図形の折り返しの解き方と公式｜紙テープで二等辺三角形ができる理由・正方形を折って15°・長方形の例題【中学受験】

図形の折り返しの解き方と公式｜紙テープで二等辺三角形ができる理由・正方形を折って15°・長方形の例題【中学受験】

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中学受験高校受験

x=180∘−a×2x=180^\circ-a\times2

紙テープを折るとき（a は折り目と辺の角）。折る前と折った後は合同

この公式のポイント

  • 折る前と折った後は合同
  • 同じ角・同じ辺に同じ印をつける
  • 紙テープは二等辺三角形（錯角＋折り返し）
  • 正方形を折ると正三角形がかくれていることがある
うかるくん

うかるくん

紙テープを折る問題、どの角とどの角が同じかわからないよ。

合格先生

合格先生

折る前と折った後はぴったり重なる。同じ角に同じ印をつけて、錯角も探すんだ。

折り返しの問題で使うきまり

紙を折ると、折る前の形と折った後の形はぴったり重なります。折り目について線対称なので、重なる辺の長さも、重なる角の大きさも同じです。折り返しの問題は、まずこの「同じところ」に同じ印をつけることから始めます。

図形の折り返しのきまり

  • 折る前と折った後は合同：重なる辺の長さ、重なる角の大きさは等しい。
  • 折り目と辺の角は2つに分かれて等しい：折り目は、折ってできた角を半分にする。
  • 紙テープ（長方形）を折ると二等辺三角形ができる：折り目と辺の角が aa なら、重なった三角形の上の角は 180∘−a×2180^\circ-a\times2。
65°xPQR折り目PQx ＝ 180°−65°×2 ＝ 50°
紙テープを折ると、重なった部分は二等辺三角形。x＝180°−65°×2

なぜそうなるのか

紙テープで二等辺三角形ができるわけ

下の図の ● の角を見てください。

  1. P のところの2つの ● は、折る前の角と、折った後の角です。折ってぴったり重なったので、同じ大きさです。
  2. テープの上の辺と下の辺は平行です。だから Q の ● は、P の折る前の ● と錯角で同じ大きさです（平行線と角）。

三角形 PQR の P の角と Q の角が同じなので、PQR は二等辺三角形です。● の角の大きさを aa とすると、残りの R の角は 180∘−a×2180^\circ-a\times2 になります。上の図では 180−65×2＝50° です。

折る前PQR● P の2つの角は　折り返しで同じ● Q の角は P の角と　錯角で同じ△PQR は RP＝RQ の二等辺三角形
折り返しの ● と錯角の ● が同じなので、二等辺三角形になる

正方形を折ると 60° や 15° が作れるわけ

正方形 ABCD をたて半分に折って、折り目 EF をつけます。次に B を通る折り目 BH で、頂点 A が EF の上の点 G に重なるように折ります。

  • 折り返しなので BG＝BA。正方形なので BA＝BC。だから BG＝BC。
  • G は EF（BC の真ん中を通るたての線）の上なので、B からも C からも同じきょりで GB＝GC。

3つの辺が等しいので、三角形 GBC は正三角形です。∠GBC＝60° なので ∠ABG＝90−60＝30°。折り目 BH はこの角を半分にするので ∠ABH＝15° です。

60°15°15°ABCDHGFEBG＝BA＝BC（折り返し）GB＝GC（G は EF 上）△GBC は正三角形∠ABG＝90−60＝30°∠ABH＝30÷2＝15°
正方形を折ると、正三角形がかくれている

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（紙テープを折る）

はばが一定の紙テープを、折り目と辺がつくる角が 65° になるように折りました。重なってできた三角形の、折り目と向かい合う角 x は何度ですか。

解き方

折り返しで、折り目の両側の角はどちらも 65°。平行な辺の錯角で、もう一方のはしの角も 65°。重なった三角形は二等辺三角形なので、x＝180−65×2＝50°。

答え　50°

中学受験

例題2（正方形を折る）

正方形 ABCD をたて半分に折って折り目 EF をつけ、もとにもどします。次に B を通る直線 BH（H は辺 AD 上）で折ると、A が EF 上の点 G に重なりました。∠GBC と ∠ABH は何度ですか。

解き方

BG＝BA＝BC、G は EF 上なので GB＝GC。三角形 GBC は正三角形で ∠GBC＝60°。

∠ABG＝90−60＝30°。折り目 BH はこれを半分にするので ∠ABH＝15°。

答え　∠GBC＝60°、∠ABH＝15°

ABCDEF6101082xx6−x△ABF と △FCE は同じ形（3：4：5）
折り返しで AF＝AD。直角三角形 ABF と FCE が同じ形になる

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（長方形の角を折る）

長方形 ABCD で AB＝6cm、AD＝10cm です。辺 CD 上の点 E と A を結ぶ線で折ると、D が辺 BC 上の点 F に重なりました。DE の長さを求めなさい。

解き方

折り返しで AF＝AD＝10cm。△ABF で三平方の定理より BF＝102−62=8\sqrt{10^2-6^2}=8、FC＝10−8＝2cm。

DE＝EF＝xx とすると EC＝6−x6-x。△FCE で x2=22+(6−x)2x^2=2^2+(6-x)^2、12x=4012x=40、x=103x=\dfrac{10}{3}。

（別の解き方：∠AFE＝90° なので △ABF∽△FCE。相似比は AB：FC＝6：2＝3：1 で、EF＝AF÷3＝103\dfrac{10}{3}）

答え　103\dfrac{10}{3}cm

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

折ってできた三角形は二等辺三角形だ。180 から折り目の角を2回ひくんだぞ。

  • 折った後の角だけ見る：折り目の両側には同じ角が2つある。折る前の位置にも同じ印をつける。
  • 紙テープの角を 180−65＝115° とする：重なった三角形は二等辺三角形なので、65° を2回ひく。
  • 折り返した辺の長さを使い忘れる：AF＝AD のように、重なる辺は同じ長さ。ここから直角三角形の辺がわかる。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

まず、重なる角と辺に同じ印をつけよう。

  1. 中学受験 はばが一定の紙テープを、折り目と辺の角が 70° になるように折りました。重なってできた三角形の、折り目と向かい合う角は何度ですか。
    答えと解説を見る180−70×2＝40。答え 40°
  2. 中学受験 紙テープを折ったら、重なってできた三角形の、折り目と向かい合う角が 80° になりました。折り目と辺の角は何度ですか。
    答えと解説を見る残り 180−80＝100 を2つの等しい角で分けて、100÷2＝50。答え 50°
  3. 高校受験 長方形 ABCD で AB＝8cm、AD＝10cm です。辺 CD 上の点 E と A を結ぶ線で折ると、D が辺 BC 上の点 F に重なりました。CE の長さは？
    答えと解説を見るAF＝10、BF＝√(100−64)＝6、FC＝4。△ABF∽△FCE で相似比は AB：FC＝8：4＝2：1、CE＝BF÷2＝3。答え 3cm（DE＝5cm）

関連する公式

よくある質問

折り返しの問題の解き方は？

折る前と折った後は合同なので、重なる角と辺に同じ印をつけます。そのうえで平行線の錯角や三角形の角の和を使います。

紙テープを折るとなぜ二等辺三角形になるのですか？

折り返しで折り目の両側の角が等しく、さらに平行な辺の錯角で反対側の角も同じになるので、2つの角が等しい三角形ができるからです。

正方形を折って15°ができるのはなぜですか？

A を真ん中の折り目に重ねると、BG＝BC＝GC の正三角形ができ、∠ABG が30°になります。折り目はその半分の15°です。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）」算数 第6学年（対称な図形）
  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第1学年（図形の移動）・第3学年（三平方の定理）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦