判別式とは？D＝b²−4acの意味と使い方【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$D<0$ のときって「解なし」と書けばいいんですか？

合格先生

正しくは「実数解をもたない」。数学Ⅱで虚数を習うと、$D<0$ のときも虚数の解が2つあるとわかるんだ。

やさしく言うと

判別式は、2次方程式を解かなくても、実数の解がいくつあるかがわかる式です。$ax^2+bx+c=0$ の判別式は $D=b^2-4ac$ で、その符号（＋か、0か、−か）を見るだけで解の個数がわかります。

• 健康しんだんの「判定」：くわしい検査をしなくても、1つの数値を見て「A・B・C」と分けられることがあります。判別式は、2次方程式の解を「2つ・1つ・なし」に分ける判定の数です。
• ボールを投げる高さ：放物線をえがくボールが、ある高さまでとどくかどうか。とどく（2回その高さを通る）、ちょうどてっぺん（1回）、とどかない（0回）の3通りを、計算で見分けられます。
• 天気予報の「晴れ・くもり・雨」：答えのくわしい中身（解の値）より先に、まず「どの場合か」を知りたいときに役立ちます。

グラフでいうと、放物線 $y=ax^2+bx+c$ が$x$ 軸と何か所で交わるかがわかります。

左から $D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16$、$D=4-4=0$、$D=4-12=-8$ です。まとめると、判別式は「解の個数を、先に見分ける数」です。

D の符号と解の個数

「実数解をもつ」条件は $D\geqq0$ です（$D=0$ もふくみます）。

うかるくん

「実数解をもつ」は $D\geqq0$、「異なる2つ」は $D>0$。等号のありなしに注意だ！

うかるくん

D が正なら2つ、0なら1つ、負なら実数解なし。これで決まりだ！

なぜ解の個数がわかるのか

解の公式 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ の、根号の中身が $D$ です。$\sqrt{D}$ が正なら $\pm$ で2つの解、0 なら1つ、$D$ が負なら実数の範囲では $\sqrt{D}$ が計算できません。

平方完成から見ることもできます。$a>0$ のとき、$y=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{D}{4a}$ と変形できるので、放物線の頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{D}{4a}$ です。$D>0$ なら頂点は $x$ 軸より下（2点で交わる）、$D=0$ なら $x$ 軸の上（接する）、$D<0$ なら $x$ 軸より上（交わらない）になります。

判別式が使える・使えない

図で見る：直線との共有点

判別式は、放物線と $x$ 軸だけでなく、放物線と直線の関係も見分けられます。2つの式から $y$ を消すと2次方程式になり、その判別式で共有点の数がわかります。

うかるくん

直線と放物線が「接する」ことを、どうして判別式で調べられるんですか？

合格先生

$y$ を消してできる $x^2-2x-k=0$ の解が、共有点の $x$ 座標だよね。接するのは共有点が1つだけのとき、つまり重解をもつとき。だから $D=0$ が「接する」条件になるんだ。

「すべての $x$ で $ax^2+bx+c>0$」が成り立つかどうかも、判別式で調べられます。グラフが下に凸（$a>0$）で、$x$ 軸と共有点がない（$D<0$）なら、グラフはいつも $x$ 軸より上です。

D/4 の使い方

$x$ の係数が偶数（$b=2b'$）のときは、$\dfrac{D}{4}=b'^2-ac$ を使うと計算が楽です。例：$x^2-6x+5=0$ は $b'=-3$ で、$\dfrac{D}{4}=9-5=4>0$ なので、異なる2つの実数解（$x=1, 5$）をもちます。$\dfrac D4$ は $D$ を 4 で割っただけなので、符号は $D$ と同じです。

テスト・入試ではこう出る

判別式は数学Ⅰの2次関数・2次方程式で習います。定期テストや大学入試では、解の個数の判定、重解をもつ条件、放物線と直線が接する条件、2次不等式がつねに成り立つ条件がよく出ます。数学Ⅱでは虚数解の判定や、円と直線の位置関係にも使います。共通テストでも、2次関数の問題の中でよく使われます。

まちがえやすい点

合格先生

$D<0$ は「解なし」ではなく「実数解なし」！ $x^2$ の係数が0になる場合も忘れずに。

• $D<0$ で「解なし」と書く：正しくは「実数解をもたない」です。数学Ⅱで虚数を習うと、$D<0$ のときも2つの虚数解があります。
• $D/4$ で $b$ のまま計算する：$x^2-6x+5=0$ なら $b'=-3$ です。$\dfrac{D}{4}=(-6)^2-5$ とするのは×です。
• $x^2$ の係数が文字のときに、すぐ判別式を使う：$kx^2+2x+1=0$ は、$k=0$ だと1次方程式 $2x+1=0$ になり、解は1つです。判別式は $k\ne0$ のときだけ使えます。
• 「実数解をもつ」を $D>0$ とする：重解も実数解なので、正しくは $D\geqq0$ です。「異なる2つの実数解」なら $D>0$ です。
• 符号の計算ミス：$c$ が負のとき、$-4ac$ は正になります。$x^2-2x-3=0$ なら $D=4-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16$ です。

ことばの由来

「判別」は、見分けて区別するという意味です。判別式は、解の様子（2つ・重解・実数解なし）を見分けるための式なので、この名前がついています。英語では discriminant（ディスクリミナント）といい、「見分けるもの」という意味です。記号の $D$ は、この英語の頭文字です。

ミニ問題

関連する公式・用語

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• 二次方程式の解の公式
• 複素数と2次方程式
• 2次不等式
• 円と直線の位置関係

あわせて覚えたい用語

• 頂点と軸
• 虚数・複素数
• 平方完成

よくある質問