ユークリッドは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜原論・互除法・素数が無限にある証明

ユークリッドは何をした人？（業績をひとことで）

ユークリッド（前330年ごろ〜前275年ごろ、ギリシャ語読みでエウクレイデス）は、古代ギリシャの数学者です。エジプトの都市アレクサンドリアで活躍したとされ、それまでの数学の成果を集め、少数の約束（公理）から順に証明していく形に整理した『原論（げんろん）』全13巻を書きました。この本は、2000年以上のあいだ、世界の数学の教科書として読まれつづけました。

名前は、ユークリッドの互除法（2つの数の最大公約数を求める方法）、素数が無限にあることの証明、ユークリッド幾何学（ふつうの平面や空間の幾何学）として、今も教科書に出てきます。受験生にとっては、ユークリッドの互除法のやり方と証明が最重要です。そのほか、約数・倍数・素因数分解の考え方最大公約数と最小公倍数の求め方、図形の作図や証明の書き方も、ユークリッドの流れの上にあります。

ただし、ユークリッド本人の生涯はほとんど分かっていません。生まれた年も亡くなった年も、出身地も不明で、前330年ごろという数字は、「プラトンの弟子たちよりあと、アルキメデスよりも前」という古代の記録からの推定です。このページでは、確かな事実と、「〜と伝えられます」「諸説あります」の話を分けて書きます。

ユークリッドの生涯と年表

ほとんど分からない人物

ユークリッドの経歴で、昔から語られてきたのは、「プトレマイオス1世（エジプトの王、在位前323〜前283年）の時代にアレクサンドリアにいた」ということだけです。5世紀の哲学者プロクロスが『原論』第1巻の注釈に書いた記録で、プラトンの周りの学者たちより後の人で、アルキメデスとエラトステネスより前の人、とされています。アルキメデスが著作の中で『原論』の内容にふれていることが、その理由の一つです。

アレクサンドリアには王が建てた大図書館と研究所（ムセイオン）があり、ユークリッドはそこで教えたという説が有力です。ただし、これも推定にすぎません。中世のヨーロッパでは、哲学者の「メガラのエウクレイデス」と同一人物と思いちがえられた時代もありました。別人だと分かったのは、ルネサンス期になってからです。

『原論』と、ほかの著作

『原論』のほかに、ユークリッドの作品として次のものが伝わっています。『与えられたもの（デドメナ）』は図形の問題の解き方、『光学』は視線と遠近を幾何で調べた本、『現象』は天文学の本、『図形の分割』は図形を決まった比に分ける問題集です。『円錐曲線』『誤謬推理』などは失われました。これらも含め、数学の分野が広かったことが分かります。

2000年以上、教科書でありつづけた

『原論』はギリシャ語の写本として伝わり、のちにアラビア語・ラテン語に訳されました。1482年にはヴェネツィアで印刷本が出され、聖書の次によく出版された本ともいわれます。17世紀の中国では、イタリアの宣教師マテオ・リッチと中国の学者徐光啓（じょこうけい）が、1607年に第1〜6巻を『幾何原本』として漢訳しました。この本の題から、現代の「幾何（きか）」という言葉が生まれたといわれます。日本には江戸時代にこの本が伝わっています。

ユークリッドの主な業績をやさしく解説

ユークリッドの名前がつく公式・定理・用語

• ユークリッドの互除法：2つの数の最大公約数を、割り算のくり返しで求める方法。→ 互除法の手順・証明・入試問題
• ユークリッドの補題：素数 $p$ が $ab$ を割り切るなら、$p$ は $a$ か $b$ を割り切る。素因数分解の一意性の土台。
• 素数が無限にあることの証明：『原論』第9巻命題20（ユークリッドの定理とよばれることもあります）。
• ユークリッド・オイラーの定理：偶数の完全数は $2^{p-1}(2^p-1)$（$2^p-1$ が素数）の形。→ 整数の性質（約数・倍数・素数）
• ユークリッド幾何学：平行線の公準を認める、ふつうの平面・空間の幾何学。→ 平行線と角の性質
• ユークリッド空間・ユークリッド距離：大学の数学で、ふつうの空間や距離（$\sqrt{x^2+y^2}$）をよぶ名前。三平方の定理とはと同じ形です。
• ユークリッドの原論：全13巻、465の命題。数学の教科書の原型。

ユークリッドの逸話と名言

「幾何学に王道なし」

ユークリッドの名言として、最もよく知られているのが次の言葉です。

幾何学に王道なし。

どんな身分の人でも、学問には近道がない、という意味です。受験勉強にも当てはまる言葉として、よく引用されます。

「学んで何の得があるの？」

もう一つ、5世紀ごろの本に書かれた逸話があります。ユークリッドに幾何学を習いはじめた若者が、最初の定理を学んだあとで「これを学んで、どんな得があるのですか」と質問しました。ユークリッドは召使いをよび、「この人に小銭を渡しなさい。学んだことから、得をしないといけないらしいから」と言ったといわれます。数学そのものの面白さを知ってほしい、という気持ちが伝わる話ですが、これも後世の作り話ともいわれ、本当に起きたことかは分かりません。

おだやかで、ほかの学者を大切にした人？

4世紀の数学者パッポスは、ユークリッドを「たいへんおだやかで、だれに対しても親切で、他人の仕事を正しく評価した人」と書いたとされます。同じころ活躍したアポロニウス（円錐曲線）を、「うぬぼれの強い人だ」と書いた箇所とくらべられることもあります。どちらも、数百年のちの人が書いた評価で、人柄の確かな記録ではありません。

リンカーンも『原論』を読んだ？

アメリカ合衆国のリンカーン大統領は、弁護士の仕事で論理的に考える力をきたえようと、『原論』を勉強したと伝えられています。ユークリッドの「証明の積みあげ方」は、数学だけでなく、法律・哲学など多くの分野の手本とされてきました。アメリカ独立宣言の書き方にも影響があったという説もありますが、これは諸説あります。

受験・勉強とユークリッドのつながり

中学受験：最大公約数・最小公倍数・作図

中学受験の算数では、最大公約数と最小公倍数の問題が必ず出ます。小さな数なら素因数分解や連除法を使いますが、大きな数や、「2つの数の最大公約数がわかっているとき」の条件整理には、互除法の考えが役に立ちます。「$a$ と $b$ の最大公約数が $g$ なら、$a=g\times x$、$b=g\times y$（$x$ と $y$ は互いに素）と置く」という方法も、最大公約数と最小公倍数の関係式として何度も使います。

高校受験：作図と証明問題

中学1年の作図（垂直二等分線・角の二等分線・垂線）は、ユークリッドの「定規とコンパスだけ」の約束にしたがっています。中学2年の図形の証明（三角形の合同条件を使って「△ABC≡△DEF を証明しなさい」と書く問題）も、『原論』の考え方そのものです。三角形の合同条件と証明の書き方を何度も練習しましょう。

大学受験：互除法・1次不定方程式・整数問題

大学入試の整数問題では、互除法の考え（$\gcd(a,b)=\gcd(b,a-bq)$）を使って、互いに素であることを示す問題が定番です。たとえば「$n$ と $n+1$ は互いに素」「$2n+1$ と $n$ の最大公約数」などです。また、素数が無限にある証明の型（「$p_1p_2\cdots p_n+1$ を考える」）は、「4で割って3余る素数は無限にある」のような発展問題にも応用されます。京大理系数学の出題分析（整数問題の出方）を見ると、整数問題が毎年のように出ていることが分かります。

勉強法として：「何が仮定で、何を示すか」をはっきり書く

ユークリッドの教えは、答案づくりそのものです。①仮定（条件）を書く、②使う定理をはっきり示す、③順番に進める、④結論に着く。この4つがそろうと、採点者に伝わる答案になります。数学全体の勉強の進め方は、数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）で読めます。

ユークリッドがその後の数学にあたえた影響

• 証明の形式：「定義→公理→定理→証明」の形は、数学だけでなく、哲学・法律・物理にも広がりました。ニュートンの『プリンキピア』も、『原論』のような形式で書かれています。
• 非ユークリッド幾何学：第5公準の疑問から、ロバチェフスキー・ボーヤイ・リーマンの新しい幾何学が生まれ、相対性理論の数学になりました。
• 公理主義：ヒルベルトは1899年に『幾何学の基礎』で、『原論』の公理の抜けを補い、現代の公理系に作りかえました。
• 整数論：互除法は連分数・不定方程式・暗号（RSA暗号の計算）にまで使われています。素数の無限性は、オイラーが別の方法で証明するなど、現代の素数研究へ続きます。
• 教育：19世紀まで、ヨーロッパの学校では『原論』が幾何の教科書でした。日本でも、江戸時代の末から明治にかけて、幾何学の教育の土台になりました。

互除法は、現代では、パソコンやスマートフォンでの暗号通信で毎日のように使われています。2000年以上前のアルゴリズム（計算の手順）が、現在も現役で働いているのです。

ユークリッドに挑戦！練習問題

ユークリッドと関係する数学者

• タレス（証明の数学のはじまり）：「円の直径に対する円周角は直角」など、ユークリッドより前から、証明を考えた人です。
• ピタゴラス（三平方の定理と完全数）：学派の成果は、『原論』の第1巻・第7〜9巻・第10巻に取り入れられています。
• アルキメデス（円周率と球の体積）：『原論』を読んだうえで、さらに先の数学を築いた人です。
• エラトステネス（素数のふるい）：ユークリッドの素数の研究をさらに進め、地球の大きさも測りました。
• アポロニウス（円錐曲線）：ユークリッドの弟子たちに学んだと伝えられます。
• ロバチェフスキー（非ユークリッド幾何学）・ヒルベルト（幾何学の基礎）：『原論』を新しい時代に作りかえた数学者です。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、数学で使う記号の意味は数学でよく使う記号の意味一覧（Σ・∫・≡）もどうぞ。

古代の数学者

• タレスの業績と生涯
  「半円に対する円周角は直角」（タレスの定理）。証明を数学に持ちこんだ最初の人とされる
• ピタゴラスの業績と生涯
  三平方の定理（ピタゴラスの定理）。「万物は数である」の教団を開いた
• アルキメデスの業績と生涯
  円周率を3.14まで求め、球の体積と表面積を発見。てこ・浮力の原理
• エラトステネスの業績と生涯
  素数を見つける「エラトステネスのふるい」。地球の大きさを測った
• アポロニウス（前262ごろ〜前190ごろ）
  『円錐曲線論』。楕円・放物線・双曲線の名前をつけた
• ヘロンの業績と生涯
  3辺の長さから三角形の面積を出す「ヘロンの公式」
• プトレマイオス（100ごろ〜170ごろ）
  『アルマゲスト』。円に内接する四角形の「トレミーの定理」
• ディオファントス（200ごろ?〜284ごろ?）
  『算術』。整数の解を求める方程式（ディオファントス方程式）。「代数の父」
• 劉徽（220ごろ?〜280ごろ?）
  『九章算術』の注釈。正多角形で円周率を3.14まで求めた
• パップス（290ごろ〜350ごろ）
  中線定理・パップス＝ギュルダンの定理。ギリシャ数学をまとめた
• ヒュパティアの業績と生涯
  記録に残る最初期の女性数学者。円錐曲線論などを注釈して教えた
• 祖沖之の業績と生涯
  円周率を3.1415926〜3.1415927の間と求め、355/113（密率）を示した

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ユークリッドがかかわった数学の難問

• 平行線公準の問題とは（不可能・決められないと証明）
  ほかの公理から平行線の公理を証明できるか。証明できず、成り立たない幾何学（非ユークリッド幾何学）もあると分かった
• 素数は無限にあるかとは（解決）
  素数がどこまでも続くことを、背理法で示した最も古い有名な証明の一つ
• 奇数の完全数はあるかとは（未解決）
  6・28のように約数の和が自分の2倍になる完全数。偶数のものは52個見つかっているが、奇数の完全数は1つも見つかっていない

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

• 算数・数学の公式一覧（公式辞典）
  公式・証明・例題を1つずつ
• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
• 唯一の偶数の素数「2」の話
  素数から学ぶ逆転合格の考え方
• 2027は素数？双子素数と西暦の入試問題
  2027＝45²＋2
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