放物線とは？意味と性質・焦点をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

放物線とは？意味と性質・焦点をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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放物線とは

二次関数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c のグラフになる曲線で、投げたボールの道すじのように、1 本の軸について左右対称な形をしています。図形としては、焦点と準線から等しいきょりにある点の集まりです。

読み方：ほうぶつせん／英語：parabola／習う学年：中学3年（関数 y＝ax²）・数学Ⅰ（2次関数）・数学C（平面上の曲線）

うかるくん

うかるくん

放物線って、ただの曲がった線のことじゃないんですか？

合格先生

合格先生

放物線は二次関数のグラフになる、決まった形の曲線なんだ。円や反比例のグラフとはちがうよ。左右対称で、頂点という折り返しの点があるのが目印だね。

この用語のポイント

  • 放物線 ＝ 二次関数のグラフ。投げたボールの道すじの形
  • 軸について左右対称。軸との交点が頂点
  • 図形としては焦点と準線から等しいきょりの点の集まり

やさしく言うと

放物線は、投げたボールが空中にえがく、左右対称な山の形（または谷の形）の曲線です。「物を放（ほう）る」ときにできる線、という意味の名前です。

  • ボールを投げる：ななめ上に投げたボールは、上がって、てっぺんで向きを変え、同じ形で下りてきます。この道すじが放物線です（空気の影響を考えないとき）。
  • 噴水の水：ななめにふき出した噴水の水も、放物線に近い形をえがきます。
  • パラボラアンテナ：衛星放送を受けるおわん形のアンテナは、断面が放物線になっています。「パラボラ」は英語で放物線（parabola）のことです。
いちばん高い点（頂点） 0.5 秒ごとのボールの位置。点をつなぐと放物線 （空気の影響を考えないとき）
0.5 秒ごとのボールの位置をつなぐと、左右対称な放物線になる

数学では、二次関数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c のグラフの曲線を放物線といいます。まとめると、放物線は「二次関数のグラフになる、1 本の軸について左右対称な曲線」です。

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

ボールの道すじも、二次関数のグラフも、同じ「放物線」なのね！

放物線の例と、放物線ではない曲線

○ 放物線

  • y=x2y=x^2 のグラフ
  • y=−2x2+4xy=-2x^2+4x のグラフ（上に凸）
  • y=12(x−1)2+3y=\dfrac12(x-1)^2+3 のグラフ
  • 投げたボールの道すじ（空気の影響なし）
  • パラボラアンテナの断面
  • x=y2x=y^2 のグラフ（横向き。高校の数学Cであつかう）

× 放物線ではないもの

  • 反比例 y=6xy=\dfrac6x のグラフ（双曲線）
  • 円や、円の一部（弧）
  • y=x3y=x^3 のグラフ
  • 電線や鎖が自然にたれ下がった形（懸垂線という別の曲線）
  • 直線 y=2x+1y=2x+1

曲がった線がすべて放物線なのではありません。とくに、反比例のグラフは放物線ではなく「双曲線」です。また、電線のたるみは放物線によく似ていますが、数学的には「懸垂線（けんすいせん）」という別の曲線です。

図で見る（左右対称）

放物線のいちばん大事な性質は、1 本の直線を折り目にして、左右がぴったり重なることです。この折り目の直線を軸、軸と放物線が交わる点を頂点といいます。

x軸（y 軸） (1, 1)(−1, 1)(2, 4)(−2, 4) 頂点 O y＝x²
y＝x² は y 軸について左右対称。同じ高さの点は軸から同じきょり

y=x2y=x^2 では、x=2x=2 と x=−2x=-2 のどちらも y=4y=4 です。(−2)2=22(-2)^2=2^2 だからです。このように、軸から同じきょりにある 2 点は、同じ高さにあります。

うかるくん

うかるくん

左右対称だと、何か得をするんですか？

合格先生

合格先生

大きく得をするよ。たとえば放物線が xx 軸と x=1x=1 と x=5x=5 で交わるとわかったら、軸は真ん中の x=3x=3 だとすぐにわかる。片方の点がわかれば、反対側の点も計算なしで決まるんだ。

放物線の性質

性質y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q の場合例 y=2(x−1)2+3y=2(x-1)^2+3
頂点点 (p, q)(p,\ q)(1, 3)(1,\ 3)
軸直線 x=px=px=1x=1
向きa>0a>0 で下に凸、a<0a<0 で上に凸下に凸
開き方∣a∣|a| が大きいほど細いy=x2y=x^2 より細い
形aa が同じなら同じ形（平行移動で重なる）y=2x2y=2x^2 と同じ形

放物線の形を決めるのは x2x^2 の係数 aa だけです。aa が同じ放物線は、位置がちがうだけで、平行移動するとぴったり重なります。くわしくは頂点と軸のページも見てください。

放物線は、左右にどこまでも広がり続ける曲線です。グラフでは紙の大きさの所で切ってかきますが、本当は終わりがありません。また、y=ax2y=ax^2 の放物線は、頂点のところで xx 軸に接していて、とがった角はありません。

焦点と準線（高校の数学C）

放物線は、二次関数を使わずに、図形として決めることもできます。1 つの点 F（焦点）と、F を通らない 1 本の直線 ℓ\ell（準線）から、等しいきょりにある点の集まりが放物線です。

xyO 準線 y＝−1 (4, 4)55(-2, 1)22 焦点 F y＝x²/4
放物線上の点は、焦点 F までのきょりと、準線までのきょりが等しい

焦点 F(0, 1)(0,\ 1)、準線 y=−1y=-1 のとき、放物線は y=14x2y=\dfrac14x^2 です。点 (4, 4)(4,\ 4) から F までは 42+32=5\sqrt{4^2+3^2}=5、準線までは 4−(−1)=54-(-1)=5 で、たしかに等しくなっています。

この性質から、軸に平行に入ってきた光や電波は、放物線ではね返ると、すべて焦点に集まることがいえます。パラボラアンテナは、焦点の位置に受信する部分を置いて、弱い電波を集めています。逆に、焦点に光源を置くと、はね返った光が平行に進みます（車のライトなどに使われるしくみです）。

焦点 F 軸に平行な電波 → はね返って 焦点に集まる
軸に平行な電波は、放物線ではね返って焦点に集まる

テスト・入試ではこう出る

中学 3 年の関数 y=ax2y=ax^2 では、放物線と直線の交点、交点と原点を結んだ三角形の面積が、高校入試の関数の大問の定番です。高校の数学Ⅰでは頂点・軸・平行移動、数学Cでは焦点と準線から放物線の方程式を求める問題が出ます。

例題1（中学3年・放物線と直線）

放物線 y=x2y=x^2 と直線 y=x+2y=x+2 の交点を A、B（A の xx 座標が小さいほう）とします。原点を O として、△OAB の面積を求めなさい。

  1. 交点の xx 座標は、x2=x+2x^2=x+2 を解く。x2−x−2=0x^2-x-2=0、(x+1)(x−2)=0(x+1)(x-2)=0 より x=−1, 2x=-1,\ 2。A(−1, 1)(-1,\ 1)、B(2, 4)(2,\ 4)。
  2. 直線 AB と yy 軸の交点は C(0, 2)(0,\ 2)。△OAB を yy 軸で △OAC と △OBC に分ける。
  3. どちらも底辺 OC =2=2。高さは A、B の xx 座標の大きさで、1 と 2。
  4. 12×2×1+12×2×2=1+2=3\dfrac12\times2\times1+\dfrac12\times2\times2=1+2=3

答え　3

xyO A(−1, 1)B(2, 4) C(0, 2) y＝x² y＝x＋2 △OAB ＝ 3
△OAB を y 軸で2つに分けると、底辺 OC＝2 の三角形が2つ

例題2（数学C・焦点と準線）

焦点が F(0, 1)(0,\ 1)、準線が直線 y=−1y=-1 である放物線の方程式を求めなさい。

  1. 放物線上の点を P(x, y)(x,\ y) とする。P から焦点 F までのきょりは x2+(y−1)2\sqrt{x^2+(y-1)^2}。
  2. P から準線 y=−1y=-1 までのきょりは ∣y+1∣|y+1|。
  3. 2 つが等しいので、2 乗して x2+(y−1)2=(y+1)2x^2+(y-1)^2=(y+1)^2。
  4. 展開すると x2+y2−2y+1=y2+2y+1x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1、整理して x2=4yx^2=4y。

答え　x2=4yx^2=4y（y=14x2y=\dfrac14x^2）

ひらめいたうかるくん

うかるくん

三角形は y 軸で 2 つに分けると、底辺がそろって計算しやすいんだ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

反比例のグラフは放物線ではなく双曲線だよ！

  • 曲線ならなんでも放物線と思う：反比例 y=axy=\dfrac ax のグラフは双曲線で、放物線ではありません。円や y=x3y=x^3 のグラフも放物線ではありません。
  • ∣a∣|a| が大きいほど広がると思う：逆です。∣a∣|a| が大きいほど細く、小さいほど広がります。
  • いつも yy 軸が軸だと思う：yy 軸が軸になるのは、頂点が yy 軸上にあるとき（y=ax2+qy=ax^2+q の形）だけです。y=(x−3)2y=(x-3)^2 の軸は直線 x=3x=3 です。
  • グラフの両はしを止めてしまう：放物線はどこまでも続きます。かくときに、はしを点で止めたり、まっすぐにのばしたりしないようにします（変域があるときは別です）。
  • 頂点をとがらせてかく：放物線の頂点はなめらかです。V 字のようにとがらせてかくのはまちがいです。

ことばの由来

放物線は、「物を放（ほう）る（＝投げる）ときにできる線」という意味の言葉です。投げた物の道すじが放物線になることから、この名前がつきました。英語では parabola（パラボラ）といい、「パラボラアンテナ」の名前のもとになっています。

ミニ問題

問題1　y=3x2y=3x^2 と y=13x2y=\dfrac13x^2 のグラフでは、どちらの放物線の開き方が大きい（はばが広い）ですか。

答えと解き方を見る

y=13x2y=\dfrac13x^2 です。x=3x=3 のとき、y=3x2y=3x^2 では y=27y=27、y=13x2y=\dfrac13x^2 では y=3y=3。同じ xx でも yy がゆっくり大きくなるので、開き方が大きくなります。x2x^2 の係数の絶対値が小さいほど、開き方は大きいです。

問題2　放物線 y=2x2y=2x^2 上にあって、xx 座標が −3-3 の点 P の座標を求めましょう。また、P と yy 軸について対称な点 Q の座標を答えましょう。

答えと解き方を見る

P は (−3, 18)(-3,\ 18)、Q は (3, 18)(3,\ 18) です。y=2×(−3)2=18y=2\times(-3)^2=18。y=ax2y=ax^2 の放物線は yy 軸について対称なので、xx 座標の符号だけを変えた点も放物線上にあります。

問題3　放物線 y=ax2y=ax^2 と直線 y=2x+3y=2x+3 が、xx 座標が −1-1 と 33 の 2 点で交わっています。aa の値を求めましょう。

答えと解き方を見る

a=1a=1 です。交点は直線の上にもあるので、x=3x=3 のとき y=2×3+3=9y=2\times3+3=9。点 (3, 9)(3,\ 9) が放物線上にあるので 9=a×99=a\times9、a=1a=1。たしかめ：x=−1x=-1 では、放物線 y=1y=1、直線 y=−2+3=1y=-2+3=1 で一致します。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

放物線とは簡単にいうと何ですか？

二次関数のグラフになる曲線で、投げたボールがえがく道すじのような形です。1本の軸について左右対称です。

放物線の頂点と軸とは何ですか？

放物線を左右対称にする折り目の直線が軸、軸と放物線が交わる点が頂点です。y＝a(x−p)²＋q なら頂点は(p, q)、軸は直線 x＝p です。

放物線の開き方は何で決まりますか？

x² の係数 a で決まります。a の絶対値が大きいほど細く、小さいほど広くなります。

反比例のグラフは放物線ですか？

いいえ。反比例のグラフは双曲線という別の曲線です。

放物線の焦点とは何ですか？

放物線は、焦点という点と準線という直線から等しいきょりにある点の集まりです。軸に平行に入った光や電波は、はね返って焦点に集まります。

放物線は何年生で習いますか？

中学3年の関数 y＝ax² で習います。高校の数学Ⅰで二次関数のグラフとして、数学Cで焦点・準線を使って学びます。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 C 関数（関数 y＝ax²）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（2次関数）・数学C（平面上の曲線と複素数平面）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦