ロバチェフスキーは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜非ユークリッド幾何学・平行線の公理

ロバチェフスキーは何をした人？（業績をひとことで）

ニコライ・イヴァノヴィチ・ロバチェフスキー（1792〜1856年）は、ロシアの数学者です。2000年以上のあいだ「正しい」とされてきたユークリッドの幾何学とはちがう、平行線の公理が成り立たない新しい幾何学（非ユークリッド幾何学）を、世界ではじめて印刷して発表した人です。この幾何学では三角形の内角の和が180°より小さくなります。人は「想像の幾何学」といって笑いましたが、のちに、現代の宇宙論や相対性理論の数学にもつながる大発見だと分かりました。ロバチェフスキーは「幾何学のコペルニクス」ともよばれます。

受験生にとってのロバチェフスキーは、「当たり前だと思っていたことを、疑ってみる」という数学の姿勢の代表です。中学・高校で習う「平行線の同位角は等しい」（平行線と角の性質）や「三角形の内角の和は180°」（多角形の内角の和の公式）は、じつは「平行線の公理」があってはじめて成り立つ性質です。くわしくは平行線公準の問題とは？で、2000年の歴史をまとめています。

うかるくん

三角形の内角の和が180°じゃない世界なんて、ありえるんですか？

合格先生

ありえるんだ。地球のような球の面でも、三角形の内角の和は180°より大きくなる。ロバチェフスキーが考えたのは、その反対の180°より小さくなる世界。「平らな紙の上」しか知らなかった人たちには、想像もできなかったんだね。

ロバチェフスキーの生涯と年表

ニジニ・ノヴゴロドに生まれ、カザンで育つ

ロバチェフスキーは1792年12月1日、ロシアのニジニ・ノヴゴロドで生まれました。父は役人だったと伝えられ、ロバチェフスキーが7歳のころに亡くなったといわれます。母は3人の息子を連れて、東の町カザンに移り住み、きびしい暮らしの中で、子どもたちを国のお金で学べる学校に入れました。ロバチェフスキーはここで才能を見せ、1807年、14歳でカザン大学に入ります。

カザン大学の先生、そして学長へ

大学では、ガウスの友人であり先生でもあったドイツ人の数学者バルテルスに学びました。1811年に修士の学位を受け、1814年に講師、1816年に員外教授、1822年に正教授になります。1820年から1825年までは学部長、1825年から1835年までは図書館長も務めました。そして1827年、34歳でカザン大学の学長になり、19年間その立場にありました。1830年にカザンでコレラが流行したときには、学長として対策をとり、皇帝から感謝の言葉を受けたと伝えられます。

新しい幾何学の発表と、ひどい扱い

1826年2月11日、ロバチェフスキーは大学の学部会で「幾何学の原理についての簡単な説明」を発表しました。この論文の原稿は残っていません。そして1829年には、地元の雑誌『カザン通報』に、新しい幾何学についての論文を発表します。これが非ユークリッド幾何学が印刷された最初とされています。しかし、サンクトペテルブルクの科学アカデミーに出した論文は、認められませんでした。ロバチェフスキーは、その後もドイツ語・フランス語で本や論文を出し続けます（1837年、1840年など）。

晩年、失明、そして死

1846年、ロバチェフスキーは大学を辞めさせられるような形で退任しました。病気がちになり、晩年には視力も失ったといわれます。長男の死などの不幸もあり、経済的にも苦しくなりました。それでも研究をやめず、1855年には、弟子たちに口述して『パンゲオメトリア（汎幾何学）』を完成させたと伝えられます。1856年2月24日、カザンで亡くなりました（63歳）。生きているあいだに、その業績が広く認められることは、ほとんどありませんでした。

ロバチェフスキーの主な業績をやさしく解説

ロバチェフスキーの名前がつく公式・定理・用語

• ロバチェフスキー幾何学（双曲幾何学）：平行線の公準を「平行線が2本以上ある」に変えた幾何学。三角形の内角の和は180°より小さい。
• ロバチェフスキーの平行角：直線 $l$ と点 $P$ の距離によって決まる、平行線の角度。距離が大きいほど小さくなる。
• 双曲面・擬球：ロバチェフスキー幾何学を目に見える形で表した曲面。
• ポアンカレの円板・上半平面モデル：ロバチェフスキー幾何学の「地図」にあたるもの。
• ロバチェフスキーの面積公式：三角形の面積＝$k^2(\pi-\alpha-\beta-\gamma)$。
• 関連する高校数学：平行線と同位角・錯角・多角形の内角の和・平行の意味

合格先生

「三角形の内角の和は180°」は、平行線の公理があるから成り立つ定理なんだ。証明のとき、「平行線の錯角は等しい」を使うよね。ロバチェフスキーは、その土台を疑ったんだよ。

ロバチェフスキーの逸話と名言

ガウスはもっと前から知っていた？

ガウスの業績と生涯は、早くから平行線の公理が証明できないことに気づいていたといわれますが、一度も公に発表しませんでした。ロバチェフスキーの1840年のドイツ語の小冊子を読んだガウスは、とても感心し、ロシア語を学び、ロバチェフスキーをゲッティンゲンの科学協会の会員に推薦した、と伝えられます（1842年）。ただし、ガウスは公には論評せず、ロバチェフスキーと直接やりとりをした記録もないとされています。ガウスの評価が広く知られるようになったのは、ガウスの死後、手紙が見つかってからです。

ボーヤイとの「ほぼ同時の発見」

ハンガリーのボーヤイ（ヤーノシュ）も、ロバチェフスキーとは別に、1832年に同じ幾何学を発表しました。ボーヤイの父は、ガウスの友人でした。ふたりは、おたがいを知らないまま、同じ結論にたどり着いたのです。「新しい考え方は、ひとりでに、あちこちで生まれる」という数学の不思議を示す例です。

年表を見ると、ロバチェフスキーが新しい幾何学を発表した1826年から、ポアンカレが円板モデルを示す1882年まで、50年以上かかっています。ベルトラミのモデル（1868年）が出て、はじめて数学者たちが「この幾何学は矛盾しない、れっきとした数学だ」と受け入れました。ロバチェフスキーは、その結果を見ることなく、1856年に亡くなっています。新しい考え方が受け入れられるには、ときに世代をこえる時間が必要だということを、この歴史は教えてくれます。

名言「どんな抽象的な数学も、いつか現実の役に立つ」

どんなに抽象的な数学の分野でも、いつか現実の世界の現象に応用されないものはない。

この言葉は、ロバチェフスキーの幾何学がのちにアインシュタインの相対性理論や宇宙の形の研究で実際に使われたことと、ぴったり重なります。ただし、本人の言葉として確かな出典がはっきりしないため、「広まっている言葉」として紹介しています。

歌になったロバチェフスキー

アメリカの数学者・歌手トム・レーラーが、1950年代に作った「ロバチェフスキー」という歌があります。「論文を盗む（盗作）ことで有名になる方法」を、冗談で歌った曲で、歌詞にロバチェフスキーの名前が出てきます。ただし、実際のロバチェフスキーが盗作をしたという事実はありません。名前の響きが歌に合っていたため選ばれたと説明されることが多いようです。それくらい、ロバチェフスキーの名前は、欧米の数学好きに知られているのです。

サクラちゃん

40年もだれにも認められなかったなんて……くじけそうです。

合格先生

でもロバチェフスキーは、くじけなかった。大学の学長として働き、目が見えなくなっても口述で本を完成させた。「正しいと信じることを、続ける」。受験の勉強も、同じだよ。結果が出る前の時期が、いちばん大事なんだ。

受験・勉強とロバチェフスキーのつながり

中学受験・高校受験：平行線と角度の問題

中学受験・高校受験の図形問題では、「平行線の同位角・錯角は等しい」「三角形の内角の和は180°」を使って、角の大きさを求める問題が毎年出ます。平行線と角の性質や多角形の内角の和の公式は、ロバチェフスキーが疑った「平行線の公理」の上に成り立つ定理です。「何を前提にしているか」を意識すると、図形の理解がぐっと深まります。

大学受験：「公理から証明する」考え方

大学入試では、ロバチェフスキーの幾何学そのものは出ませんが、「前提（仮定）が変わると、結論が変わる」という考え方は、証明問題の基本です。たとえば、背理法（「結論を否定したらどうなるか」を考える）は、まさにロバチェフスキーの方法そのものです。反例の意味と使い方や命題の意味は、論理の道具を使いこなす練習になります。

数学オリンピック・大学数学へ

大学では、球面幾何学・双曲幾何学・リーマン幾何学を学びます。人工衛星や宇宙の話では、ロバチェフスキーの幾何学が実際に使われます。数学を深く学びたい人は、京大理系数学の出題分析などで、入試の傾向を確かめつつ、大学数学の世界をのぞいてみましょう。

勉強法として：「当たり前」を疑う

ロバチェフスキーの最大の教えは、「当たり前を疑う」ことです。公式や定理を暗記するときも、「なぜ成り立つのか」「どんな前提のもとで成り立つのか」を考える習慣をつけると、応用問題に強くなります。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も読んでください。

ロバチェフスキーがその後の数学にあたえた影響

• 幾何学の大変革：リーマンの幾何学（1854年）、クラインのエルランゲン・プログラム（1872年）へと、「幾何学とは何か」を問い直す流れが生まれました。
• 公理主義の誕生：ヒルベルトは『幾何学の基礎』（1899年）で、ユークリッドの公理をきちんと整理し直しました。「公理を変えると別の数学ができる」という考えが、現代数学の基礎になりました。
• 相対性理論・宇宙論：アインシュタインの特殊相対性理論では、速度の空間が双曲幾何学の構造をもつことが知られています。宇宙の形（空間が平らか、球面か、双曲か）を調べる研究にも使われます。
• 複素関数・位相幾何学：ポアンカレは双曲幾何学を使って、複素関数（保型関数）の理論を作りました。ポアンカレ予想とは？の解決にも、双曲幾何学が深く関わっています。
• 芸術・デザイン：オランダの画家エッシャーが、ポアンカレの円板を使った版画「円の極限」シリーズ（1950年代）を作りました。

最後に、ロバチェフスキーの仕事をひとことでまとめると、「疑う勇気」と「最後まで調べぬく粘り強さ」です。平行線の公理は、だれもが「証明したいもの」と考えていたのに対し、ロバチェフスキーは「証明できないものとして受け入れ、その上に新しい世界を築く」道を選びました。この発想の転換があったから、数学は「ただ1つの正しい世界を調べる学問」から、「いろいろな世界を、公理から組み立てて調べる学問」へと変わっていったのです。

ロバチェフスキーに挑戦！練習問題

ロバチェフスキーと関係する数学者

• ユークリッド（平行線の公準を書いた人）：ロバチェフスキーが疑った相手であり、『原論』は幾何学の土台です。
• ガウス（非ユークリッド幾何学を先に考えていた）：ロバチェフスキーの1840年の小冊子を高く評価しました。
• ボーヤイ（同じ幾何学を別に発見）：1832年に同じ幾何学を発表したハンガリーの数学者です。
• ルジャンドル（平行線の証明に挑戦した人）：平行線の公準の証明に何度もチャレンジしました。
• リーマン（曲面の幾何学）・ポアンカレ（円板モデル）・クライン（モデルと幾何学の分類）：新しい幾何学を認めさせた人たちです。
• ヒルベルト（公理の整理）：ユークリッド幾何学の公理を整理し直しました。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、数学で使う記号の読み方は数学でよく使う記号の意味一覧（Σ・∫・≡）もどうぞ。

19世紀の数学者

• ソフィ・ジェルマンの業績と生涯
  フェルマーの最終定理の研究（ジェルマン素数）。男性の名前で論文を送った
• ガウスの業績と生涯
  1から100までの和を一瞬で出した少年。正十七角形の作図・『整数論』・最小二乗法。「数学の王」
• コーシーの業績と生涯
  極限を使って微分積分を厳密にした。コーシー・シュワルツの不等式
• メビウスの業績と生涯
  裏と表がない「メビウスの帯」
• アーベルの業績と生涯
  5次方程式には解の公式がないことを証明。アーベル賞の名前のもと
• ボーヤイ（1802〜1860）
  ロバチェフスキーと別に非ユークリッド幾何学を発見
• ヤコビ（1804〜1851）
  楕円関数・ヤコビアン（変数変換）
• ディリクレ（1805〜1859）
  鳩の巣原理（ディリクレの部屋割り論法）・算術級数定理
• ハミルトン（1805〜1865）
  四元数を発見。ケーリー・ハミルトンの定理
• ガロアの業績と生涯
  方程式が解けるかどうかを「群」で判定（ガロア理論）。20歳で決闘で亡くなった
• エイダ・ラブレスの業績と生涯
  解析機関のためのプログラムを書いた「最初のプログラマー」
• ブールの業績と生涯
  論理を式で計算するブール代数。コンピューターの基礎

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ロバチェフスキーがかかわった数学の難問

• 平行線公準の問題とは（不可能・決められないと証明）
  ほかの公理から平行線の公理を証明できるか。証明できず、成り立たない幾何学（非ユークリッド幾何学）もあると分かった

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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  公式・証明・例題を1つずつ
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