合格大作戦 数学用語辞典 › 数と式
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余りとは
わり算で、同じ数ずつ分けきれずに残った数です。 あまり 1 のとき、1 が余りです。余りはいつもわる数より小さく、 のように「わる数 × 商 ＋ 余り ＝ わられる数」が成り立ちます。
まなぶくん
を「2 あまり 5」にしたら × だった。なんで？
合格先生
余りの 5 から、まだ 4 がとれるよね。余りはわる数より小さくなるまで分けるんだ。正しくは 3 あまり 1 だよ。
この用語のポイント
- わられる数 ＝ わる数 × 商 ＋ 余り（）
- 余りはいつも 0 以上で、わる数より小さい
- くり返し（曜日・時計）は余りの分だけ進める
やさしく言うと
余りは、わり算で同じ数ずつ分けきれずに、残った数です。13 このみかんを 4 人に同じ数ずつ配ると、1 人 3 こずつで、1 こ残ります。この 1 こが余りです。
- おかしを配る：13 こを 4 人で分けると、1 人 3 こで 1 こあまる。 あまり 1 です。
- 曜日：曜日は 7 日で 1 周します。今日から 100 日後の曜日は、100 を 7 でわった余りでわかります。
- 時計：時計の短い針は 12 時間で 1 周します。15 時は、15 を 12 でわった余り 3 から、文字盤では「3」のところです。
- バスの座席：1 台 40 人乗りのバスに 130 人が乗ると、 あまり 10。3 台では 10 人乗れないので、バスは 4 台いります。余りがあるときの答え方は、問題の場面で考えます。
まとめると、余りは「ぴったり分けたあとに、半端に残る分」です。くり返しやグループ分けの問題で、とても役に立ちます。
まなぶくん
余りは、わる数より小さくなるまで分けた「残り」だよ！
正しい余りと、まちがった余り
○ 正しい
- あまり 1（）
- あまり 0（わり切れる）
- あまり 7（わる数のほうが大きい）
- あまり 2（曜日の計算）
- あまり 0.1（小数のわり算）
- 高校では で、余り 2
× まちがい
- あまり 5（余りがわる数より大きい）
- あまり 1（余りの小数点の位置がちがう）
- 余りが 0 のとき「余りはない」と書かずに空らん（「あまり 0」か「わり切れる」と書く）
- あまり 10 だから「バスは 3 台」（場面に合わない）
- の余りを とする（高校の決め方では余りは 0 以上）
余りがわる数と同じか、それより大きいときは、まだわれます。余りは、いつも0 以上で、わる数より小さい数です。
図で見る
くり返すものは、輪にならべると余りの意味がよくわかります。曜日は 7 つで 1 周するので、7 日ごとに同じ曜日にもどります。だから、「何日後」の曜日は、日数を 7 でわった余りの分だけ進めばよいのです。
ハルちゃん
100 日も先のことなのに、2 つ進めるだけでいいの？
合格先生
7 日進むと、ぐるっと 1 周して同じ曜日にもどるよね。だから 98 日（7 × 14）は、何もしていないのと同じ。残りの 2 日だけを数えればいいんだ。
余りは、整数をグループに分けるときにも使います。3 でわった余りは 0, 1, 2 のどれかなので、整数は 3 つのグループに分けられます。
2 でわった余りで分けると、余り 0 が偶数、余り 1 が奇数です。偶数・奇数も、余りで分けたグループの 1 つなのです。
わり算の式と余りの決まり
わり算 の答えが「 あまり 」のとき、次の式がいつも成り立ちます。
| 記号 | 名前 | の場合 |
|---|---|---|
| わられる数 | 13 | |
| わる数 | 4 | |
| 商 | 3 | |
| 余り（） | 1 |
この式は、たしかめ算そのものです。「わる数 × 商 ＋ 余り」を計算して、わられる数にもどれば、答えは合っています。
余りの条件 が大事です。もし余りがわる数以上なら、もう 1 つ分けられるはずなので、商が小さすぎます。
ハルちゃん
たしかめ算「わる数 × 商 ＋ 余り」で、もとの数にもどればOKだね！
中学・高校での余り
中学 2 年では、「3 でわると 1 余る数」を、整数 を使って と表します。これを使うと、余りについての決まりを説明できます。
高校の数学Aでは、整数を余りでグループに分けて考える方法をくわしく学びます。たとえば「どんな整数 でも、 を 3 でわった余りは 0 か 1」ということを、、、 の 3 つの場合に分けて説明します。負の数をわるときも、余り は と決めるので、 より、 を 3 でわった余りは 2 です。
テスト・入試ではこう出る
余りのあるわり算は小学 3 年で習います。中学受験では、曜日の計算（日暦算）、周期算（くり返しの何番目かを余りで考える）、「〜でわると〜余る数」の問題がよく出ます。高校の数学Aでは、余りによる分類を使った整数の証明がよく出ます。
例題1（曜日）
今日は火曜日です。今日から 100 日後は何曜日ですか。
- 曜日は 7 日ごとに同じになるので、100 を 7 でわった余りを考える。
- あまり 2（）
- 98 日後は火曜日にもどり、そこから 2 日進む。火 → 水 → 木。
答え 木曜日
例題2（〜でわると〜余る数）
3 でわると 2 余り、5 でわっても 2 余る整数のうち、100 以下でいちばん大きいものを求めなさい。
- 「3 でわると 2 余る」「5 でわると 2 余る」は、どちらも余りが 2。だから、その数から 2 をひくと、3 でも 5 でもわり切れる。
- 3 と 5 の公倍数は 15 の倍数なので、求める数は「15 の倍数 ＋ 2」：2, 17, 32, 47, 62, 77, 92, 107, …
- 100 以下でいちばん大きいのは 92。
答え 92（たしかめ： あまり 2、 あまり 2）
まちがえやすい点
合格先生
答えを出したら「余り ＜ わる数」とたしかめ算をチェックしよう！
- 余りがわる数より大きい： あまり 5 は×。余りの 5 からまだ 4 がとれるので、正しくは 3 あまり 1 です。答えを出したら、「余り ＜ わる数」になっているか見ましょう。
- たしかめ算をしない：「わる数 × 商 ＋ 余り ＝ わられる数」をたしかめるだけで、多くのミスが見つかります。
- 小数のわり算の余り： を として計算したとき、余りを 1 とするのは×。余りの小数点は、わられる数のもとの位置にそろえて 0.1 です。
- 場面に合わない答え：130 人を 40 人乗りのバスで運ぶとき、 あまり 10 だから「3 台」は×。余りの 10 人も乗るので 4 台です。反対に「40 円のおかしを 130 円で何こ買えるか」なら 3 こ。余りを切り上げるか切り捨てるかは、場面で決めます。
- 何日後の数え方：「今日を 1 日目として 100 日目」と「今日から 100 日後」は、1 日ずれます。100 日目なら、今日から 99 日後です。
ことばの由来
余りは、文字どおり「分けたあとに余った分」です。数学Aや大学の数学では、剰余（じょうよ）ということもあります。「剰」も「あまる」という意味の字です（「余剰」の剰）。
英語では remainder（リメインダー）といい、「あとに残る（remain）もの」という意味です。
ミニ問題
問題1 を計算して、たしかめ算もしましょう。
答えと解き方を見る
8 あまり 2 です。、。余りの 2 は、わる数 6 より小さいので OK です。たしかめ算： で、わられる数にもどります。
問題2 今日は月曜日です。50 日後は何曜日ですか。
答えと解き方を見る
火曜日です。曜日は 7 日で 1 周するので、 あまり 1。7 周してもとの月曜日にもどり、あと 1 日進むので火曜日です。
問題3 整数 を 5 でわると 3 余ります。 を 5 でわると、余りはいくつですか。
答えと解き方を見る
1 です。
- は、整数 を使って と表せる。
- は 5 でわり切れるので、余りは 1。
たしかめ： なら 、 あまり 1。「 だから余り 6」とするのは×。余りは 5 より小さくなるまで、まだわれます。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
余りとは何ですか？
わり算で、同じ数ずつ分けきれずに残った数です。13÷4＝3あまり1の1が余りです。
余りはわる数より大きくなりますか？
なりません。余りがわる数以上なら、まだ分けられるので、商をふやします。余りはいつも0以上でわる数より小さい数です。
わり算のたしかめ算はどうしますか？
わる数×商＋余りを計算し、わられる数にもどるかをたしかめます。13÷4＝3あまり1なら、4×3＋1＝13です。
100日後の曜日はどう求めますか？
曜日は7日で1周するので、100を7でわった余りを考えます。100÷7＝14あまり2なので、今日の曜日から2つ進んだ曜日です。
負の数をわったときの余りはどうなりますか？
高校の数学では、余りを0以上わる数未満と決めます。−7を3でわると、−7＝3×(−3)＋2なので余りは2です。
余りは何年生で習いますか？
小学3年で、あまりのあるわり算を習います。高校の数学Aでは、余りを使って整数を分類する考え方を学びます。
出典・参考
- 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第3学年 A 数と計算（除法）
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（数学と人間の活動）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
