頂点と軸とは？放物線の頂点・軸の求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

頂点と軸とは？放物線の頂点・軸の求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

合格大作戦 数学用語辞典 › 関数

高校受験大学受験

頂点と軸とは

放物線は線対称な図形で、その対称の軸を「軸」、軸と放物線の交点を「頂点」といいます。y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q のグラフでは、頂点は (p,q)(p, q)、軸は直線 x=px=p です。

読み方：ちょうてんとじく／英語：vertex / axis／習う学年：中学3年（関数 y＝ax²）、数学Ⅰ（2次関数）

うかるくん

うかるくん

y=(x−3)2y=(x-3)^2 の頂点って、(−3,0)(-3, 0) じゃないんですか？

合格先生

合格先生

カッコの中が0になる xx を考えよう。x−3=0x-3=0 だから x=3x=3。頂点は (3,0)(3, 0) だよ。符号が逆に見えるから注意してね。

この用語のポイント

  • 放物線の対称の軸が「軸」、軸との交点が「頂点」
  • y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q の頂点は (p,q)(p, q)、軸は直線 x=px=p
  • y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c は平方完成して頂点を求める

やさしく言うと

放物線は、ある直線で折ると左右がぴったり重なる形（線対称）をしています。その折り目の直線を軸、軸と放物線が交わる点を頂点といいます。身近な例で考えてみましょう。

  • ボールを投げたときの道すじ：ななめ上に投げたボールは、上がって下りる山の形をえがきます（空気の影響を考えない場合）。いちばん高いところが頂点です。
  • 噴水の水：ふき出した水も山の形になり、上りと下りがほぼ左右対称です。てっぺんを通るたての線が軸にあたります。
  • 谷の形のすべり台：両側からすべり下りて、いちばん低いところで止まるような形を思いうかべると、いちばん低い点が頂点です。
x (−2, 4) (2, 4) (−1, 1) (1, 1) 軸（y軸） 頂点（原点） 軸で折ると 左右が重なる
y＝x² の放物線。軸は y 軸、頂点は原点

まとめると、軸＝放物線の折り目のたての直線、頂点＝その折り目と放物線が交わる点（山のてっぺん・谷の底）です。

頂点と軸の答え方

○ 正しい答え

  • y=(x−3)2+2y=(x-3)^2+2 → 頂点 (3,2)(3, 2)、軸は直線 x=3x=3
  • y=−(x+1)2+4y=-(x+1)^2+4 → 頂点 (−1,4)(-1, 4)、軸は直線 x=−1x=-1
  • y=2x2y=2x^2 → 頂点 (0,0)(0, 0)、軸は直線 x=0x=0（yy 軸）
  • y=x2−5y=x^2-5 → 頂点 (0,−5)(0, -5)、軸は yy 軸
  • y=3(x−1)2y=3(x-1)^2 → 頂点 (1,0)(1, 0)、軸は直線 x=1x=1

× まちがった答え

  • y=(x−3)2y=(x-3)^2 の頂点を (−3,0)(-3, 0) とする（正しくは (3,0)(3, 0)）
  • 軸を「(3,0)(3, 0)」と点で答える（軸は直線 x=3x=3）
  • 軸を「y=3y=3」と書く（たての直線は x=x=〜）
  • y=(x−3)2+2y=(x-3)^2+2 の頂点を (3,−2)(3, -2) とする（qq の符号はそのまま）
  • y=x2+4xy=x^2+4x の頂点を、そのまま (4,0)(4, 0) と読む（平方完成が必要）

ポイントは、xx 座標は「カッコの中が 0 になる値」、yy 座標は「うしろの定数そのまま」と読むことです。

図で見る

x2x^2 の係数 aa の符号で、放物線の向きが決まります。軸はどちらも頂点を通るたての直線です。

頂点 頂点 a ＞ 0：下に凸（谷） 頂点で最小 a ＜ 0：上に凸（山） 頂点で最大 赤い点線が軸
a＞0 なら谷の形で頂点が最小、a＜0 なら山の形で頂点が最大
うかるくん

うかるくん

y=(x−2)2−1y=(x-2)^2-1 って、どうして右に 2 動くんですか？ マイナスだから左に行きそうです。

合格先生

合格先生

y=x2y=x^2 では x=0x=0 のときが頂点だね。y=(x−2)2y=(x-2)^2 では、カッコの中が 0 になるのは x=2x=2 のとき。だから頂点は右に 2 動くんだ。

y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q のグラフは、y=ax2y=ax^2 のグラフを xx 軸方向に pp、yy 軸方向に qq だけ平行移動したものです。形は変わらず、頂点と軸の位置だけが動きます。

xy 頂点 (2, −1) (0, 0) 軸 x＝2 y＝x² → 右へ 2、下へ 1 y＝(x−2)²−1
y＝x² を右へ2、下へ1動かすと y＝(x−2)²−1。頂点も軸もいっしょに動く

頂点の求め方（平方完成）

y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q の形なら、頂点は (p,q)(p, q)、軸は直線 x=px=p です。y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c の形は、平方完成でこの形に直します。

例：y=x2−4x+3y=x^2-4x+3

y=(x−2)2−4+3=(x−2)2−1y=(x-2)^2-4+3=(x-2)^2-1 なので、頂点 (2,−1)(2, -1)、軸は直線 x=2x=2。

xyO (0, 3) (4, 3) 頂点 (2, −1) 軸 x＝2 y ＝ (x − 2)² − 1 頂点 (2, −1) 軸 x ＝ 2
y＝x²−4x＋3＝(x−2)²−1。頂点 (2, −1)、軸 x＝2

もう1つ：y=2x2+4x−1=2(x2+2x)−1=2(x+1)2−2−1=2(x+1)2−3y=2x^2+4x-1=2(x^2+2x)-1=2(x+1)^2-2-1=2(x+1)^2-3 で、頂点 (−1,−3)(-1, -3)、軸は直線 x=−1x=-1 です。

一般の形 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c では、頂点は (−b2a, −b2−4ac4a)\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right) です。

図の点 (0,3)(0, 3) と (4,3)(4, 3) のように、同じ高さの 2 点は軸について対称です。軸は、その 2 点のまん中を通ります。xx 軸との交点 x=1x=1 と x=3x=3 のまん中も、やはり x=2x=2 です。

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

平方完成すれば、頂点と軸がそのまま読み取れるのよ！

aa の符号と放物線の向き

aa の符号形頂点
a>0a>0下に凸（谷の形）いちばん低い点（yy の最小値）
a<0a<0上に凸（山の形）いちばん高い点（yy の最大値）

aa の絶対値が大きいほど、放物線の開き方はせまくなります。ただし、aa を変えても、y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q の頂点 (p,q)(p, q) と軸 x=px=p は変わりません。

テスト・入試ではこう出る

中学 3 年の関数 y=ax2y=ax^2 では、グラフが yy 軸について対称で、頂点が原点であることを学びます。高校の数学Ⅰ（2 次関数）では、平方完成して頂点と軸を求める問題が基本で、そこから最大値・最小値、グラフの平行移動、軸の位置で場合分けする問題へと進みます。大学入試でも、2 次関数の問題はほとんど「頂点と軸」を求めるところから始まります。

例題1（平方完成で頂点を求める）

y=x2+6x+5y=x^2+6x+5 のグラフの頂点と軸を求めなさい。

  1. xx の係数 6 の半分 3 を使って、x2+6x=(x+3)2−9x^2+6x=(x+3)^2-9。
  2. y=(x+3)2−9+5=(x+3)2−4y=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4。
  3. y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q と比べると p=−3, q=−4p=-3,\ q=-4。

答え　頂点 (−3, −4)(-3,\ -4)、軸は直線 x=−3x=-3

例題2（aa が負のとき）

y=−2x2+8x−3y=-2x^2+8x-3 のグラフの頂点と軸を求め、yy の最大値を答えなさい。

  1. x2x^2 の係数 −2-2 でくくる：y=−2(x2−4x)−3y=-2(x^2-4x)-3。
  2. x2−4x=(x−2)2−4x^2-4x=(x-2)^2-4 なので、y=−2{(x−2)2−4}−3=−2(x−2)2+8−3y=-2\{(x-2)^2-4\}-3=-2(x-2)^2+8-3。
  3. y=−2(x−2)2+5y=-2(x-2)^2+5。a=−2<0a=-2<0 なので上に凸。

答え　頂点 (2, 5)(2,\ 5)、軸は直線 x=2x=2、x=2x=2 のとき最大値 5（最小値はない）

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

x2x^2 の係数でくくってから平方完成すれば、マイナスのときもまちがえないわ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

(x−3)2(x-3)^2 なら頂点の xx 座標は +3+3！ 軸は点ではなく直線 x=3x=3 と答えよう。

  • 頂点の xx 座標の符号を逆にする：y=(x−3)2y=(x-3)^2 は、カッコの中が0になる x=3x=3 が頂点の xx 座標です。y=(x+1)2y=(x+1)^2 なら x=−1x=-1 です。
  • 軸を点で答える：軸は直線なので「直線 x=3x=3」と答えます。
  • aa でくくらずに平方完成する：y=−2x2+8x−3y=-2x^2+8x-3 を −2(x−2)2−3-2(x-2)^2-3 のようにすると、定数の調整（+8+8）を忘れてしまいます。くくったあとの { }\{\ \} の中で、ていねいに直しましょう。
  • 範囲があるのに、いつも頂点で最大・最小と思う：xx の範囲が決まっているときは、頂点がその範囲に入っているかを確かめます。入っていなければ、範囲のはしで最大・最小になります。

ことばの由来

頂点は「いただき（てっぺん）の点」という意味で、三角形の頂点などにも使うことばです。放物線では、山の形ならてっぺん、谷の形なら底が頂点になります。軸は、ものの中心をつらぬく棒のことで、英語では axis（アクシス）といいます。放物線は、「物を放り投げたときにえがく線」という意味の名前です。

ミニ問題

問題1　y=−(x−1)2+4y=-(x-1)^2+4 のグラフの頂点と軸を答えましょう。また、yy の最大値はいくつですか。

答えと解き方を見る

頂点 (1, 4)(1,\ 4)、軸は直線 x=1x=1、最大値 4 です。x2x^2 の係数が −1<0-1<0 なので上に凸（山の形）になり、頂点がいちばん高い点です。

問題2　y=x2−2x−3y=x^2-2x-3 を平方完成して、頂点の座標を求めましょう。

答えと解き方を見る

頂点 (1, −4)(1,\ -4) です。x2−2x=(x−1)2−1x^2-2x=(x-1)^2-1 なので、y=(x−1)2−1−3=(x−1)2−4y=(x-1)^2-1-3=(x-1)^2-4。軸は直線 x=1x=1 です。

問題3　ある放物線が、2 点 (−1, 5)(-1,\ 5) と (5, 5)(5,\ 5) を通ります。この放物線の軸を答えましょう。

答えと解き方を見る

直線 x=2x=2 です。2 点は yy 座標が同じなので、軸について対称な位置にあります。軸は 2 点のまん中を通るので、x=−1+52=2x=\dfrac{-1+5}2=2。式を求めなくても、対称性だけで軸がわかります。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

放物線の頂点とは？

放物線と、その対称の軸が交わる点です。下に凸の放物線ならいちばん低い点、上に凸ならいちばん高い点です。

軸はどう答えればいいですか？

軸は直線なので「直線x＝3」のように、直線の式で答えます。点の座標では答えません。

y＝ax²＋bx＋cの頂点の求め方は？

平方完成してy＝a(x−p)²＋qの形にすると、頂点は(p, q)です。頂点のx座標は−b/(2a)で求めることもできます。

y＝(x−2)²のグラフはなぜ右に動くのですか？

カッコの中が0になるのはx＝2のときなので、頂点のx座標が2になるからです。y＝x²のグラフをx軸方向に2だけ平行移動した形です。

同じ高さの2点から軸がわかるのはなぜ？

放物線は軸について左右対称なので、y座標が同じ2点は軸から同じ距離にあります。軸は2点のx座標のまん中を通ります。

頂点と軸は何年生で習いますか？

中学3年の関数y＝ax²で、放物線の軸と頂点を習います。平方完成で頂点を求めるのは高校の数学Ⅰです。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 C 関数（関数 y＝ax²）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（2次関数）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦