約数と倍数とは？意味と見つけ方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

約数と倍数って、どっちがどっちか、すぐわからなくなっちゃう…

合格先生

$12=3\times4$ で考えよう。3 は 12 の約数（12 をわりきる）、12 は 3 の倍数（3 を 4 倍した数）。小さいほうが約数、大きいほうが倍数だよ。

やさしく言うと

約数は、その数をわりきることができる整数です。12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 でわりきれるので、これが 12 の約数です。

倍数は、その数を 1倍、2倍、3倍、…した数です。3 の倍数は 3, 6, 9, 12, … です。

みのまわりのたとえで考えてみましょう。

• おかしを同じ数ずつ分ける（約数）：クッキーが 12 まいあります。1人, 2人, 3人, 4人, 6人, 12人なら、あまりなく同じ数ずつ分けられます。でも 5人だと 2 まいあまります。あまりなく分けられる人数が、12 の約数です。
• 階段を 3 段ずつのぼる（倍数）：3 段ずつのぼると、足をのせる段は 3 段目、6 段目、9 段目、… です。これが 3 の倍数。九九の「3 の段」の答えと同じです。
• えんぴつのセット（倍数）：1 箱 12 本入りのえんぴつを買うと、本数は 12 本、24 本、36 本、… と、12 の倍数にしかなりません。

2つはうらおもての関係です。$12=3\times4$ なので、「3 は 12 の約数」で、「12 は 3 の倍数」です。まとめると、わりきる側が約数、わりきられる側が倍数です。

まなぶくん

長方形に並べると、約数が2つずつペアで見つかるんだ！

約数・倍数の例と、そうではないもの

図で見る

2つの数の約数を、円の図（ベン図）にかいてみます。左の円に 12 の約数、右の円に 18 の約数を入れると、どちらにも入る数が、まん中の重なりに集まります。これが公約数です。

まなぶくん

重なりのところに入る数って、どうやってさがせばいいの？

合格先生

小さいほうの数（12）の約数を書き出して、1つずつ「18 もわりきれるかな？」とたしかめればいいよ。4 と 12 は 18 をわりきれないから、重なりには入らないね。

倍数は、数直線にならべるとよくわかります。4 の倍数と 6 の倍数を上下にかくと、同じ場所にくる数が公倍数です。

見つけ方

• 約数：かけ算のペアをさがします。$12=1\times12=2\times6=3\times4$ なので、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 です。小さいほうから調べ、ペアが重なったら終わりです。
• 倍数：九九の段と同じです。3 の倍数は「3 の段」の答え 3, 6, 9, … で、どこまでも続きます。

約数は数がかぎられていますが、倍数は限りなくあります。

大きな数が「何の倍数か」は、わり算をしなくても、次の見分け方でわかります。

6 の倍数は「2 の倍数で、しかも 3 の倍数」になっている数です。たとえば 114 は、一の位が 4 で、$1+1+4=6$ なので 6 の倍数です（$6\times19=114$）。

まなぶくん

約数はペアで探すと、見落としがなくなるよ！

公約数と公倍数

2つの数に共通する約数を公約数、そのうちいちばん大きいものを最大公約数といいます。共通する倍数を公倍数、そのうちいちばん小さいものを最小公倍数といいます。

公倍数は、最小公倍数の倍数になっています（4 と 6 なら 12, 24, 36, …）。同じように、公約数は最大公約数の約数になっています（12 と 18 なら 6 の約数 1, 2, 3, 6）。

「最小公約数」や「最大公倍数」は考えません。公約数のいちばん小さいものは、いつも 1 です。公倍数は限りなくあるので、いちばん大きいものはありません。

テスト・入試ではこう出る

約数と倍数は小学 5 年で習います。中学受験では、しきつめ（最大公約数）、同時に出発・同時に重なる（最小公倍数）、1 から○までに△の倍数はいくつ、といった文章題でよく出ます。「どの数でわりきれるか」「いつ重なるか」という言葉が出てきたら、約数・倍数を思い出しましょう。

中学・高校での約数と倍数

小学校では、約数・倍数は 1 以上の整数で考え、0 は倍数に入れません。高校の数学では、整数 $a$, $b$ について $a=bk$（$k$ は整数）と書けるとき、$b$ は $a$ の約数、$a$ は $b$ の倍数と決めます。この決め方では、$-3$ も 12 の約数で、0 はすべての整数の倍数です（$0=b\times0$）。どの範囲で考えるかで、答えが変わることに注意しましょう。

中学では、約数・倍数は素因数分解とつながります。$12=2^2\times3$ のように素数のかけ算に分けると、約数の個数や最大公約数・最小公倍数を、書き出さずに求められます。

まちがえやすい点

合格先生

約数に 1 とその数自身を入れ忘れるのが多いまちがい！ 12 の約数は 1 と 12 もふくめて 6 個だよ。

• 1 とその数自身を約数に入れ忘れる：12 の約数を「2, 3, 4, 6」の 4 個と答えるまちがいです。どんな数も、1 とその数自身は必ず約数です。正しくは 1, 2, 3, 4, 6, 12 の 6 個です。
• 約数と倍数を逆にする：「12 は 3 の約数」は×で、「12 は 3 の倍数」です。「3 は 12 の約数」なら○です。正の数なら、小さいほうが約数、大きいほうが倍数と覚えましょう。
• 最小公倍数を「2つの数のかけ算」だと思う：4 と 6 の最小公倍数を $4\times6=24$ とするまちがいです。正しくは 12 です。かけ算で出せるのは、5 と 7 のように、1 以外の公約数がない（互いに素な）ときだけです。
• 最大公約数と最小公倍数を取りちがえる：12 と 18 の最大公約数は 6、最小公倍数は 36 です。最大公約数はもとの数以下、最小公倍数はもとの数以上になります。答えが 12 より大きい「最大公約数」が出たら、どこかがまちがっています。

ことばの由来

倍数の「倍」は、「何倍」の倍です。もとの数を何倍かした数なので、倍数といいます。英語では multiple（マルチプル）で、「たくさん重なった」という意味の言葉です。

約数は、英語では divisor（ディバイザー）で、「わる（divide）もの」という意味です。「約」には「ちぢめる」という意味があり、分数をかんたんにする「約分」にも同じ字を使います。

ミニ問題

ハルちゃん

ペアでさがす、倍数はわり算で数える。これで約数と倍数はばっちりだね！

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 最大公約数・最小公倍数
• 素因数分解と約数の個数
• 整数の性質（約数の個数・倍数の判定）
• 約数の和と完全数
• ユークリッドの互除法

あわせて覚えたい用語

• 素数
• 最大公約数・最小公倍数
• 素因数分解

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