作図の仕方｜垂直二等分線・角の二等分線・垂線の手順となぜそうなるかの証明（ひし形・合同）と例題【中学1年・高校受験】

うかるくん

コンパスで円をかいて交点を結ぶだけで、どうして垂直二等分線になるの？

合格先生

同じ半径でかくから、4辺が等しいひし形ができる。ひし形は対角線で線対称だから、垂直に2等分するんだ。

基本の3つの作図

作図は、定規（直線をひくだけ。目もりは使わない）とコンパス（円をかく・同じ長さをうつす）だけで図をかくことです。基本は次の3つで、どれも「同じ半径の円の交点」を使います。

なぜその線になるのか（証明）

垂直二等分線

同じ半径でかいたので $AP=BP=AQ=BQ$。四角形 APBQ は4辺が等しいひし形で、ひし形は対角線 PQ について線対称です。だから A を PQ で折り返すと B に重なり、PQ は AB を垂直に2等分します。

中学2年の合同で示すと次のとおりです。$\triangle APQ$ と $\triangle BPQ$ は3辺が等しいので合同、よって $\angle APM=\angle BPM$。次に $\triangle APM$ と $\triangle BPM$ は $AP=BP$、PM 共通、$\angle APM=\angle BPM$（2辺とその間の角）で合同。だから $AM=BM$、$\angle AMP=\angle BMP$ で、2つ合わせて 180° なので、どちらも $90^\circ$ です。

角の二等分線

$OA=OB$（最初の円の半径）、$AP=BP$（同じ半径の円）、OP は共通。$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ は3辺が等しいので合同で、$\angle AOP=\angle BOP$。四角形 OAPB はたこ形で、OP について線対称、と見ることもできます。

垂線

P を中心にかいたので $PA=PB$。だから P は線分 AB の垂直二等分線の上にあります。A、B を中心に同じ半径でかいた交点 Q も同じ線の上にあるので、直線 PQ は AB の垂直二等分線、つまり $\ell$ に垂直です。

高校受験（中学1年）での使い方

基本の作図は中学1年で学びます（合同を使った証明は中学2年）。入試では、「〜から等しい距離にある点」をどの作図の線の上にあるかに言いかえるのがコツです。

• 2点 A、B から等しい距離 → 垂直二等分線
• 2本の直線（角の2辺）から等しい距離 → 角の二等分線
• 円の接線・最短の距離・高さ → 垂線

よくある間違い

合格先生

分度器や定規の目もりを使ってはだめだ。30° も、正三角形の 60° を二等分して作るんだぞ。

• 定規で長さをはかる・分度器を使う：作図で使えるのは、目もりを使わない定規とコンパスだけ。30° や 45° も、正三角形や垂線を二等分して作る。
• 作図に使った線を消す：コンパスの弧などの線は、作図の手順がわかるように残しておく。
• 垂直二等分線で半径を AB の半分以下にする：2つの円が交わらない。半径は AB の半分より長くとる。

練習問題

うかるくん

等しい距離なら、どの線の上か考えるよ！

1. 高校受験 $\triangle ABC$ の内部で、辺 AB と辺 AC から等しい距離にある点は、どんな線の上にありますか。
   答えと解説を見る

   2辺から等しい距離にある点は、その2辺がつくる角の二等分線の上にある。答え $\angle A$ の二等分線
2. 高校受験 直線上の点 O に、135° の角を作図する方法を答えなさい。
   答えと解説を見る

   O を通る直線の垂線をかいて 90° を2つ作り、片方の 90° を二等分すると 45°。$90+45=135$。答え 垂線と、その一方の直角の二等分線を使う
3. 高校受験 $\triangle ABC$ の3つの頂点を通る円の中心を作図する方法を答えなさい。
   答えと解説を見る

   中心は A、B、C から等しい距離にある。AB の垂直二等分線の上の点は A、B から等しく、BC の垂直二等分線の上の点は B、C から等しい。答え 2辺（たとえば AB と BC）の垂直二等分線の交点

関連する公式

• 三角形の合同条件（作図の証明）
• 三角形の五心（外心・内心は作図の交点）
• 外接円・内接円の半径
• 平行線と角
• 角度の求め方
• 図形の折り返し（折り目は垂直二等分線）

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）