エルデシュは何をした人？業績・エルデシュ数・名言｜1,500本の論文・ラムゼー理論・THE BOOK

エルデシュは何をした人？（業績をひとことで）

ポール・エルデシュ（1913〜1996年）は、ハンガリー出身の数学者です。生涯に1,500本をこえる論文を書き、500人あまりの共同研究者と協力した、数学の歴史でも類のない人です。決まった家を持たず、トランクを2つだけ持って世界じゅうの数学者の家を渡り歩きながら、数学の問題を考えつづけました。彼と共同で論文を書いたかどうかで測る「エルデシュ数」は、数学者の世界の有名な遊びになっています。数論、組合せ論、グラフ理論、確率論など、広い分野で成果をあげ、離散数学という分野を大きく育てました。

受験生にとってのエルデシュは、「nと2nの間には素数がある」というベルトランの定理の簡単な証明を作った人、そして「6人いれば、3人の知り合いか3人の他人がかならずいる」というラムゼー理論の人です。高校数学の素数とは何か、鳩の巣原理（部屋割り論法）、順列・組合せが、エルデシュの世界への入口です。

うかるくん

トランク2つで世界じゅうを旅するって、どうやって生活していたんですか！？

合格先生

エルデシュは、友だちの数学者の家に「私の脳は開いている」と言って訪ねて、数日いっしょに論文を書くんだ。次の友だちの家へ移るときは、その友だちが交通費まで出すこともあったそうだよ。

エルデシュの生涯と年表

数学の先生の家に生まれた子

エルデシュは、1913年3月26日に、ハンガリーのブダペストで生まれました。父ラヨシュも母アンナも、数学の教師でした。生まれる直前に、2人の姉が病気で亡くなっていたと伝えられ、母は幼いポールをとても大切に育てたといいます。そのため、エルデシュは学校にあまり通わず、家庭で教育を受けた時期が長かったとされます。

数字には、早くから才能を見せました。3歳のころには、人が生まれてから何秒生きたかを計算して、周りをおどろかせた、という話が伝わっています。（本人や家族の回想にもとづく話です。）

19歳で、ベルトランの定理を証明

1932年、エルデシュは19歳のころに、ベルトランの定理（nと2nの間にはかならず素数がある）の、とてもやさしい証明を発表しました。この定理は、すでに1850年にチェビシェフが証明していましたが、エルデシュの証明は、組合せの考え方を使っただれにでも分かる美しいもので、数学界に名前が知られるきっかけになりました。この定理について、エルデシュは次のような韻をふむ言葉を作ったと伝えられています。

チェビシェフがそう言った。私もまた言おう。nと2nの間には、いつも素数がある。

21歳で博士号、そして放浪の始まり

1934年、エルデシュは21歳でブダペスト大学の博士号を取りました（指導者は数学者フェイェールとされます）。同じ年にハンガリーを出て、イギリスのマンチェスターで研究員になります。ユダヤ人だったため、ハンガリーに居づらくなったことも理由でした。1938年にはアメリカのプリンストンへ移り、のちには世界じゅうを旅しながら研究する暮らしになります。

素数定理の「初等的証明」（1949年）

1949年、エルデシュはノルウェーの数学者セルバーグとともに、素数定理の「初等的な証明」を見つけました。素数定理は、「$x$ 以下の素数の個数がおよそ $\dfrac{x}{\log x}$ になる」という、素数の散らばり方の法則です。1896年にアダマール（素数定理の証明者）らが複素解析で証明していましたが、複素数を使わない別の証明は難しいと思われていました。この発見をめぐっては、セルバーグとエルデシュのどちらが先に論文を出すかで、意見の食いちがいがあり、後世にも語られます。セルバーグは、この仕事などで1950年にフィールズ賞を受けました。

旅の暮らしと、長い晩年

1950年代には、政治的な事情で、アメリカへの再入国が認められない時期もありました（1963年に再びビザがおりたとされます）。その間も、エルデシュは各地を旅し、新しい共同研究者を見つけて論文を書きつづけました。1983年度には、数学のウルフ賞を受賞します。賞金のほとんどを、自分のためでなく人のために使ったと伝えられています。1996年9月20日、ポーランドのワルシャワで、数学の学会に参加している途中に、83歳で亡くなりました。「数学をしながら亡くなった」と、よく語られます。

エルデシュの主な業績をやさしく解説

エルデシュの名前がつく公式・定理・用語

• エルデシュ数：エルデシュとの共著のつながりの段数。
• ベルトランの定理（チェビシェフの定理）：nと2nの間には素数がある。エルデシュの証明が有名。→ 素数の意味と性質
• エルデシュ・セケレシュの定理：$n^2+1$ 個の異なる数の列には、長さ $n+1$ の単調な部分列がある。
• エルデシュ・コー・ラドーの定理：集合の族についての定理。組合せ論の基本です。→ 集合の要素の個数の公式
• エルデシュ・レーニィのランダムグラフ：点と点を確率で結んでできるグラフ。→ 確率の基本の公式
• エルデシュ・カッツの定理：整数の素因数の個数が、正規分布のように散らばることを示した定理。
• エルデシュ・ストラウス予想：$\dfrac4n=\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z$ をみたす自然数が、どんな $n\ge2$ にもあるか、という未解決の予想。
• エルデシュの確率的方法：ランダムに選ぶことで存在を示す証明の方法。

合格先生

エルデシュの問題は、問題文がやさしいものが多いんだ。「6人」「5つの点」「nと2n」。小学生でも問題の意味が分かるのに、解くのはものすごく難しい。それが数学の面白さだよ。

エルデシュの逸話と名言

「私の脳は開いている」

エルデシュは、友人の数学者の家の玄関に現れると、「私の脳は開いている」と言った、と伝えられています。これは「いっしょに数学の問題を考えよう」という意味です。数日間いっしょに論文を書き、また次の家へ向かう。そのくり返しの人生でした。持ち物は、トランク2つだけ。ほとんどの収入や賞金は、人にあげてしまったといわれます。

エルデシュ語

エルデシュは、独特の言いまわしを使いました。子どもを「イプシロン」（数学で、小さな数を表す文字）とよび、神を「SF（Supreme Fascist＝最高のファシスト）」、人が亡くなることを「去った」、数学をやめることを「死んだ」と言った、といわれます。ユーモアのある人だったようです。

モンティ・ホール問題を信じなかった？

エルデシュは、有名なモンティ・ホール問題（確率の直感のずれ）の答えを、最初は信じなかった、という逸話があります。説明されても納得せず、コンピューターのシミュレーションで結果を見て、ようやく納得した、と伝えられています。確率の直感は、エルデシュのような大数学者でも、まちがうことがあるのです。

名言

数学者とは、コーヒーを定理に変える機械である。

「別の屋根、別の証明（Another roof, another proof）」という言葉も、エルデシュの旅の暮らしを表す言葉として知られています（こちらも、本人の言葉として広まったものです）。

1,500本の論文、500人の共著者

エルデシュが書いた論文の数は、1,500本をこえるといわれ、数学の歴史でも、オイラーと並んで、最も多くの論文を書いた数学者の一人だといわれます。共同研究者は500人あまり。数学の歴史でも、最も多くの人と協力した数学者でしょう。

サクラちゃん

数学って、1人でこつこつ考えるイメージでした。みんなで考えるのも楽しそうですね！

合格先生

そうなんだ。エルデシュは数学は人とつながる遊びだと教えてくれた。受験勉強も、友だちと問題を出し合うと、思わぬ発見があるよ。

受験・勉強とエルデシュのつながり

中学受験・高校受験：場合の数と鳩の巣原理

中学受験や高校受験の算数・数学では、「6人で全員が1回ずつ握手すると何回？」「くじを引いて、必ず同じ色の玉が2個出るには何個引く？」のような問題が出ます。この考え方が、エルデシュの組合せ論の入口です。鳩の巣原理（部屋割り論法）は、中学受験でも出てくる重要な考え方です。数学オリンピックの問題として、数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）にも触れておきましょう。

大学受験：素数・整数・確率

大学入試では、素数に関する問題（「nが素数のとき…」「素数pについて…」）が、整数問題の定番です。京都大学や東京大学の問題でも、素数・整数がよく出ます。西暦の素数を題材にした2027は素数？双子素数と西暦の入試問題も、この世界につながります。また、唯一の偶数の素数2の話は唯一の偶数の素数「2」の話にもまとめています。「6人の友だち」の問題は、入試問題として出ることもあります。

大学・大学院入試：組合せ論・グラフ理論

大学では、離散数学・グラフ理論・確率論の授業で、ラムゼー理論やランダムグラフを学びます。大学院入試の組合せ論でも、鳩の巣原理や確率的方法が出題されます。

勉強法として：問題を「自分でつくる」

エルデシュは、問題を解くだけでなく、問題をつくる人でもありました。「もしこうだったらどうなるか」と考えて、問題を一般化する。勉強でも、解いた問題を少し変えて、「別の数ではどうなるか」「条件を変えたら？」と考えると、理解が深まります。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。

エルデシュがその後の数学にあたえた影響

• 離散数学・組合せ論：エルデシュの仕事は、組合せ論・グラフ理論という分野を、数学の中心的な分野に押し上げました。
• 確率的方法：「ランダムに選べば、例が見つかる」という方法は、計算機科学・情報理論・ネットワークの理論でも、標準的な道具です。
• 共同研究のスタイル：エルデシュのように、多くの数学者と協力して、問題を解いていくスタイルが広まりました。テレンス・タオ（エルデシュの問題を解いた現代の数学者）は、エルデシュの「不一致問題」を2015年に解いています。
• 難問の遺産：エルデシュが残した多くの問題は、今も数学者が挑んでいる課題です。
• 数学コミュニティ：エルデシュ数は、数学者のネットワークを意識させる遊びとして、数学者たちの文化の一部になりました。

決まった家を持たず、数学だけを追いかけた人生。ほかの人からはふしぎに見える生き方でしたが、エルデシュは、数学を通して、世界じゅうの人と友だちになった人でもありました。

エルデシュに挑戦！練習問題

エルデシュと関係する数学者

• ユークリッド（素数が無限にあることの証明）：エルデシュは、ユークリッドの昔から続く素数の研究を受けつぎました。
• アダマール（素数定理）：素数定理を1896年に証明。エルデシュはその初等的証明を見つけました。
• ハーディ（イギリスの数論学者）・ラマヌジャン：ベルトランの定理の別の証明を、ラマヌジャンも作りました。
• テレンス・タオ（エルデシュの問題を解決）：エルデシュの不一致問題を2015年に解きました。
• 張益唐（双子素数）：双子素数予想の大きな進展（2013年）は、エルデシュの時代からの課題でした。
• コンウェイ（組合せ論の遊び）：パズルのような組合せの問題で、エルデシュに通じる数学者です。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、用語の意味は数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）も役立ちます。

20世紀の数学者

• ヒルベルトの業績と生涯
  1900年に「ヒルベルトの23の問題」を発表。ヒルベルト空間
• ミンコフスキー（1864〜1909）
  数の幾何学・相対性理論の時空（ミンコフスキー空間）
• アダマール（1865〜1963）
  素数定理を証明（ド・ラ・ヴァレー・プーサンと同じ1896年）
• ラッセル（1872〜1970）
  集合論の「ラッセルのパラドックス」・『プリンキピア・マテマティカ』
• 高木貞治の業績と生涯
  類体論を完成させた。日本の近代数学の父
• ルベーグ（1875〜1941）
  ルベーグ積分（測度論）
• ハーディの業績と生涯
  ラマヌジャンを見いだした。『ある数学者の生涯と弁明』
• ネーターの業績と生涯
  抽象代数学の母。対称性と保存則のネーターの定理
• ワイル（1885〜1955）
  リーマン面・群論と量子力学
• 掛谷宗一（1886〜1947）
  長さ1の針を回す最小の面積を問う「掛谷問題」
• ラマヌジャンの業績と生涯
  ほぼ独学で数千の公式を残した天才。タクシー数1729
• バナッハ（1892〜1945）
  関数解析（バナッハ空間）・バナッハ＝タルスキーのパラドックス

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
• モンティ・ホール問題をわかりやすく
  変えると確率2/3になる理由
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• 数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）
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