相似の基本形の解き方と公式｜ピラミッド形・ちょうちょ形の辺の比と同じ形になる理由・台形の例題【中学受験】

うかるくん

ピラミッド形で、DE：BC は AD：DB と同じじゃないの？

合格先生

同じ形なのは △ADE と △ABC だ。だから小さい辺 AD と大きい辺 AB をくらべるんだぞ。

相似の基本形（ピラミッド形・ちょうちょ形）

形が同じで、大きさだけがちがう図形を相似（そうじ）といいます。算数の図形問題では、平行な線があると、かならずといってよいほど相似な三角形が出てきます。その形は、ほとんどが次の2つの基本形です。

ピラミッド形で注意したいのは、DE：BC は AD：DB ではなく AD：ABだということです。小さい三角形の辺（AD）と、大きい三角形の辺（AB）をくらべます。上の図なら AD：DB＝2：1 ですが、DE：BC は 2：3 です。

なぜ同じ形になるのか

角が全部同じだから

ピラミッド形：DE と BC は平行なので、D の角と B の角は同じ大きさ（同位角）、E の角と C の角も同じ大きさです。A の角は2つの三角形に共通。3つの角がすべて同じなので、△ADE と △ABC は同じ形です。

ちょうちょ形：AB と CD は平行なので、A の角と C の角、B の角と D の角が同じ大きさ（錯角）です。O の角は向かい合う角（対頂角）なので同じ。だから △OAB と △OCD も同じ形です。ちょうちょ形では、A と C、B と D がそれぞれ対応することに注意しましょう。

同じ形の三角形は、どの辺も同じ割合で大きくなっています。だから、平行な2本の比がわかれば、ほかの辺の比も同じになります（中学では「2組の角がそれぞれ等しい」という三角形の相似条件で説明します）。

小さい三角形にしきつめて確かめる

三角形 ABC の辺をそれぞれ3等分して、平行な線を引くと、同じ形の小さい三角形が9つできます。△ADE は1辺に小さい三角形が2つ、△ABC は1辺に3つならびます。だから DE：BC＝2：3、AD：AB＝2：3 で、どの辺の比も同じです。面積は小さい三角形4つ分と9つ分なので 4：9 になります（相似な図形の面積比は相似比の2乗）。

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）での使い方

よくある間違い

合格先生

ちょうちょ形は A と C、B と D が対応だ。平行な辺どうしを見て対応を決めるんだぞ。

• ピラミッド形で AD：DB を使う：DE：BC と同じになるのは AD：AB（小さい三角形の辺：大きい三角形の辺）。
• ちょうちょ形で対応をまちがえる：平行な辺 AB と CD を見て、A と C、B と D が対応する。AO：OD とくらべてはいけない。
• 面積の比も同じ比にする：辺の比が 2：3 なら、面積の比は 4：9。

練習問題

サクラちゃん

まず平行な2本の線をさがそう！

1. 中学受験 三角形 ABC で DE と BC が平行（D は AB 上、E は AC 上）です。AD：DB＝3：2、BC＝15cm のとき、DE は何cmですか。
   答えと解説を見る

   AD：AB＝3：5 なので、DE＝15×3÷5＝9。答え 9cm
2. 中学受験 AB と CD が平行で、AC と BD が O で交わっています。AB＝6cm、CD＝10cm、BD＝12cm のとき、OB は何cmですか。
   答えと解説を見る

   OB：OD＝AB：CD＝6：10＝3：5。OB＝12×3÷8＝4.5。答え 4.5cm
3. 中学受験 AD と BC が平行な台形 ABCD で、AD＝6cm、BC＝10cm です。対角線の交点 O を通り BC に平行な線が AB、DC と交わる点を E、F とすると、EF は何cmですか。
   答えと解説を見る

   AO：OC＝6：10＝3：5 なので AO：AC＝3：8。EO＝10×3÷8＝3.75。同じように OF＝3.75。EF＝7.5。答え 7.5cm

関連する公式

• 三角形の相似条件
• 平行線と線分の比
• 相似な図形の面積比・体積比
• 辺の比と面積比の連続（となりあう辺の比）
• 影の長さ（相似で解く）
• 中点連結定理

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）