影の長さの解き方と公式｜太陽の光と電灯の光のちがい・相似で解く理由・壁にかかる影【中学受験】

うかるくん

電灯の影も、太陽のときと同じように棒の影の比で求めていいの？

合格先生

電灯の光は広がるから、比は使い回せない。大小2つの相似な三角形で解くんだ。

影の長さの公式

影の問題は、光の線・物・影でできる直角三角形を見つけて、相似（同じ形で大きさだけちがう図形）を使って解きます。光が太陽か電灯かで、考え方が変わります。

なぜそうなるのか

太陽の光：高さと影の比が同じになるわけ

太陽はとても遠いので、地上にとどく光はどれも平行と考えられます。物を立てると「物・影・光の線」で直角三角形ができ、光の線のかたむきはどれも同じです。かたむきが同じ直角三角形は同じ形（相似）なので、高さ：影の長さがどれも同じ比になります。

図1では、棒 1 m の影が 1.5 m なので、高さ：影＝1：1.5。木の影が 9 m なら、木の高さは 9÷1.5＝6 m です。

電灯の光：大小2つの三角形を使うわけ

電灯の光は1点から広がるので、物の位置によって光のかたむきが変わります。だから太陽のように「高さ：影」を他の物に使い回すことはできません。そのかわり、電灯・影の先でできる大きな直角三角形と、人・影の先でできる小さな直角三角形が、影の先の角を共有する相似になります。

図2では、高さの比が 4.5：1.5＝3：1。だから「電灯から影の先まで」と「人から影の先まで（影の長さ）」も 3：1。影を ① とすると、電灯から影の先までは ③。その差 ②＝6 m なので、①＝3 m です。

壁にかかる影

影の先が壁にあたると、影は壁を上へのぼります。このとき、木を「壁の影と同じ高さの部分」と「その上の部分」に分けます。上の部分と地面の影は、太陽の光でできる直角三角形なので、高さ：影＝1：1.5 が使えます。下の部分は壁の影と同じ長さです。

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）での使い方

よくある間違い

合格先生

壁にうつった影は、そのまま高さになる。比で直すのは地面の影だけだぞ。

• 電灯なのに「高さ：影」を使い回す：電灯の光は広がるので、物の位置で比が変わる。大小の相似な三角形を使う。
• 壁の影まで比で直してしまう：壁にうつった長さは高さそのもの。比で直すのは地面の影だけ。
• 電灯から影の先までの長さを、影の長さとまちがえる：影の長さは「人から影の先まで」。

練習問題

サクラちゃん

光の線をひいて、三角形を見つけよう！

1. 中学受験 1.2 m の棒の影が 0.8 m のとき、同じ時刻にビルの影が 18 m でした。ビルの高さは何 m ですか。
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   高さは影の 1.2÷0.8＝1.5 倍。18×1.5＝27。答え 27 m
2. 中学受験 高さ 4.5 m の電灯の真下から 9 m はなれた所に、身長 1.5 m の人が立っています。影の長さは何 m ですか。
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   比は 3：1。③−①＝②＝9 m なので ①＝4.5 m。答え 4.5 m
3. 中学受験 高さ 3.6 m の電灯の真下から 4 m はなれた所に、身長 1.2 m の子どもが立っています。影の長さは何 m ですか。
   答えと解説を見る

   3.6：1.2＝3：1。②＝4 m なので ①＝2 m。答え 2 m

関連する公式

• 相似な図形の面積比・体積比
• 三角形の相似条件
• 平行線と線分の比
• 連比・比例式
• 逆比
• 速さと比（影の先の速さ）

よくある質問

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