辺の比と面積比の解き方と公式｜となりあう辺の比（かけ算になる理由）・面積比の連続の例題【中学受験】

うかるくん

角が同じ三角形の面積って、どうして辺の比をかけ算するの？

合格先生

高さが同じなら面積の比は底辺の比だ。それを2回続けて使うから、かけ算になるんだぞ。

となりあう辺の比と面積の比

1つの角が同じ（共通）な2つの三角形の面積の比は、その角をはさむ2つの辺の長さをかけた数の比になります。中学受験では「となりあう辺の比」「隣辺比（りんぺんひ）」などとよばれます。

上の図では、AD：DB＝2：1 なので AD は AB の $\dfrac{2}{3}$、AE：EC＝1：2 なので AE は AC の $\dfrac{1}{3}$ です。だから △ADE の面積は △ABC の $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$ になります。

なぜかけ算になるのか

使うのは、「高さが同じ三角形の面積の比は、底辺の比」というきまりだけです（面積比と辺の比）。D と C を線で結んで、2回に分けて考えます。

1. △ADC と △ABC：どちらも頂点が C で、底辺が AD と AB（同じ直線の上）なので、高さが同じです。だから面積の比は AD：AB。△ADC は △ABC の $\dfrac{2}{3}$。
2. △ADE と △ADC：どちらも頂点が D で、底辺が AE と AC なので、高さが同じです。だから面積の比は AE：AC。△ADE は △ADC の $\dfrac{1}{3}$。

2つを続けると、△ADE は △ABC の $\dfrac{2}{3}$ のさらに $\dfrac{1}{3}$、つまり $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$ です。「何倍か」が2回続くので、かけ算になります。

面積比の連続

この「何倍かを続けてかける」考え方は、三角形が何回も分けられている問題でも使えます。大きい三角形から始めて、分け方の比を1つずつかけていくと、小さい三角形の面積が出ます。これを面積比の連続といいます。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

AD：DB＝2：1 なら、かけるのは 2/3 だ。全体の AB に対する割合を使うんだぞ。

• AD：DB をそのまま使う：かけるのは「AD が AB 全体の何倍か」。AD：DB＝2：1 なら 2/3 をかける（2/1 ではない）。
• 2つの比をたしてしまう：2/3＋1/3 ではなく、2/3×1/3。
• 角が共通でない三角形に使う：この公式は、同じ角をはさむ2辺をくらべるときだけ使える。

練習問題

うかるくん

比を1つずつかけていけばいいんだね！

1. 中学受験 面積 40cm² の三角形 ABC で、AB 上に AD：DB＝3：1、AC 上に AE：EC＝2：3 となる点 D、E をとります。三角形 ADE の面積は？
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   40×3/4×2/5＝12。答え 12cm²
2. 中学受験 面積 100cm² の三角形 ABC で、AB 上に AD：DB＝1：4、AC の真ん中に点 E をとります。四角形 DBCE の面積は？
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   △ADE＝100×1/5×1/2＝10。四角形 DBCE＝100−10＝90。答え 90cm²
3. 中学受験 面積 84cm² の三角形 ABC で、BC 上に BD：DC＝3：4 となる点 D、AD 上に AE：ED＝1：2 となる点 E をとります。三角形 ABE と三角形 EBC の面積は？
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   △ABD＝84×3/7＝36、△ABE＝36×1/3＝12。△BDE＝24、△ADC＝48、△EDC＝48×2/3＝32 なので △EBC＝24＋32＝56。答え △ABE 12cm²、△EBC 56cm²

関連する公式

• 面積比と辺の比（高さが同じなら底辺の比）
• 相似の基本形（ピラミッド形・ちょうちょ形）
• 相似な図形の面積比・体積比
• 三角形・平行四辺形の面積の公式
• 三角形の面積（1/2 ab sinC）（高校で同じことを式で示す）

よくある質問

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