ヒルベルトは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜23の問題・ヒルベルト空間・無限ホテル

ヒルベルトは何をした人？（業績をひとことで）

ダフィット・ヒルベルト（1862〜1943年）は、ドイツの数学者です。代数学・整数論・幾何学・解析学・数学基礎論と、数学のほぼ全分野で大きな成果を上げ、20世紀初めを代表する数学者の一人と評価されています。最も有名な仕事は、1900年にパリの国際数学者会議で発表した「ヒルベルトの23の問題」です。この問題は、その後100年以上にわたって、世界の数学者が挑戦する目標になりました。

ヒルベルトは、「数学の土台を、公理だけでしっかり作り直す」ことにも力を注ぎました。1899年の『幾何学の基礎』は、ユークリッド幾何学を現代の目で整理し直した本です。さらに、無限次元の空間であるヒルベルト空間は、量子力学の数学的な土台になりました。ヒルベルトの名前がつく定理や空間は数多くあり、大学の数学科では、どの分野でも一度は「ヒルベルト」の名前に出会います。

受験生にとってのヒルベルトは、「23の問題」「無限ホテルの話」「ヒルベルト曲線」で知られる人です。大学入試に名前そのものが出ることは少ないものの、命題と証明、必要条件・十分条件、内積とは、ベクトルなどの数学の基礎は、ヒルベルトが整えた考え方につながっています。

ヒルベルトの生涯と年表

ケーニヒスベルクに生まれる

ヒルベルトは1862年1月23日、当時プロイセン王国の都市だったケーニヒスベルク（今のロシア領カリーニングラード）で生まれました。生まれた場所については、郊外のヴェーラウという説もあります。父は裁判官でした。ケーニヒスベルクは、かつて哲学者カントが暮らし、オイラーが「一筆書きの問題（ケーニヒスベルクの橋）」を考えた町としても知られます。

ケーニヒスベルク大学と、2人の親友

1880年、ヒルベルトはケーニヒスベルク大学に入学し、1885年に博士号を取りました。研究テーマは不変式論（図形や式を変換したとき変わらない量を調べる分野）です。この大学で、生涯の親友となるヘルマン・ミンコフスキーとアドルフ・フルヴィッツに出会い、3人は毎日のように散歩をしながら数学の議論を交わしたと伝えられます。

1888年：不変式論の問題を一気に解決

当時、不変式論の第一人者だったゴルダンは、「不変式をすべて具体的に計算で作る」方法を研究していました。ヒルベルトは、1888年に有限基底定理を発表し、「必ず有限個で足りる」ことを、計算で作らずに存在を証明する方法で示します。ゴルダンは「これは数学ではない、神学だ」と言ったと伝えられますが、のちに「神学にも価値がある」と認めたともいわれ、細かいことばは資料によって差があります。

ゲッティンゲン大学へ

1892年にケーニヒスベルク大学の教授、1895年にはゲッティンゲン大学の教授になりました。ゲッティンゲンは、ガウスの業績と生涯が長く教えた町で、ヒルベルトはミンコフスキーを呼び寄せ、エミー・ネーターやワイルの業績と生涯らを集めて、ここを20世紀前半の世界の数学の中心に育てました。

幾何学の基礎、23の問題、積分方程式

1897年に代数的整数論の報告書（ツァールベリヒト）、1899年に『幾何学の基礎』を出版します。1900年8月、パリの国際数学者会議で23の問題を発表。1900年代には積分方程式を研究し、のちにヒルベルト空間とよばれる考え方を生みました。1915年には、一般相対性理論の方程式を、アインシュタインとほぼ同じ時期に導いたことでも知られます。

晩年：ナチスの時代

1930年に退職したのち、ドイツではナチスが力を増します。1933年以降、ゲッティンゲンからユダヤ系の数学者が追放され、かつての教え子や同僚が次々と去っていきました。ヒルベルトは1943年2月14日、ゲッティンゲンで81歳で亡くなりました。墓には、「われわれは知らねばならない。われわれは知るであろう」という言葉がきざまれています。

ヒルベルトの主な業績をやさしく解説

ヒルベルトの名前がつく公式・定理・用語

ヒルベルトの名前がつく数学の用語は、とても数が多いことで知られます。主なものを挙げます。

• ヒルベルトの23の問題：1900年に提示された、20世紀の数学の課題。
• ヒルベルト空間：無限次元に拡張されたベクトル空間（内積があり完備）。量子力学の舞台。
• ヒルベルトの基底定理：多項式環のイデアルは有限個の元で生成される。
• ヒルベルトの零点定理：代数方程式の解の集合と、イデアルの対応を述べる定理。
• ヒルベルト・ヴァーリングの定理：すべての自然数は、一定個数以下の $k$ 乗数の和で書ける。
• ヒルベルトの公理系：ユークリッド幾何学の公理の整理。
• ヒルベルト曲線：正方形をうめる曲線。
• ヒルベルトのプログラム：数学の無矛盾性を有限の方法で証明しようとする計画。
• ヒルベルト・アインシュタイン作用：一般相対性理論の基本式を導く作用。
• ヒルベルトのホテル：無限集合の不思議さを説明する例え話。

高校数学では、ベクトルの内積 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ を学びます。この内積を、成分が無限個あるベクトルに広げたものがヒルベルト空間です。ベクトルの内積の公式と使い方を理解しておくと、大学の数学の入口がぐっと近づきます。

ヒルベルトの逸話と名言

「われわれは知らねばならない。われわれは知るであろう」

われわれは知らねばならない。われわれは知るであろう。

これは、ゲーデルの不完全性定理の発表と同じ会議で語られた言葉として有名です。ゲーデルは、ヒルベルトの講演の前日（9月7日）に、不完全性定理に近い結果をはじめて口頭で示したと伝えられます。同じ会議に、数学の基礎をめぐる2つの流れが居合わせた場面として語られます。

カントールの「楽園」

ヒルベルトは、カントールの集合論を強く支持し、「カントールが私たちのためにつくった楽園から、だれも私たちを追い出すことはできない」と述べたとされます（1925年ごろの講演）。当時の批判から、カントールの理論を守る言葉として知られます。

ヒルベルトのホテル

「部屋が無限にあるホテルが満室でも、新しい客を泊められる」――これは、ヒルベルトが1924年ごろの講演で、無限の不思議さを説明するのに使った例え話として知られます（ガモフの本などで広まりました）。1人増えたなら、全員に1つ隣の部屋へ移ってもらえば、1号室があきます。無限人の団体が来ても、n 号室の客を 2n 号室に移せば、奇数の部屋があいて全員が泊まれます。

「物理学は物理学者には難しすぎる」

ヒルベルトは、物理学の数学化にも力を注ぎました。「物理学は物理学者にはむずかしすぎる」と語ったと伝えられますが、本当に本人の言葉かは確かめられません。実際、ヒルベルトは物理学者と協力し、物理学の公理化（23の問題の第6問）に取り組んでいました。

詩人になった学生

ヒルベルトの教え子の一人が数学を辞めて詩人になったと聞いたとき、ヒルベルトは「それでよかった。あの学生には、数学者になるための想像力が足りなかったのだから」と答えたと伝えられます。数学者に想像力が必要だということを語る逸話ですが、実際のことばは資料によって差があります。

女性数学者エミー・ネーターを守る

1915年、ヒルベルトはエミー・ネーターをゲッティンゲン大学の講師に迎えようとして、ほかの教授から「女性が大学の教員になるのは望ましくない」と反対されました。そのときヒルベルトは「候補者の性別が、採用を拒む理由になるとは思いません。ここは大学であって、公衆浴場ではないのですから」と答えたと伝えられます。ネーターはのちに、数学の歴史でも最高の女性数学者となります。

ナチスの大臣との会話

1934年、ナチスの教育大臣がヒルベルトに「ユダヤ人の影響が去ったゲッティンゲンの数学はどうですか」と尋ねたとき、ヒルベルトは「数学ですか。そんなものは、もうありませんよ」と答えたと伝えられます。ただし、このやりとりの細部には諸説あります。

受験・勉強とヒルベルトのつながり

中学受験：規則性と「無限の考え方」

中学受験の算数では、数列とはや規則性の問題がよく出ます。「どこまでも続く」ものを、有限の式で表す練習は、ヒルベルトのホテルの発想とどこか似ています。「n 番目」を文字で表す練習が、そのまま数学の抽象的な考え方につながります。

高校受験：証明と図形の性質

高校受験の証明問題は、公理（認めてよい前提）から結論までを順に示すという点で、ヒルベルトが整理した幾何学の考え方と同じです。三平方の定理を証明で使うとき、どの性質を前提にしているのかを意識すると、論理の書き方がていねいになります。

大学受験：命題・条件・ベクトルの内積・整数

大学受験では、必要条件・十分条件や命題とはの考え方が直接出題されます。これらは、数学を論理の言葉で書くヒルベルトの流儀そのものです。また内積とはは、ヒルベルト空間につながります。整数問題で出る平方数・立方数の和の問題（たとえば「7は3つの平方数の和で書けない」）は、ヒルベルト・ヴァーリングの定理の仲間です。合同式（mod）の計算やユークリッドの互除法も、整数論の基本の道具です。

京都大学・東京大学の整数問題の出題傾向は、京大理系数学の出題分析（整数問題の出方）を見ると、頻出分野が分かります。

勉強法として：問いを立てる

ヒルベルトは「よい問題が数学を進める」と考えました。勉強でも、問題を解いたあとに「なぜこの方法で解けるのか」「条件を変えるとどうなるか」と自分に問いかけると、理解が深まります。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）で、数学の記号は数学でよく使う記号の意味一覧（Σ・∫・≡）で確かめられます。

ヒルベルトがその後の数学にあたえた影響

• 20世紀の数学の問題設定：23の問題をめぐる研究から、ゲーデル（不完全性定理）の仕事、数論のアダマールらの素数の研究、第10問に関わる計算理論など、多くの分野が育ちました。
• 現代数学の書き方：公理から定理を導く現代数学の様式は、ヒルベルトの『幾何学の基礎』が手本になりました。
• 代数学・代数幾何学：不変式論の仕事は、可換環論・代数幾何学の出発点です。ヒルベルトの基底定理・零点定理は、いまも大学院の必修です。
• 量子力学・関数解析：ヒルベルト空間は、フォン・ノイマンによって量子力学の数学の土台になりました。
• 計算機科学：ヒルベルトの第10問や「決定問題」は、チューリングによる計算可能性の理論につながりました。
• ゲッティンゲン学派：ネーター・ワイルの業績と生涯・フォン・ノイマンなど、多くの数学者がヒルベルトのもとから巣立ちました。

ポアンカレと並び、19世紀から20世紀への転換期を代表する数学者です。ポアンカレが直観を重んじたのに対し、ヒルベルトは公理と形式化を重んじた、と対比されます。フェルマーの最終定理とは？わかりやすく解説のような難問がどう解かれたかを読むと、ヒルベルトが考えた「問いの力」がよく分かります。

ヒルベルトに挑戦！練習問題

ヒルベルトと関係する数学者

• ミンコフスキー（ヒルベルトの親友・ミンコフスキー空間）：学生時代からの親友で、のちにゲッティンゲンへ招かれました。
• エミー・ネーター（抽象代数学の母）：ヒルベルトに招かれてゲッティンゲンで活躍しました。
• ワイル（ヒルベルトの弟子）・フォン・ノイマン（ヒルベルト空間の命名者）：ヒルベルトの影響を強く受けました。
• ゲーデル（不完全性定理）：ヒルベルトのプログラムに決定的な結果を示しました。
• カントール（集合論）・ラッセル（ラッセルのパラドックス）：ヒルベルトの時代の数学の基礎の問題に関わった人たちです。
• ポアンカレ（同時代のライバル）・ガウス（ゲッティンゲンの先輩）：ヒルベルトと並び語られる数学者です。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）もどうぞ。

20世紀の数学者

• ミンコフスキー（1864〜1909）
  数の幾何学・相対性理論の時空（ミンコフスキー空間）
• アダマール（1865〜1963）
  素数定理を証明（ド・ラ・ヴァレー・プーサンと同じ1896年）
• ラッセル（1872〜1970）
  集合論の「ラッセルのパラドックス」・『プリンキピア・マテマティカ』
• 高木貞治の業績と生涯
  類体論を完成させた。日本の近代数学の父
• ルベーグ（1875〜1941）
  ルベーグ積分（測度論）
• ハーディの業績と生涯
  ラマヌジャンを見いだした。『ある数学者の生涯と弁明』
• ネーターの業績と生涯
  抽象代数学の母。対称性と保存則のネーターの定理
• ワイル（1885〜1955）
  リーマン面・群論と量子力学
• 掛谷宗一（1886〜1947）
  長さ1の針を回す最小の面積を問う「掛谷問題」
• ラマヌジャンの業績と生涯
  ほぼ独学で数千の公式を残した天才。タクシー数1729
• バナッハ（1892〜1945）
  関数解析（バナッハ空間）・バナッハ＝タルスキーのパラドックス
• 岡潔の業績と生涯
  多変数複素関数論の難問を一人で解いた。随筆『春宵十話』

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ヒルベルトがかかわった数学の難問

• ウェアリングの問題とは（解決）
  どの自然数も、決まった個数の k 乗数の和で書けるか（3乗なら9個）
• 算術の無矛盾性（ヒルベルトの第2問題）とは（不可能・決められないと証明）
  数学がけっして矛盾しないことを、数学の中で証明できるか。不完全性定理でできないと分かった

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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  公式・証明・例題を1つずつ
• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
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