二次関数とは？意味とグラフ・頂点をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

一次関数は直線でしたよね。二次関数になると、何が変わるんですか？

合格先生

いちばん大きなちがいは、グラフが曲線（放物線）になることだよ。増え方がどんどん変わって、どこかで向きが変わる点（頂点）があるんだ。

やさしく言うと

二次関数は、$y$ が $x$ の 2 乗をふくむ式（二次式）で表される関数です。グラフは、まっすぐな直線ではなく、なめらかな U 字形の曲線（放物線）になります。

• 正方形の面積：1 辺が $x$cm の正方形の面積 $y\text{cm}^2$ は $y=x^2$。1 辺が 2 倍になると、面積は 4 倍になります。
• 投げ上げたボールの高さ：真上に投げたボールは、上がるにつれておそくなり、てっぺんで止まって落ちてきます。高さと時間の関係は二次関数で表せます（空気の影響を考えないとき）。
• 車が止まるまでの距離：ブレーキがきき始めてから止まるまでの距離は、速さの 2 乗にほぼ比例すると考えられています。速さが 2 倍になると、止まるまでの距離は約 4 倍です。

まとめると、二次関数は「2 倍が 4 倍になるような、増え方が加速していく（または、ある所で向きが変わる）関係」を表す関数です。

うかるくん

一次関数は直線、二次関数は放物線。グラフの形がまったくちがうんだ！

二次関数の例と、二次関数ではないもの

見た目に $x^2$ があっても、整理したときに $x^2$ が消えるなら二次関数ではありません。「$x$ の最も高い次数が 2」で、$x^2$ の係数が 0 でないことが条件です。

図で見る（a で決まる形）

いちばん基本の $y=ax^2$ のグラフを、$a$ を変えてならべてみます。

どのグラフも原点 O を通り、$y$ 軸について左右対称です。$a>0$ のときは谷の形で下に凸、$a<0$ のときは山の形で上に凸といいます。$a$ の絶対値が大きいほど、グラフは細く（急に）なります。

サクラちゃん

$a=2$ のほうが $a=\dfrac12$ より細くなるのは、どうしてですか？

合格先生

同じ $x=1$ でくらべてごらん。$a=2$ なら $y=2$、$a=\dfrac12$ なら $y=\dfrac12$。$a$ が大きいほど、同じ $x$ でも $y$ が早く大きくなるから、グラフが細く立ち上がるんだ。

3つの形の式と、読みとれること

高校の数学Ⅰでは、一般の二次関数 $y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）を学びます。同じ二次関数でも、式の形を変えると、グラフの別の特ちょうが読みとれます。

一般形から標準形に直す変形を平方完成といいます。頂点と軸がわかると、グラフの位置がすぐに決まります。$y=a(x-p)^2+q$ のグラフは、$y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものです。

身近な例：投げ上げたボール

真上に秒速 20m で投げ上げたボールの $t$ 秒後の高さ $h$m は、空気の影響を考えないとき、およそ $h=-5t^2+20t$ と表せます（重力の大きさ 9.8 を、わかりやすく約 10 として計算した式です）。

平方完成すると $h=-5(t-2)^2+20$ なので、2 秒後に最高の 20m に達します。$h=0$ とおくと $-5t(t-4)=0$ で、4 秒後に地面にもどることもわかります。頂点が「いちばん高いところ」、$x$ 軸（ここでは $t$ 軸）との交点が「地面に着くとき」を表しています。

二次方程式・二次不等式とのつながり

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフと $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解です。交わり方は 3 通りあります。

交点が何個あるかは、判別式 $D=b^2-4ac$ の符号でわかります（$D>0$ で 2 個、$D=0$ で 1 個、$D<0$ で 0 個）。また、$x^2-4x+3<0$ のような二次不等式は、「グラフが $x$ 軸より下にある $x$ の範囲」を読んで、$1<x<3$ と解けます。

テスト・入試ではこう出る

中学 3 年では「関数 $y=ax^2$」として、式を求める、グラフをかく、変域、変化の割合、放物線と直線の交点や三角形の面積などを学び、高校入試の大問でよく出ます。高校の数学Ⅰでは、平方完成で頂点を求める問題、定義域がある場合の最大・最小、二次方程式・二次不等式との関係が中心で、大学入学共通テストでもよく出る単元です。

サクラちゃん

定義域があるときは、頂点と両はしの 3 か所をくらべればいいのね！

まちがえやすい点

合格先生

$y=(x-2)^2$ の頂点は $(2,\ 0)$。符号を逆にしないように！

• 頂点の符号をまちがえる：$y=(x-2)^2+1$ の頂点は $(2,\ 1)$ です。$(-2,\ 1)$ ではありません。$x-2=0$ となる $x=2$ が頂点の $x$ 座標です。
• $|a|$ が大きいほど広がると思う：逆です。$|a|$ が大きいほどグラフは細くなります。$y=3x^2$ は $y=\dfrac13x^2$ より細いグラフです。
• 定義域を見ずに頂点だけで答える：定義域が $3\le x\le5$ なら、$y=(x-2)^2-1$ の最小値は頂点の $-1$ ではなく、$x=3$ のときの $0$ です。頂点が定義域に入っているかを必ず確かめます。
• $-2x^2$ の計算順：$x=3$ のとき $-2x^2=-2\times9=-18$ です。$(-2\times3)^2=36$ としないように、2 乗を先に計算します。
• $a=0$ でも二次関数と思う：$y=ax^2+bx+c$ で $a=0$ なら一次関数（またはただの定数）です。「二次関数」と書かれていれば、$a\ne0$ が前提です。

なお、中学校では「二次関数」ということばは使わず、「関数 $y=ax^2$」とよびます。中学の $y=ax^2$ は、高校で学ぶ二次関数の、頂点が原点にある特別な場合です。

ことばの由来

二次は、$x$ の次数が 2（$x$ を 2 回かけた $x^2$ が最も高い）という意味です。英語では quadratic function（クアドラティック ファンクション）といいます。quadratic は、ラテン語で「正方形」を表すことばから来ていて、$x^2$ が「1 辺 $x$ の正方形の面積」を表すことと関係しています。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 二次関数の頂点（平方完成）
• 2次関数の最大・最小（場合分け）
• 2次不等式
• 放物線と直線（y＝ax² と交点・三角形の面積）

あわせて覚えたい用語

• 放物線
• 平方完成
• 頂点と軸

よくある質問