$ のように分けてよいのですが、たし算・ひき算は分けられません。$|3+(-5)|=2$ ですが、$|3|+|-5|=8$ です。

図で見る

絶対値は「0 からの距離」ですが、$|a-b|$ の形にすると、2 つの数 $a$ と $b$ の間の距離を表します。

$|a-b|$ と $|b-a|$ は同じ値です。「A さんから B さんまで」と「B さんから A さんまで」の距離が同じなのと同じです。この見方を使うと、$|x-1|=3$ は「1 からの距離が 3 の数」と読みかえられ、$x=4,\ -2$ とすぐにわかります。

サクラちゃん

$|x+2|$ みたいに、中がたし算のときはどう読むんですか？

合格先生

$x+2=x-(-2)$ と考えればいいんだ。だから $|x+2|$ は「$x$ と $-2$ の距離」。符号がひっくり返るところに気をつけよう。

文字のときの決まり

文字 $a$ の絶対値は、$a$ が正か負かで場合分けします。

$a<0$ のときの $-a$ は正の数です。たとえば $a=-3$ なら $-a=-(-3)=3$ です。「マイナスがつくから負」ではありません。

中が式のときも同じです。$|x-2|$ は、$x\geqq2$ なら $x-2$、$x<2$ なら $-(x-2)=2-x$ です。中身が 0 になる値（ここでは $x=2$）が、場合分けの境目になります。

y＝|x| のグラフ

場合分けをグラフで見ると、$y=|x|$ は $x\geqq0$ では $y=x$、$x<0$ では $y=-x$ です。2 本の直線がつながった V 字の形になります。

$x=3$ でも $x=-3$ でも $y=3$ なので、グラフは $y$ 軸について対称です。$y=|x-2|$ なら、この V 字を右へ 2 だけ平行移動した形で、おれまがる点は $(2,\ 0)$ になります。

うかるくん

中身が 0 になるところで、グラフも式もおれまがるんだね！

絶対値をふくむ方程式・不等式

「距離」で考えると解けます。$|x|=2$ は「0 からの距離が 2」なので $x=\pm2$ です。$|x-1|=3$ は「1 からの距離が 3」なので $x=4,\ -2$ です。

中が $x-1$ のような式のときは、「$x-1$ をひとまとめ」にして同じ形を使うか、場合分けをして絶対値をはずします。

合格先生

絶対値は、中身の正・負で場合分けすれば外せるぞ！

テスト・入試ではこう出る

絶対値は中学 1 年の「正の数・負の数」で習います。定期テストや高校入試では、絶対値を求める問題や、「絶対値が○より小さい整数」を数える問題がよく出ます。高校の数学Ⅰでは、文字の場合分け、$\sqrt{a^2}=|a|$、絶対値をふくむ方程式・不等式を学び、大学入試でも基本の道具として使われます。

まちがえやすい点

合格先生

$|x|<2$ を $x<2$ で終わらせるのは×！ 0 からの距離で考えて、$-2<x<2$ だよ。

• $|a|=a$ と決めつける：$a$ が負なら $|a|=-a$ です。$a$ の正負がわからないときは場合分けします。
• $|x|<2$ を $x<2$ だけにする：正しくは $-2<x<2$ です。$x=-5$ は $x<2$ を満たしますが、$|-5|=5$ なので $|x|<2$ を満たしません。
• $|x|>2$ を1つの式で書く：「$-2>x>2$」は書けません。$x<-2,\ 2<x$ と2つに分けて書きます。
• たし算・ひき算を分ける：$|a+b|=|a|+|b|$ は、$a$ と $b$ の符号がちがうと成り立ちません。$|3+(-5)|=2$、$|3|+|-5|=8$ です。
• $\sqrt{a^2}=a$ とする：$\sqrt{a^2}$ は 0 以上なので、正しくは $\sqrt{a^2}=|a|$ です。$a=-3$ なら $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$ です。

ことばの由来

英語では absolute value といいます。absolute は「絶対の、ほかと関係しない」という意味です。符号（向き）とは関係なく、大きさだけを取り出した値、という意味合いの名前です。日本語の「絶対値」は、この英語をそのまま訳したことばです。

記号 $|\ |$ は、19 世紀のドイツの数学者ワイエルシュトラスが使い始めたとされています。

ミニ問題

関連する公式・用語

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• 絶対値と不等式
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あわせて覚えたい用語

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よくある質問