5次方程式の解の公式とは？わかりやすく｜アーベル・ルフィニの定理とガロア理論（1824年に不可能と証明）

5次方程式の解の公式とは？（ひとことで）

5次方程式の解の公式の問題とは、「2次方程式の解の公式のような、足し算・引き算・かけ算・わり算と累乗根（√や³√など）だけで書ける公式が、5次方程式にもあるか」という問題です。2次方程式は古代から、3次・4次方程式は16世紀に解の公式が見つかりました。そのため、数学者たちは約300年にわたって「5次の公式」を探しました。

答えは「一般の5次方程式には、そのような解の公式はない」です。1824年にノルウェーのアーベルが証明しました（イタリアのルフィニが1799年に先に示そうとしていましたが、証明に不十分な点があったとされます）。さらにフランスのガロアの理論が、どんな方程式が累乗根で解けるかを見分ける理論を作りました。この結果はアーベル・ルフィニの定理とよばれます。

ここで大切なのは、5次方程式に解がないのではないということです。解はちゃんとあって、数値としてはいくらでも正確に求められます。「公式で書けない」というだけです。

5次方程式の解の公式の意味をやさしく解説

方程式の次数とは

$x$ の最も高い乗数を次数といいます。$ax+b=0$ は1次、$ax^2+bx+c=0$ は2次、$ax^3+bx^2+cx+d=0$ は3次、そして $x^5$ が最高なら5次方程式です。次数が高くなると、方程式を解くのはどんどん難しくなります。

解の公式とは

解の公式とは、係数 $a, b, c, \ldots$ を代入するだけで、解が出てくる式のことです。2次方程式の解の公式は、中学校で習います。

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

ここで使われているのは、四則（足し算・引き算・かけ算・わり算）と平方根（√）だけです。二次方程式の解の公式と導き方や、判別式とは、解と係数の関係は、この公式と深くつながっています。

「累乗根だけで解ける」の意味

数学者が「解の公式がある」というとき、使ってよい計算は次の2種類だけです。

• 四則（足す、引く、かける、わる）
• 累乗根（平方根 √、立方根 ³√、5乗根 ⁵√、…）

この決まりを守る限り、3次方程式にも4次方程式にも公式があります。ところが5次方程式は、この決まりのもとでは公式が書けません。逆に、決まりを増やせば（たとえば楕円関数という特別な関数を使えば）、5次方程式の解も式で書けます。

解の公式の「長さ」

次数が上がると、公式はものすごく長くなります。2次は短い1行ですが、3次は2つの立方根を使い、4次は数ページにわたる式になります。それでも、3次・4次までは「公式がある」と言えました。5次では、何ページの式を書いても、すべての5次方程式を表す式は作れない、と証明されたのです。

5次方程式の解の公式の歴史と年表

古代：2次方程式の解き方

2次方程式の解き方は、古代バビロニア（紀元前2000年ごろ〜）の粘土板にものっているとされます。9世紀には、アラビアのアル＝フワーリズミーの業績が、2次方程式を整理して解き方を書きました。「アルゴリズム」と「代数（アルジェブラ）」の語源は、この人の名前や本の題名からきています。

16世紀イタリア：3次・4次方程式の公式

3次方程式の解の公式は、16世紀のイタリアで見つかりました。ボローニャ大学のデル・フェロが1515年ごろに特別な形の解き方を見つけ、秘密にしていたと伝えられます。1535年にはタルタリアが、試合形式の勝負（問題の出しあい）で3次方程式の解き方を示しました。これを聞きだしたのがカルダノで、1545年の著書『アルス・マグナ（偉大なる術）』に、3次方程式の解の公式と、弟子のフェラーリが見つけた4次方程式の解き方をのせました。

3次方程式 $x^3+px+q=0$ の解は、次のカルダノの公式で表せます。

$$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$

この公式を使うと、答えが実数でも、計算の途中で負の数の平方根が出てくることがあります。これが、虚数・複素数が生まれるきっかけの一つになりました（くわしくは複素数と2次方程式へ）。

5次方程式への挑戦

3次・4次が解けたのなら、5次も解けるはずだ――そう考えて、オイラーをはじめ多くの数学者が5次の公式を探しました。しかし、見つかりませんでした。

ラグランジュの研究は、1770年ごろ、3次・4次の解き方がなぜうまくいくのかを、解の「入れかえ」という見かたで調べました。そして、この方法を5次方程式にあてはめると、うまくいかなくなることに気づきました。これが、解の入れかえ（置換）を使うガロアの理論の出発点になりました。

1799年：ルフィニの試み

イタリアのパオロ・ルフィニは、1799年に、5次以上の方程式の解の公式は存在しないという証明を発表しました。しかし、この証明には不完全なところがあり、当時はほとんど受け入れられなかったとされています。

1824年：アーベルの証明

ノルウェーの若い数学者ニールス・ヘンリク・アーベル（1802〜1829）は、1824年に、一般の5次方程式には累乗根の解の公式がないことを証明しました。この証明は、お金がなかったため、自費で小さな冊子にして印刷されました。とても短く書かれていたので、読みにくかったと伝えられます。アーベルは、ガウスの研究に送りましたが、ガウスは読まなかったという話もあります（諸説あります）。1826年にはドイツの雑誌に、より詳しい論文が発表されました。アーベルは、貧しさと病気に苦しみ、1829年に26歳で亡くなりました。

ガロア：どの方程式が解けるのか

アーベルの定理は、「一般の5次方程式」の話でした。では、どんな5次方程式は解けて、どんな方程式は解けないのか。この問いに答えたのが、フランスのエヴァリスト・ガロア（1811〜1832）です。ガロアは、方程式の解の入れかえの集まり（群）を調べ、「その群が特別な性質（可解）をもつときだけ、累乗根で解ける」ことを示しました。ガロアは、決闘で傷を負って亡くなる前夜に、研究を手紙にまとめたと伝えられます。この研究は、1846年にリウヴィルが出版して、ようやく世に知られました。

5次方程式の解の公式はいつ・だれが解いた？

この問題は、1824年に、ノルウェーのアーベルが（ルフィニの不完全な証明のあとに）解決しました。答えは「一般の5次方程式を、四則と累乗根だけで解く公式は存在しない」です。そして、それを一般の方程式の理論にしたのが、ガロアです。

アーベルの証明の考え方（ざっくり）

アーベルは、背理法を使いました。背理法とはは、「もし公式があったら、矛盾する」と示す方法です。

1. もし5次方程式に累乗根の公式があるとする。
2. その公式は、5つの解を、係数から累乗根と四則で作った式として表す。
3. 5つの解を入れかえたとき、公式の形がどうなるかを調べると、入れかえの種類（120通り）と、公式の構造が合わなくなる。
4. 矛盾するので、そのような公式はない。

ガロア理論の要点

ガロアは、方程式の解の入れかえ（置換）の集まりをガロア群と名づけ、その群の構造で、方程式が累乗根で解けるかどうかが決まることを示しました。

• 2次方程式の解の入れかえ：2通り
• 3次方程式の解の入れかえ：6通り（3の階乗）
• 4次方程式の解の入れかえ：24通り（4の階乗）
• 5次方程式の解の入れかえ：120通り（5の階乗）

階乗とはの計算 $5!=120$ ですね。この入れかえを「小さな段」で順に分けていけるとき、方程式は累乗根で解けます。2次・3次・4次の場合は小さな段で分けられるので解けますが、5次の場合は、60通りの大きなかたまりから、一気に1通りに落ちるところがあり、小さな段に分けられません。これが、5次方程式が一般には累乗根で解けない理由です。

特別な5次方程式は解ける

アーベル・ルフィニの定理は、「すべての5次方程式が解けない」とは言っていません。たとえば、次のような5次方程式は、累乗根で解けます。

• $x^5-32=0$ は、$x^5=32$ なので、$x=2$（のほか、複素数の4つの解）。
• $x^5-x=0$ は、$x(x^4-1)=0$ と因数分解できるので、$x=0,\pm1,\pm i$。

一方、$x^5-x-1=0$ のような方程式は、ガロア理論によると、累乗根では解けません。この方程式にも実数の解が1つあり（約1.1673）、グラフを見れば確かめられます。ただし、その値は「根号だけの式」では表せないのです。

ほかの方法で5次方程式を解く

公式がなくても、5次方程式は解けます。たとえば、ニュートンの業績が研究したニュートン法などの数値計算で、解をいくらでも正確に求められます。また、1858年ごろには、エルミートらが楕円関数という特別な関数を使って、5次方程式の解を式で表す方法を示しました。累乗根だけにこだわらなければ、5次方程式も「公式」で解けるのです。

5次方程式の解の公式はなぜ難しかったのか

1. 「あるはずだ」と思いこんでいた

3次・4次に公式があったので、数学者たちは「5次もある」と信じていました。「ない」可能性を考えること自体が、大きな発想の転換でした。約300年のあいだ、公式を探すことに時間が使われたのです。

2. 「ない」ことの証明には新しい道具が必要だった

「ある」ことは、1つ公式を見せれば示せます。「ない」ことは、あらゆる式の組み合わせがだめだと示す必要があります。式を計算してみるだけでは証明できません。アーベルとガロアは、解の入れかえという、まったく新しい見かたを使いました。これが現代の群論とガロア理論です。

3. 数学者の若さと不遇

アーベルは26歳、ガロアは20歳で亡くなりました。2人の研究は、生きているうちには、ほとんど認められませんでした。アーベルの論文は、コーシーに送られましたが、なくされたと伝えられます。ガロアの論文は、科学アカデミーに提出されたものの、受け入れられなかったとされます。2人の業績が正しく評価されるまでには、数十年がかかりました。

4. 同じ「できない」ことの証明の仲間

ガロア理論は、三大作図問題（円積・立方倍積・角の三等分）が不可能であることの証明にも使われます。また、平行線公準の問題のように、「証明できない」ことを数学が示した歴史上の例としても有名です。近い時代の円周率の超越性の問題とも、同じ「ある数が方程式の解になれるか」という考えでつながっています。

よくある誤解：「5次方程式は解けない」

くり返しますが、5次方程式の解はあります。ガウスの業績と生涯が1799年に示した「代数学の基本定理」により、$n$次方程式は複素数の範囲でちょうど$n$個の解をもちます。ですから、5次方程式の解は5個あります。「公式で表せない」というのは、解が存在しないことを意味しません。

受験・勉強と5次方程式の解の公式のつながり

中学・高校：2次方程式と因数定理

中学校では2次方程式を、解の公式や因数分解で解きます。高校では、3次・4次方程式を、剰余の定理・因数定理を使って因数分解して解きます。入試では、「$x=1$ を代入すると0になるから、$x-1$ で割り切れる」という手順がよく使われます。

入試に出る3次方程式の多くは、実はうまく因数分解できるように作られています。カルダノの公式を使うことは、ふつうはありません。それは、公式が長くて、計算が複雑だからです。

高校：複素数と方程式

高校の数学IIで学ぶ複素数と2次方程式やド・モアブルの定理を使うと、$x^5=1$ のような方程式の解（1の5乗根）が求められます。5次方程式でも、このような特別な形なら、解を式で書けます。

大学：群論・ガロア理論

大学の数学科では、ガロアの業績と生涯の名前がついたガロア理論を学びます。「置換の群」「体の拡大」「可解群」といった言葉を使って、アーベル・ルフィニの定理を証明します。大学院入試にも出る内容です。

勉強法として：「できない」ことを理由つきで言う

この歴史から学べるのは、「どうやってもできない」ことを、理由つきで言い切る力です。入試でも、「この方程式には、整数の解がないことを示せ」のような問題があります。そのとき、背理法とはや、余りによる場合分けなど、「ありえないこと」を示す道具が役に立ちます。数学の勉強の進め方は、数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）を参考にしてください。力試しには数学オリンピックの問題もおすすめです。

例題：3次方程式をカルダノの公式で解く

$x^3+3x-4=0$ を解いてみましょう。$p=3$、$q=-4$ なので、$\dfrac{q^2}{4}=4$、$\dfrac{p^3}{27}=1$、その和は5です。よって、

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}$$

ここで、$\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^3=2+\sqrt5$、$\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^3=2-\sqrt5$ となることを使うと、$x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}+\dfrac{1-\sqrt5}{2}=1$ と分かります。実際に $x=1$ を代入すると、$1+3-4=0$ で、確かに解です。

身のまわりの「解の公式」

解の公式がない方程式を、コンピューターは数値計算で解いています。ロケットの軌道や橋の強度の計算では、5次以上の方程式がふつうに出てきます。「公式がない」からといって、困ることはなく、数値としては正確な答えを求められます。

5次方程式の解の公式の問題が数学にあたえた影響

• 群論の誕生：ガロアが考えた「入れかえの集まり（群）」は、現代数学の基本の言葉です。結晶の対称性、素粒子の理論、暗号の理論にも使われています。
• ガロア理論：方程式の解の性質を、群の構造から調べる理論です。三大作図問題の不可能性や、フェルマーの最終定理の証明（ワイルズ）にも、ガロア理論に近い考えが使われています。
• アーベル賞：アーベルの名前は、2003年から贈られているノルウェーの数学の賞（アーベル賞）にのこっています。また、「アーベル群」という、交換法則が成り立つ群の名前にもなっています。
• 「不可能」を証明する数学：「ある道具では解けない」ことを証明する考え方は、平行線公準の問題と並んで、近代数学の大きな特徴になりました。
• 代数学の変化：「方程式を解く」代数学から、「構造を調べる」代数学へ。19世紀に、数学の見かたが大きく変わりました。

5次方程式の解の公式に挑戦！練習問題

5次方程式の解の公式と関係する数学者・難問

• アーベル（不可能性を証明した人）：1824年に5次の公式がないことを示しました。
• ガロア（ガロア理論の創始者）：どの方程式が解けるのかを見分ける理論を作りました。
• カルダノ・タルタリア：3次方程式の公式を広めた人たちです。
• ラグランジュ：解の入れかえという見かたを最初に調べました。
• アル＝フワーリズミー：2次方程式の解き方を整理した人です。
• 三大作図問題・平行線公準の問題・円周率の超越性・フェルマーの最終定理：ガロア理論や「できない」ことの証明とつながる難問です。

ほかの解かれた難問・決着した問題

• 三大作図問題とは（不可能・決められないと証明）
  定規とコンパスだけで、円と同じ面積の正方形・体積2倍の立方体・角の三等分を作図できるか。どれも不可能と証明された
• 平行線公準の問題とは（不可能・決められないと証明）
  ほかの公理から平行線の公理を証明できるか。証明できず、成り立たない幾何学（非ユークリッド幾何学）もあると分かった
• ケプラー予想とは（解決）
  同じ大きさの球をいちばん密に詰める方法は、八百屋のみかんの積み方か。コンピューターで証明
• ケーニヒスベルクの橋の問題とは（解決）
  7つの橋を1回ずつ渡って元にもどれるか。できないと示し、グラフ理論が生まれた
• 四色問題とは（解決）
  どんな地図も4色でぬり分けられるか。コンピューターを使った初めての大きな証明
• 連続体仮説とは（不可能・決められないと証明）
  自然数と実数の「あいだの大きさ」の無限はあるか。今の集合論の公理からは決められないと証明された
• ポアンカレ予想とは（解決）
  穴のない3次元の図形は、球と同じ形と言えるか。ミレニアム懸賞問題で唯一の解決
• ABC予想とは（解決と発表・評価が分かれる）
  a＋b＝c のとき、c は abc の素因数の積よりめったに大きくならない。望月新一の証明は2021年に論文掲載、評価が分かれている

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  青・黄・赤チャートの使い分け
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