素数とは？意味・見つけ方・1が素数でない理由をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

素数とは？意味・見つけ方・1が素数でない理由をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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素数とは

1より大きい整数で、約数が「1」と「その数自身」の2つだけの数です。小さい順に 2, 3, 5, 7, 11, 13, … と続きます。1 は素数ではありません。

読み方：そすう／英語：prime number／習う学年：中学1年（中学受験の算数でも使う）

まなぶくん

まなぶくん

先生、1 って素数じゃないんですか？ 1 と自分でしか割れないのに…

合格先生

合格先生

いいところに気づいたね。素数は「約数がちょうど2個」の数なんだ。1 の約数は 1 だけで1個。だから 1 は素数じゃないよ。

この用語のポイント

  • 素数は約数がちょうど2個（1と自分）の数。1は素数ではない
  • 小さい順に 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …。100以下に25個
  • 偶数の素数は2だけ。判定は N\sqrt{N} 以下の素数で割る

やさしく言うと

素数は、それ以上かけ算に分けられない数です。12 は 2×6 や 3×4 に分けられますが、7 は 1×7 にしか分けられません。身近なたとえで考えてみましょう。

  • あめを同じ数ずつ配る：12 個のあめは、2人に6個ずつ、3人に4個ずつ、4人に3個ずつ…と、いろいろな人数で同じ数ずつ分けられます。でも 7 個のあめは、7人に1個ずつか、1人に全部かしかありません。7 は素数です。
  • 点を長方形に並べる：素数の個数の点は、1列にしか並びません。12個の点は 2列×6個、3列×4個など、何通りもの長方形になります（下の図）。
  • ブロックの部品：どんな整数も、素数のかけ算に分けられます（12=2×2×312=2\times2\times3）。素数は、整数を作る「これ以上分けられない部品」のようなものです。
7個（素数） 1列×7個の並べ方しかない 12個（素数ではない） 2列×6個 3列×4個 長方形が 何通りもできる
素数の個数の点は、1列にしか並ばない

まとめると、素数は「1 と自分自身でしか割り切れない、2 以上の整数」です。約数がちょうど2個の数、と言いかえることもできます。

素数の例と、素数でない数

○ 素数

  • 2（ただ1つの偶数の素数）
  • 3, 5, 7（1けたの素数は 2 とあわせて4個）
  • 11, 13, 17, 19（10台の素数は4個）
  • 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
  • 97（100以下で最大の素数）
  • 101（3けたで最小の素数）

× 素数ではない数

  • 1（約数が1個だけ）
  • 9＝3×3（奇数でも素数とは限らない）
  • 15＝3×5、21＝3×7
  • 51＝3×17（各位の和が 6 で、3 の倍数）
  • 57＝3×19（「素数っぽい」が 3 の倍数）
  • 91＝7×13（いちばん見落としやすい）

1 と素数以外の、2以上の整数を合成数といいます。正の整数は「1」「素数」「合成数」の3つに分かれます。

範囲素数の個数素数
10以下4個2, 3, 5, 7
11〜306個11, 13, 17, 19, 23, 29
31〜505個31, 37, 41, 43, 47
51〜10010個53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
100以下の合計25個
ひらめいたまなぶくん

まなぶくん

51 も 57 も 91 も素数じゃないんだ！ 奇数だからって安心できないね。

図で見る

1 から 20 までの数について、約数がいくつあるかをぼうグラフにしてみます。約数がちょうど2個（赤）の数が素数です。

約数の個数（1〜20） 123456 1234567891011121314151617181920 ちょうど2個 ＝ 素数 3個以上 ＝ 合成数 1 は約数が1個だけなので、どちらでもない
約数がちょうど2個（赤）が素数。1 は約数が1個だけ

グラフを見ると、1 だけが約数1個で、ほかの数とはっきりちがうことがわかります。12・18・20 のように約数が多い数もあれば、2・3・5・7 のように最小の2個しかない数もあります。

ハルちゃん

ハルちゃん

1 も「1 と自分でしか割れない」のに、どうして素数じゃないの？

合格先生

合格先生

1 は「1」と「自分」が同じ数だから、約数は1個しかないんだ。それに 1 を素数にすると、6=2imes3=1imes2imes3=1imes1imes2imes36=2 imes3=1 imes2 imes3=1 imes1 imes2 imes3 …と、素数への分け方が1通りに決まらなくなってしまう。だから 1 は仲間に入れない約束なんだよ。

素数の見つけ方

エラトステネスのふるい

表に数を並べ、2 を残して2の倍数を消し、3 を残して3の倍数を消し…とくり返します。最後に残った数が素数です。この方法をエラトステネスのふるいといいます。ふるいで砂から小石を残すように、素数だけが残ります。

2・3・5・7 の倍数（自分以外）を消すと、残りが素数1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950 50以下の素数は 15個（1は素数ではない）
1〜50のエラトステネスのふるい。赤い丸が素数

50 までなら、2・3・5・7 の倍数を消せば終わりです。次の素数 11 の倍数のうち、まだ消えていない最小のものは 11×11=12111\times11=121 で、50 をこえるからです。

1つの数が素数かどうかを調べる

ある数 NN が素数かどうかは、N\sqrt{N} 以下の素数で割り切れるかを調べれば決まります。NN を2つの数のかけ算に分けると、小さいほうは必ず N\sqrt{N} 以下になるからです。

36 ＝ 小さいほう × 大きいほう 1×36＝ 362×18＝ 363×12＝ 364×9＝ 366×6＝ 36 赤はどれも 6 以下 （6×6＝36 　6 は √36） 割り切れる数があれば、√N 以下にも必ず1つある → √N 以下の素数で割れなければ、N は素数
36＝□×□ の小さいほうは、どれも √36＝6 以下

たとえば 91 なら 91<10\sqrt{91}<10 なので、2, 3, 5, 7 で割ってみます。91=7×1391=7\times13 なので素数ではありません。97 なら同じく 2, 3, 5, 7 のどれでも割り切れないので、素数です。

ひらめいたまなぶくん

まなぶくん

小さい素数の倍数を順に消していけば、残った数が素数だ！

知っておきたい素数の性質

  • 偶数の素数は 2 だけ：4 以上の偶数は、どれも 1・2・自分 の3つ以上の約数をもつからです。
  • 2 と 3 以外の素数は、6 で割ると 1 か 5 余る：6 で割って 0, 2, 3, 4 余る数は、2 か 3 で割り切れるからです。
  • 素数は無限にある：古代ギリシャのユークリッドが証明しました。素数が有限個だと仮定し、全部かけて1を足した数を考えると矛盾が出ます（背理法の有名な例）。
  • 素因数分解はただ1通り：かける順番を除けば、分け方は1つに決まります。これが、1 を素数に入れない大きな理由です。

テスト・入試ではこう出る

素数は中学1年の「素因数分解」で正式に習い、中学受験の算数でもよく使います。高校では数学Aの整数の問題で、「素数だから約数は 1 と自分だけ」という性質を使って答えをしぼる問題がよく出ます。よく出る形は次のとおりです。

  • ある範囲の素数を全部書く・個数を答える
  • ある数が素数かどうかを判定する
  • 「2つの素数の和・積が〇〇」から素数を決める（偶数の素数は 2 だけ、を使う）

例題1（素数の判定）

221 は素数ですか。

  1. 221\sqrt{221} を見積もる：142=19614^2=196、152=22515^2=225 なので、221\sqrt{221} は 14 と 15 の間。
  2. 14 以下の素数 2, 3, 5, 7, 11, 13 で順に割る。2（奇数）・3（各位の和 5）・5（一の位が 1）では割れない。7 は 221=7×31+4221=7\times31+4 で割れない。11 は 221=11×20+1221=11\times20+1 で割れない。
  3. 13 で割ると 221=13×17221=13\times17。割り切れた。

答え　素数ではない（221=13×17221=13\times17）

例題2（2がカギ）

和が 25 になる2つの素数を求めなさい。

  1. 2つの素数の和が奇数の 25 になるには、偶数＋奇数でなければならない（奇数＋奇数は偶数）。
  2. 偶数の素数は 2 だけなので、片方は 2。
  3. もう片方は 25−2=2325-2=23 で、23 は素数。

答え　2 と 23

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

和や差が奇数になったら「片方は 2」を疑う。これが素数の問題の大事なコツだよ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「1は素数」はいちばん多い間違い！ 約数がちょうど2個かどうかで判断しよう。

  • 1 を素数に入れる：1 の約数は 1 だけで、「2個」ではありません。素数は 2 から始まります。
  • 奇数はみんな素数だと思う：9, 15, 21, 27, 33, 39, 49, 51, 57, 63, 87, 91 などは奇数でも素数ではありません。とくに 51・57・91 はよくまちがえます。
  • 2 を素数から外す：2 は偶数ですが、約数は 1 と 2 の2個なので素数です。ただ1つの偶数の素数です。
  • 判定で割る数が足りない：「2・3・5 で割れないから素数」とすると、49（＝7×7）や 91 をまちがえます。N\sqrt{N} 以下の素数は全部ためします。

ことばの由来・歴史

「素」には「もと」という意味があります。素数は、整数のもとになる数という意味の名前です。英語では prime number といい、prime は「第一の・最初の」という意味をもつ言葉です。

素数をふるいで見つける方法は、古代ギリシャの学者エラトステネスの名前でよばれています。素数が無限にあることは、ユークリッドの『原論』に証明が書かれています。

ミニ問題

問題1　50 から 70 までの素数を、すべて書きましょう。

答えと解き方を見る

53, 59, 61, 67 の4個です。70<9\sqrt{70}<9 なので、2, 3, 5, 7 で割れるかを調べれば十分です。51＝3×17、57＝3×19、63＝7×9、69＝3×23 のように、奇数でも素数でない数が多いので注意しましょう。

問題2　119 は素数ですか。理由も答えましょう。

答えと解き方を見る

素数ではありません。119<11\sqrt{119}<11 なので、2, 3, 5, 7 で順に割ってみます。2・3・5 では割り切れませんが、119=7×17119=7\times17 と 7 で割り切れます。約数が 1, 7, 17, 119 の4個なので合成数です。

問題3　pp、p+2p+2、p+4p+4 が3つとも素数になる pp を、すべて求めましょう。

答えと解き方を見る

p=3p=3 だけです（3, 5, 7）。

  1. pp、p+2p+2、p+4p+4 を 3 で割った余りは、3つ全部ちがいます（余りが 0, 1, 2 を1回ずつとる）。
  2. だから、3つのうち必ず1つは 3 で割り切れます。
  3. 3 で割り切れる素数は 3 だけなので、どれかが 3 です。p=3p=3 なら 3, 5, 7 で全部素数。p+2=3p+2=3 や p+4=3p+4=3 だと pp が 1 以下になり、素数になりません。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

1は素数ですか？

素数ではありません。素数は約数がちょうど2個（1とその数自身）の数で、1の約数は1だけだからです。1を素数にすると、素因数分解が1通りに決まらなくなるという理由もあります。

100までの素数はいくつありますか？

25個です。2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 です。

偶数の素数はありますか？

2だけです。4以上の偶数はすべて2で割り切れるので、約数が3個以上になります。

素数かどうかを調べるには？

その数の平方根以下の素数で、順に割ってみます。どれでも割り切れなければ素数です。たとえば97は、2、3、5、7のどれでも割り切れないので素数です。

合成数とは何ですか？

2以上の整数のうち、素数でない数です。4、6、8、9、10などで、約数が3個以上あります。1は素数でも合成数でもありません。

素数はいくつありますか？

無限にあります。古代ギリシャのユークリッドが、背理法で証明しました。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 A 数と式（素因数分解）
  • ユークリッド『原論』第9巻 命題20（素数が無限にあること）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦