ガロアは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜ガロア理論・5次方程式・決闘の最期

ガロアは何をした人？（業績をひとことで）

エヴァリスト・ガロア（1811〜1832年）は、フランスの数学者です。「5次以上の方程式には、一般の解の公式が作れない」ことを、「群」という新しい考え方で説明しました。方程式の解を入れかえるときの対称性に注目して、「どんな方程式が解の公式で解けるか」を判定する理論は、いまガロア理論とよばれています。ガロアは政治活動で何度も逮捕され、わずか20歳で決闘により亡くなりました。それでも、書き残したわずかな原稿が、現代数学（群論・体論・代数幾何学）の出発点になりました。

受験生にとってのガロアは、まず「2次方程式の解の公式の、その先を考えた人」です。中学3年で習う二次方程式の解の公式、高校の解と係数の関係、複素数と2次方程式の解は、すべてガロアが調べた「方程式の解のしくみ」につながっています。また、合同式（mod）の計算や順列（入れかえ）の公式も、ガロア理論の入口の道具です。大学の代数学では、群・環・体の最後に、ガロア理論が待っています。

ガロアの生涯と年表

パリ近郊の町長の家に生まれた

ガロアは1811年10月25日、パリの南にある小さな町ブール・ラ・レーヌに生まれました。父ニコラ＝ガブリエル・ガロアは町長をつとめた共和主義の人で、母アデライードは学問のある家の出でした。ガロアは12歳まで母から、ラテン語やギリシャ語、宗教などを教わったと伝えられます。

名門リセに入り、数学にめざめる

1823年、ガロアは12歳でパリの名門校ルイ＝ル＝グラン高等中学に入ります。最初は優秀な生徒でしたが、のちに授業にあきてしまいました。転機は15歳ごろ。ルジャンドルの幾何学の教科書を読み、「小説を読むように」2日で読み終えたと伝えられます。さらにラグランジュの方程式の論文や、アーベルの論文を読み、自分で方程式の研究をはじめました。

入試に失敗し、父を亡くす

ガロアは、フランスのエリート養成校エコール・ポリテクニークを2度受けましたが、どちらも合格できませんでした（1828年、1829年）。口頭試験で、試験官の質問に答えず、黒板けしを投げつけたという話が伝わっています（これは後年の作り話ともいわれます）。しかも1829年7月、政治的な中傷事件に苦しんだ父が自殺します。ガロアは深く傷つきました。

この年、ガロアは最初の論文（連分数についてのもの）を出し、また方程式の研究を科学アカデミーに提出しました。しかし、審査を担当していたコーシーが原稿を紛失したとも、提出をひかえたともいわれます。翌1830年には、アカデミーの賞に応募するため原稿を書き直して送りましたが、審査員のフーリエが亡くなったため、原稿は行方不明になりました。

政治活動と投獄

1830年、フランスで七月革命が起こります。ガロアは学校の校長を批判する手紙を新聞に載せて、退学処分になりました。その後は共和主義の運動に加わり、国民軍の砲兵隊に入りますが、この隊も解散させられます。1831年5月、ガロアは仲間の宴会で、国王ルイ＝フィリップに向けて、ナイフをかかげて乾杯の言葉を述べたとされ、脅迫の疑いで逮捕されました（その後は無罪）。同年7月14日（革命記念日）にも、禁止された制服と武器を身につけて逮捕され、約半年の刑を受けました。

決闘と最期

1832年に刑期の最後を病院で過ごしたガロアは、ある女性をめぐるもめごとから、決闘を申しこまれました。相手や理由には諸説あり、はっきりしません。決闘の前夜（5月29日）、ガロアは友人のオーギュスト・シュヴァリエあてに手紙を書き、自分の発見を要約したと伝えられます。5月30日の明け方、決闘でガロアは腹を撃たれ、病院に運ばれましたが、翌日5月31日に20歳で亡くなりました。弟アルフレッドに「泣くな、20歳で死ぬには勇気がいる」と語ったという話が伝わっています。

ガロアの主な業績をやさしく解説

ガロアの名前がつく公式・定理・用語

ガロアの名前がつく用語は、大学の代数学でとてもよく出てきます。

• ガロア理論：方程式の解の入れかえ（群）と、数の世界（体）の対応を調べる理論。
• ガロア群：方程式ごとに決まる、解の入れかえの群。
• ガロア拡大：ガロア理論がうまく使える数の世界の広げ方。
• ガロア体（有限体）：有限個の要素でできた体。$GF(q)$ と書く。
• 可解群：方程式が「解ける」ことと同じ意味の群の性質。
• 逆ガロア問題：与えられた群が、ある方程式のガロア群になるか、という未解決の難問。
• 高校数学とのつながり：二次方程式の解の公式、解と係数の関係、解の公式の意味

ガロアの逸話と名言

決闘の前夜の手紙

1832年5月29日の夜、ガロアは友人オーギュスト・シュヴァリエにあてて、自分の数学の発見を手紙に書きました。何枚もの原稿の余白に、「時間がない（Je n'ai pas le temps）」と書きこんだと伝えられます。手紙の最後には、次のような頼みがありました。

ヤコビかガウスに、この定理が正しいかどうかではなく、その重要性について、公に意見を求めてほしい。そのあとで、このめちゃくちゃなものを読みとくことが得になる人が現れることを、私は願う。

この手紙のほとんどは、すでに前から研究していた内容の要約でした。「一晩でガロア理論を作った」というのは後世の誇張で、事実ではありません。それでも、命をかけた決闘の前に、研究を残そうとした姿は、数学史のなかでも特別な物語として語りつがれています。

「ガロアの物語」は脚色も多い

ガロアの人生は、あまりにドラマチックなので、後世の伝記や小説で脚色されてきました。「一晩で理論を完成させた」「決闘の相手は警察の手先だった」「恋人のために死んだ」など、広く知られる話の多くは、確実な証拠がありません。数学史家の間でも、どこまでが本当なのか議論が続いています。このページでも、確かめられない部分は「伝えられる」「諸説ある」と書いています。事実として確かなのは、ガロアが20歳で亡くなったこと、そして残された原稿が現代数学の出発点になったことです。

決闘の相手と理由は、はっきりしない

決闘の相手は、共和主義者の仲間（あるいは警察に雇われた人物）だったとも言われ、名前や理由には諸説あります。女性をめぐるもめごとだったという説、政治的な陰謀だったという説などがあり、いまでもはっきりしていません。ガロア自身は、決闘の前に仲間にあてて、ある女性とその関係者のせいで自分は犠牲になる、という趣旨の手紙を書いたと伝えられます。

最期のことば

ガロアは撃たれたまま倒れ、通りかかった農夫に助けられて病院に運ばれました。弟のアルフレッドに、泣かないよう伝え、「私は20歳で死ぬために、ありったけの勇気がいる」という趣旨の言葉を述べたと、弟が伝えたとされます。

「わからない」と断られた論文

1831年、ガロアは科学アカデミーに論文を提出しましたが、審査を担当した数学者ポアソンは、論文の内容が十分に説明されておらず、理解しにくいとして、受理しませんでした。ガロアの発想が時代の先を行きすぎていたことがその理由とされます。ガロアが亡くなって約11年後の1843年、数学者リウヴィルが原稿を読み、「たいへん価値がある」と認め、1846年に自分の雑誌で発表しました。そこから、ガロア理論が世界に知られるようになりました。

受験・勉強とガロアのつながり

中学受験：入れかえ・並べ方の数

中学受験の算数では、「3人を1列に並べる方法」「カードを入れかえる方法」といった場合の数の問題が出ます。3人なら $3\times2\times1=6$ 通り。ガロア理論は、こういう「入れかえ」の考え方を、方程式に応用したものです。「正三角形を重ねる回転の数」を数える問題は、群の最も簡単な例になっています。

高校受験：2次方程式の解の公式・因数分解

高校受験で習う二次方程式の解の公式や因数分解の基本が、ガロアが調べた方程式の入口です。公式の中の根号（√）が、ガロア理論の「方程式が解ける」という言葉の意味に関わっています。

大学受験：解と係数の関係・複素数・整数問題

• 解と係数の関係：解の和・積と係数の関係は、ガロアが調べた「解の対称式」の入口です。→ 解と係数の関係の使い方
• 複素数と方程式：1の3乗根、1の5乗根などの問題。ド・モアブルの定理で解きます。
• 整数問題・合同式：合同式の計算、フェルマーの小定理は、有限体の考えと同じ土台です。
• 作図：できる作図とできない作図。

京都大学・東京大学などの難関大の整数や方程式の問題は、ガロアの世界に通じています。京大理系数学の出題分析（整数・複素数平面の出方）も参考にしてください。

勉強法として：失敗を「材料」にする

ガロアは入試に2回落ち、論文は2回なくされ、ついに原稿は理解されませんでした。それでも彼は、自分の考えを書き残すことをやめませんでした。受験でも、失敗した問題は「なぜ解けなかったか」をノートに書きのこしておくと、のちの力になります。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も読んでください。ギリシャ文字の読み方はギリシャ文字の読み方一覧（α・β・σ・φ）でまとめています。

ガロアがその後の数学にあたえた影響

• 群論：ガロアの「群」は、ケイリーやジョルダンらによって、抽象的な数学へ発展しました。リー群を作ったリーは連続的な対称性（リー群）に広げ、物理学の素粒子論にも使われます。
• 体論と代数学：デデキントやエミー・ネーターなどによって、現代の抽象代数学（環・体・加群）が作られました。
• 整数論：ガウスの整数論を発展させ、高木貞治の類体論、さらにフェルマーの最終定理の証明へとつながるガロア表現の理論になりました。
• 幾何学：クラインの「エルランゲン・プログラム」は、図形を「群で変わらない性質」で分類する考えで、ガロアの発想に近いものです。
• 暗号・符号理論：有限体は、スマートフォンの通信、QRコードの誤り訂正、インターネット暗号の基礎です。
• 物理学：素粒子や結晶の対称性は、群論なしには語れません。

日本では、ガロアの名前は数学が好きな高校生の間でも有名で、数学オリンピックのためのガロア理論入門の本も多く出ています。数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）のように、数学を競う世界でも、対称性の考え方は大切です。

ガロアに挑戦！練習問題

ガロアと関係する数学者

• アーベル（5次方程式の公式はないと証明した人）：ガロアと同じ時代の天才で、やはり若くして亡くなりました（26歳）。
• ラグランジュ（方程式と置換の関係を調べた人）：ガロアが若いころに読んで影響を受けました。
• コーシー（ガロアの原稿を預かった人）：ガロアの論文を審査したが、うまくいかなかったといわれます。
• ガウス（正十七角形と代数の先がけ）：ガロアが手紙の中で意見を求めた相手の一人です。
• ヤコビ（同時代の大数学者）：ガロアが手紙で名前を挙げた、同時代の大数学者です。
• カルダノ（3次方程式の解の公式）：ガロアの理論の背景にある方程式の歴史を作った人です。
• フェルマー・オイラー：有限体につながる整数論の先がけです。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、用語の意味を調べるなら数学用語辞典（方程式・順列・複素数）もどうぞ。

19世紀の数学者

• ソフィ・ジェルマンの業績と生涯
  フェルマーの最終定理の研究（ジェルマン素数）。男性の名前で論文を送った
• ガウスの業績と生涯
  1から100までの和を一瞬で出した少年。正十七角形の作図・『整数論』・最小二乗法。「数学の王」
• コーシーの業績と生涯
  極限を使って微分積分を厳密にした。コーシー・シュワルツの不等式
• メビウスの業績と生涯
  裏と表がない「メビウスの帯」
• ロバチェフスキーの業績と生涯
  平行線の公理が成り立たない「非ユークリッド幾何学」
• アーベルの業績と生涯
  5次方程式には解の公式がないことを証明。アーベル賞の名前のもと
• ボーヤイ（1802〜1860）
  ロバチェフスキーと別に非ユークリッド幾何学を発見
• ヤコビ（1804〜1851）
  楕円関数・ヤコビアン（変数変換）
• ディリクレ（1805〜1859）
  鳩の巣原理（ディリクレの部屋割り論法）・算術級数定理
• ハミルトン（1805〜1865）
  四元数を発見。ケーリー・ハミルトンの定理
• エイダ・ラブレスの業績と生涯
  解析機関のためのプログラムを書いた「最初のプログラマー」
• ブールの業績と生涯
  論理を式で計算するブール代数。コンピューターの基礎

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ガロアがかかわった数学の難問

• 5次方程式の解の公式とは（不可能・決められないと証明）
  2次・3次・4次方程式のような、四則と累乗根だけの解の公式が5次方程式にもあるか。一般にはないと証明された

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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