ペアノは何をした人？業績・生涯をわかりやすく｜ペアノの公理・ペアノ曲線・数学的帰納法

ペアノは何をした人？（業績をひとことで）

ジュゼッペ・ペアノ（1858〜1932年）は、イタリアの数学者です。「自然数とは何か」を、5つのきまり（公理）だけで言い表したことで知られます。これがペアノの公理で、数学的帰納法のもとにもなっています。ほかにも、正方形を1本の曲線でうめつくすペアノ曲線の発見、集合の記号 ∪（和集合）・∩（共通部分）の考案、ベクトル空間の公理の最初期の形、そして数学の記号をそろえた『数学公式集（フォルムラリオ）』づくりなど、「数学を正確な言葉で書く」ことに生涯をささげました。

受験生にとってのペアノは、まず数学的帰納法を公理として整理した人です。高校数学Bで習う数学的帰納法の証明のしかたと例題は、ペアノの公理の5番めそのものです。さらに、数学Iの「集合と論理」で出会う ∪・∩ の記号も、ペアノが広めた形が今に残っています。集合とは何かを学ぶとき、百年以上前のイタリアの数学者の工夫を使っているわけです。

うかるくん

自然数なんて、1、2、3……って、だれでも知ってますよね？　それを「定義する」ってどういうことですか？

合格先生

いい質問だね。「1、2、3……と続く」と言っただけだと、「……」の中身が人によってちがうかもしれない。ペアノは、だれが読んでも同じ数になるように、たった5つのきまりで自然数を決めたんだ。算数の土台を作った人だよ。

ペアノの生涯と年表

農家に生まれ、おじさんに導かれてトリノへ

ペアノは1858年8月27日、イタリア北西部ピエモンテ地方のクーネオ近くにある農家「テット・ガラン」で生まれました。農家の子として育ちましたが、聖職者だったおじさんが、ペアノの才能に気づいて、都会トリノの学校で学べるよう手助けをしたと伝えられています。ペアノはトリノの高校を出て、1876年にトリノ大学に入りました。

大学の助手から教授へ

1880年9月29日に数学の博士号をとり、そのまま大学に残って、ドヴィディオ教授、のちにジェノッキ教授の助手になりました。1884年に大学教授の資格を得て、1886年からはトリノの陸軍士官学校でも教えはじめます（1901年まで）。1890年12月にジェノッキの後を継いで、トリノ大学の正教授になりました。

1886〜1890年：微分方程式、公理、曲線

1886年、ペアノは「$y'=f(x,y)$ の形の微分方程式は、$f$ が連続ならば解を持つ」ことを証明しました（ペアノの存在定理）。1889年には、ラテン語で書いた小冊子『算術原理（Arithmetices principia）』を出し、自然数の公理を示しました。そして1890年には、正方形をうめつくす曲線ペアノ曲線を発見します。微分方程式では「解は一つとは限らない」ことも、1890年に示しています。

『フォルムラリオ』と国際語

1891年に数学雑誌『数学評論（Rivista di matematica）』を創刊し、1892年ごろからは『数学公式集（Formulario Mathematico）』づくりに取りかかりました。これは数学の定理を、記号だけで短く正確に書いて集めようとする大きな計画で、1908年に完成します。1900年にはパリで開かれた国際哲学会議に出て、そこで若いラッセルと出会い、強い影響を与えました。1903年ごろから、ラテン語の語形変化をなくした人工の国際語ラテン語風国際語（Latino sine flexione）を提案し、最終版の『フォルムラリオ』はこの言葉で書かれています。

晩年

ペアノは生涯のほとんどをトリノで過ごしました。1932年4月20日、トリノで亡くなりました（73歳）。

ペアノの主な業績をやさしく解説

ペアノの名前がつく公式・定理・用語

• ペアノの公理：自然数を5つのきまりで定める。→ 数学的帰納法の使い方（ペアノの公理の5番め）
• ペアノ算術（PA）：ペアノの公理にもとづいて、足し算とかけ算を使った算術の体系。論理学の大切な研究対象で、ゲーデルの不完全性定理はこの種の体系について示されました。
• ペアノ曲線：正方形をうめつくす曲線。「空間充填曲線」の代表。
• ペアノの存在定理：微分方程式 $y'=f(x,y)$ の解の存在を、$f$ の連続性だけから示す定理。
• ペアノの剰余項：テイラー展開で残りの誤差を表す形のひとつ。
• ペアノ・ジョルダン測度：図形の面積を「内側から」「外側から」はさんで定める考え方（ジョルダンと並んで名前がついています）。

合格先生

ペアノの公理の5番めを、数学的帰納法のドミノとして覚えておこう。「最初」と「次へ進むしくみ」。この2つを書けば、帰納法の答案は完成だよ。

ペアノの逸話と名言

ラッセルの「知的人生の転換点」

1900年、パリでの国際哲学会議に参加したラッセルは、ペアノの講演を聞いて強い衝撃を受けました。ラッセルは自伝の中で、この会議が自分の知的人生の転機になったと書いています。

その会議は、私の知的人生の転換点だった。そこでペアノに出会ったからだ。

ラッセルは、ペアノの議論がいつも正確で、議論になると必ず相手より一枚上手だった、とも回想しています。ラッセルは会議のあと、ペアノの著作をすべて取りよせて読みふけり、そこから論理学で数学を作り直す計画に進みました。くわしくはラッセルの業績と生涯を見てください。

授業は「かんたんに、厳密に」

ペアノは、大学の授業でも、できるだけ記号を使って短く、正確に話す人だったといわれます。一方で、その厳密さが学生には「むずかしすぎる」と受け取られることもあった、と伝えられます。くわしい事情は資料によって書き方が分かれるので、ここでは「厳密さにこだわる先生だった」とだけ紹介しておきます。

人工の国際語に力を入れた晩年

ペアノは晩年、ラテン語から語形変化をなくした人工の国際語「ラテン語風国際語」に力を入れました。1908年には「国際語アカデミー」の会長になったと伝えられます。数学の記号を世界でそろえようとした仕事と、同じ夢が背景にあったのかもしれません。この点は本人の言葉が少なく、推測の部分もあります。

サクラちゃん

線が正方形をぜんぶうめつくすなんて、信じられないです……！

合格先生

当時の数学者たちもそう思ったんだ。でも、ペアノは「直感」ではなくきまりと証明で、それが本当だと示した。直感が正しいとは限らないから、数学には証明が必要なんだね。

受験・勉強とペアノのつながり

中学受験：規則性と「次の数」

中学受験の算数の「規則性」「数列」の問題は、「次の数はどうなるか」を考える勉強です。ペアノの公理の、「次の数」を使って数を決めるという考え方は、その土台です。等差数列の和や、数列とはの最初の一歩になります。

高校受験：集合と、文字式による説明

高校受験でも、「連続する3つの整数の和は3の倍数になる」のように、文字を使って説明させる問題があります。これは数学的帰納法ではありませんが、「どんな数でも成り立つ」ことを一般に示す点で、同じ考え方です。

大学受験：数学的帰納法・集合・極限

• 数学的帰納法（数学B）：等式・不等式・倍数の証明・漸化式で定まる数列の一般項の確かめ。
• 集合の記号（数学I）：∪・∩・∈・⊂ を使った集合の要素の個数（集合の要素の個数の公式）。
• 極限（数学III）：ペアノ曲線のような「段階を無限にくり返す」考え方は、極限の意味の基本です。

難関大の整数問題・証明問題では、数学的帰納法が高い割合で使われます。京大理系数学の出題分析（証明・整数問題の出方）を見ると、論理的に書く力がどれほど求められるかが分かります。

帰納法の答案でよくあるまちがい

数学的帰納法の答案で点を落とす原因は、だいたい決まっています。①最初の確認（$n=1$ のとき）を書き忘れる。ドミノでいえば、最初の1枚をたおしていないのに「全部たおれる」と言っているのと同じです。②「$n=k$ のとき成り立つと仮定する」をとばして、いきなり結論を書く。③$n=k+1$ のときの式を作るとき、仮定を使わずに計算してしまう。仮定を使わなければ、それは帰納法ではありません。④最後の「したがって、すべての自然数 $n$ で成り立つ」という一文を書かない。

また、最初の数が 1 とは限らない問題もあります。「$n\ge 5$ のとき $2^n>n^2$」のような不等式では、最初の確認を $n=5$ で行います。ペアノが自然数を 1 から数えはじめたのも、0 から数えるのも、考え方は同じです。出発点さえはっきり書けば、ドミノはそこから倒れていきます。

勉強法として：「定義にもどる」くせをつける

ペアノの仕事から学べるのは、「当たり前」と思うものを、きまりから組み立て直す姿勢です。問題がとけなくなったら、「この言葉の定義は何だったか」にもどってみましょう。数学の勉強の進め方は、数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考になります。

ペアノがその後の数学にあたえた影響

• 数学基礎論・論理学：ペアノの記号と公理は、ラッセルの『プリンキピア・マテマティカ』に受けつがれ、ゲーデルの不完全性定理（1931年）の対象になりました。
• 現代の数学の書き方：定義・公理・定理・証明という書き方や、∪・∩・∈ などの記号は、今の教科書にそのまま残っています。
• 次元の理論：空間充填曲線は、次元とは何かという研究を進め、のちのヒルベルト曲線、さらにフラクタルの研究にも関係します。
• コンピューター科学：自然数を「ゼロと次の数」だけで作る書き方は、プログラミング言語の再帰的な定義や、証明支援ソフトの基本的な考え方です。
• 国際語運動：ペアノのラテン語風国際語は、のちの国際補助語の運動に影響をあたえたといわれます。

ペアノ曲線は、現在もコンピューターで二次元のデータを一次元にならべる方法（空間充填曲線による並べかえ）の研究に使われています。100年以上前のアイデアが、いまの技術にも関わっているのです。

ペアノに挑戦！練習問題

ペアノと関係する数学者

• デデキント（自然数の理論の先がけ）：1888年に自然数を整理した理論を発表し、ペアノの公理にも影響をあたえました。
• カントール（集合論と無限）：線分と正方形の点の個数が同じことを示し、ペアノ曲線の背景になりました。
• ヒルベルト（公理主義・空間充填曲線）：1891年にペアノ曲線に似た曲線を作り、1900年の国際数学者会議でも一緒にいました。
• ラッセル（ペアノに衝撃を受けた人）：ペアノの記号を使って『プリンキピア・マテマティカ』を書きました。
• フレーゲ（現代論理学の創始者）：ペアノより先に記号論理学を作りましたが、読みにくい記号のためあまり広まりませんでした。
• ゲーデル（不完全性定理）：ペアノ算術のような体系の限界を示しました。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、数学で使う記号の意味は数学でよく使う記号の意味一覧（Σ・∫・≡）もどうぞ。

19世紀の数学者

• ソフィ・ジェルマンの業績と生涯
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• メビウスの業績と生涯
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