ベクトルとは？意味・書き方・計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

ベクトルって、ただの矢印じゃないんですか？

合格先生

矢印で表すけど、大事なのは向きと大きさだけ。どこにかいても、向きと長さが同じなら同じベクトルなんだ。そこがふつうの線分とちがうところだよ。

やさしく言うと

ベクトルは「どっちへ、どれだけ」をまとめて表す矢印です。向きと大きさの両方が大事な量に使います。身近な例を見てみましょう。

• 道案内：「3km 歩いて」だけでは、どこに着くか分かりません。「東へ 3km」と向きもそろって、はじめて行き先が決まります。
• 天気予報の風：「北の風、風速 5m」のように、風は向きと強さの両方で伝えます。地図の上では矢印でかかれます。
• 綱引き：同じ強さで引いても、右に引くか左に引くかで結果は正反対です。力は向きをふくめて考える量です。

反対に、大きさだけの量（長さ・重さ・温度・時間など）はスカラーといいます。

ベクトルは向きと大きさだけで決まるので、矢印をかく場所がちがっても、向きと長さが同じなら同じベクトルです。

まとめると、ベクトルは「向き」と「大きさ」の2つの情報を、1本の矢印にまとめたものです。

書き方

ベクトルで表すもの・表さないもの

「速度」と「速さ」のちがいに注意します。速度は向きをふくむのでベクトル、速さはその大きさだけなのでスカラーです。

たし算と成分

ベクトルのたし算は、矢印をつなぐことです。$\vec a$ の終点に $\vec b$ の始点をつなぐと、はじめの点から最後の点への矢印が $\vec a+\vec b$ になります。成分で書くと、成分どうしをたすだけです。

大きさは三平方の定理で求めます。$\vec a=(a_1, a_2)$ なら $|\vec a|=\sqrt{a_1^{\,2}+a_2^{\,2}}$。たとえば $(4, 4)$ の大きさは $\sqrt{32}=4\sqrt2$ です。

うかるくん

矢印をつなぐのも、成分をたすのも、同じことをしているんだ！

サクラちゃん

ベクトルのたし算は、矢印をつなぐだけ。成分ならそれぞれたすのよ。

図で見る：実数倍とひき算

ベクトルに数 $k$ をかける（実数倍）と、向きはそのまま（$k<0$ なら逆向き）で、長さが $|k|$ 倍になります。成分では、各成分を $k$ 倍します。

図のように、$\vec a$ の実数倍はすべて同じ向きか逆向きの矢印です。だから、$\vec 0$ でない2つのベクトルが平行であることは、「$\vec b=k\vec a$ と書ける」ことと同じです。

ひき算 $\vec a-\vec b$ は、$\vec a+(-\vec b)$ と考えます。とくに大事なのが、原点 O を使って「終点 − 始点」で表す形です。

うかるくん

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は、A から B だから「A − B」じゃないんですか？

合格先生

図を見てごらん。O から A へ行って、そこから B へ行くと、O から B へ直接行くのと同じだね。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ だから、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$。行き先から出発点を引くんだ。

テスト・入試ではこう出る

ベクトルは高校の数学Cで習います（2022年度より前の入学生は数学B）。定期テストや大学入試では、成分の計算と大きさ、平行条件、内積を使った角度・垂直、位置ベクトルを使った図形の問題（内分点、2直線の交点など）、空間ベクトルがよく出ます。

合格先生

平行四辺形は「AB＝DC」。頂点をまわる順番を守って式を立てるのがコツだ！

まちがえやすい点

合格先生

$\vec a$（矢印）と $|\vec a|$（長さ）はちがうもの！ 内積の答えにも矢印はつかないよ。

• 場所がちがうと別のベクトルだと思う：向きと大きさが同じなら同じです（$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ なら四角形ABCDは平行四辺形）。
• $\vec a$ と $|\vec a|$ をまぜる：$\vec a$ は矢印、$|\vec a|$ はその長さ（ふつうの数）です。$|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|$ は、ふつうは成り立ちません。たとえば $(3,\ 0)+(0,\ 4)=(3,\ 4)$ の大きさは 5 で、$3+4=7$ ではありません。
• 内積の答えをベクトルにする：内積 $\vec a\cdot\vec b$ の結果はふつうの数（スカラー）です。矢印はつけません。
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ を同じにする：向きが逆なので $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ です。
• 成分を「始点 − 終点」で出す：$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の成分は、B の座標から A の座標を引きます（終点 − 始点）。

ことばの由来

vector（ベクトル）は、ラテン語で「運ぶもの」という意味のことばから来ています。点を、ある向きにある距離だけ「運ぶ」矢印、と考えるとイメージしやすいでしょう。scalar（スカラー）は「目もり・はしご」に関係することばで、ものさしの目もりで読める大きさだけの量を表します。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• ベクトルの成分と大きさ
• ベクトルの内積
• 位置ベクトルと内分点・外分点
• ベクトルと三角形の面積
• 空間ベクトルと座標

あわせて覚えたい用語

• 内積
• 位置ベクトル
• 単位ベクトル

よくある質問