この公式のポイント
- 内角の和＝180°×(n−2)
- 正多角形の1つの外角＝360°÷n
- 1つの内角＝180°−外角
- 星形の先の5つの角の和＝180°
うかるくん
正九角形の1つの角って、どうやって出すの？角が多くてこまるよ。
合格先生
外角から出すと速いぞ。360÷9＝40°、180−40＝140° だ。
正多角形の1つの角と、星形の角の公式
角度の問題でよく使うのは、正多角形の1つの角と、星形の先の角の和です。どちらも「三角形の角の和は 180°」と「外角」から出てきます。
角度の公式
- 角形の内角の和＝
- 正 角形の1つの内角＝
- 正 角形の1つの外角＝（内角＝外角）
- 星形（五角形の星）の先の5つの角の和＝
よく出る正多角形の角は、覚えておくと速く解けます。
| 正多角形 | 内角の和 | 1つの内角 | 1つの外角 |
|---|---|---|---|
| 正三角形 | 180° | 60° | 120° |
| 正方形 | 360° | 90° | 90° |
| 正五角形 | 540° | 108° | 72° |
| 正六角形 | 720° | 120° | 60° |
| 正八角形 | 1080° | 135° | 45° |
| 正九角形 | 1260° | 140° | 40° |
| 正十角形 | 1440° | 144° | 36° |
| 正十二角形 | 1800° | 150° | 30° |
なぜそうなるのか
正多角形の1つの角
多角形の1つの頂点から対角線を引くと、三角形に分かれます。五角形なら3つ、六角形なら4つ。いつも頂点の数より2つ少ない三角形ができます。三角形1つの角の和は 180° なので、内角の和は 180°×(頂点の数−2)です（くわしくは多角形の内角の和・外角の和）。
正多角形は、どの角も同じ大きさです。だから内角の和を頂点の数でわれば、1つの角が出ます。
外角を使うともっと速く求められます。多角形のまわりを1周すると、曲がる角（外角）を全部たすとちょうど 360°です。正多角形ならどれも同じなので、1つの外角＝360°÷頂点の数。内角と外角は一直線にならんで 180° なので、内角＝180°−外角です。正五角形なら 360÷5＝72、180−72＝108° となり、上の答えと同じになります。
星形の先の角の和が 180° になるわけ
下の図で、星形の先の角を a、b、c、d、e とします。
- 橙の三角形を見ると、X の角は三角形の外角です。外角は、となりにない2つの角の和なので、X の角＝c＋e。
- 同じように緑の三角形から、Y の角＝b＋d。
- 赤の三角形 AXY の3つの角は、a と (c＋e) と (b＋d)。三角形の角の和は 180° なので、a＋b＋c＋d＋e＝180°。
この考え方は、星形がゆがんでいても使えます。正五角形からできる星形なら、先の角は 180÷5＝36° ずつです。
なお、七角形の頂点を1つとばしで結んだ星形（とがった先が7つ）では、先の角の和は 540° になります。星形の形によって和が変わるので、問題の図をよく見て、同じように外角で角を集めて考えましょう。
中学受験（算数）での使い方
例題1（正多角形の1つの角）
解き方
外角を使う：360÷9＝40°。内角は 180−40＝140°。
（内角の和から：180×(9−2)＝1260、1260÷9＝140° でも同じ）
答え 140°
例題2（角から正多角形を見つける）
解き方
外角は 180−150＝30°。外角の和は 360° なので、360÷30＝12。
答え 正十二角形
例題3（星形の角）
解き方
星形の先の5つの角の和は 180°。30＋35＋40＋32＝137 なので、180−137＝43°。
答え 43°
高校受験（中学数学）での使い方
例題4（正五角形と対角線）
解き方
△ABC は AB＝BC の二等辺三角形で、∠B＝108° なので、∠BAC＝(180−108)÷2＝36°。
同じように △ABE は AB＝AE の二等辺三角形で、∠ABE＝36°。
△ABF で ∠AFB＝180−36−36＝108°。
答え 108°
よくある間違い
合格先生
180×(n−2) は内角の和だ。正多角形の1つの角は、さらに n でわるんだぞ。
- 内角の和を1つの角とまちがえる：180×(n−2) は「全部の和」。正多角形の1つの角は、さらに n でわる。
- (n−2) を n にしてしまう：三角形の数は頂点の数より2つ少ない。正六角形なら 180×4＝720°。
- 星形の先の角の和を 360° とする：五角形の星形の先の5つの角の和は 180°。
練習問題
サクラちゃん
外角は 360÷n。これを先に出せばいいね！
- 中学受験 正十角形の1つの内角は何度ですか。
答えと解説を見る
外角は 360÷10＝36°。内角は 180−36＝144°。答え 144° - 中学受験 1つの外角が 24° の正多角形は正何角形ですか。また、その内角の和は何度ですか。
答えと解説を見る
360÷24＝15 で正十五角形。内角の和は 180×(15−2)＝2340°。答え 正十五角形、2340° - 中学受験 星形の先の5つの角がすべて同じ大きさのとき、1つの角は何度ですか。
答えと解説を見る
5つの和が 180° なので、180÷5＝36°。答え 36°
関連する公式
よくある質問
正多角形の1つの角の求め方は？
1つの外角を 360°÷頂点の数 で求め、180° からひくと1つの内角になります。内角の和 180°×(頂点の数−2) を頂点の数でわっても同じです。
星形の先の角の和はなぜ180°ですか？
三角形の外角の性質を2回使うと、5つの先の角が1つの三角形の3つの角に集まるからです。
正五角形の1つの角は何度ですか？
108° です。外角は 360÷5＝72° で、180−72＝108° になります。
1つの内角から正何角形かを求めるには？
180° から内角をひいて外角を出し、360° をその外角でわります。
あわせて読みたい
出典・参考
- 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）」算数 第5学年（三角形の三つの角の和・正多角形）
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第2学年（平行線と角）
最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
