うかるくん
連続って、グラフがつながっているってことですよね。式で確かめる必要あるんですか？
合格先生
イメージはそれで合っているよ。でも入試では極限を計算して と比べるんだ。左右から近づけた値もチェックしようね。
この用語のポイント
- で連続 ⇔
- 3条件： がある・極限がある・両者が等しい
- 連続なら中間値の定理が使える。連続でも微分できるとは限らない
やさしく言うと
グラフがその点でとぎれずにつながっていることです。紙からペンを離さずにグラフをかけるイメージです。
- 気温の変化：朝 10℃ だった気温が昼に 20℃ になったなら、とちゅうで必ず 15℃ のときがあります。気温は、とびとびではなく連続に変わるからです。
- 坂道と階段：坂道を登るときの高さは少しずつつながって変わりますが、階段では 1 段ごとに高さがとびます。坂道が連続、階段が不連続のイメージです。
- 郵便料金や駐車料金：重さや時間が少しこえただけで、料金が一気に上がります。グラフにすると階段の形で、区切りの所で不連続です。
ただし数学では、見た目ではなく極限を使ってきちんと確かめます。まとめると、連続とは「近づいていった先の値」と「その点の値」がぴったり合うことです。
連続の定義（3つの条件）
で連続であるとは、次の3つがそろうことです。
- が決まっている（ が定義域に入っている）
- 極限 がある（左から近づけた値と、右から近づけた値が同じ）
- その極限が に等しい
ある区間のすべての点で連続なとき、その関数はその区間で連続といいます。多項式、、 などは、定義域全体で連続です。連続な関数どうしの和・差・積、分母が 0 でないところでの商も連続です。
連続の例と、不連続の例
○ 連続
- 、（すべての実数で）
- 、
- （ でとがっていても連続）
- （定義域 で連続）
- （定義域 で連続）
- の （まわりで値が変わらない）
× 不連続
- （ガウス記号）：整数の所でとぶ
- （）、：穴の位置と がずれている
- で 、 で となる関数： でとぶ
- 駐車料金のような階段の形のグラフ：区切りの所で不連続
- で 、 で となる関数：極限 1 と がちがう
の はどうか： は定義域に入らないので、高校の定義では「 で連続か」はそもそも考えません。 は定義域（）全体で連続な関数です。ただし「 で不連続」と書く本もあり、言い方に揺れがあります。
図で見る：中間値の定理
連続な関数には、中間値の定理が使えます。区間 で連続な について、 と の符号がちがえば、 となる が と の間に少なくとも1つあります。
気温のたとえと同じで、とぎれずにつながっているグラフは、下から上へ行くとちゅうで必ず x 軸を通ります。「方程式が解をもつこと」を示す入試問題でよく使います。たとえば は、、 なので、 は に解をもちます。
サクラちゃん
「少なくとも1つある」って、どこにあるかはわからないんですか？
合格先生
そう、中間値の定理は「ある」ことだけを教えてくれるんだ。場所までは言わない。でも区間をどんどん半分にして調べれば、解の近い値をしぼりこめるよ。
連続かどうか調べる手順
場合分けされた関数や、分数の式の関数では、次の順に確かめます。
| 手順 | すること |
|---|---|
| ① 値 | を計算する（ で定義されているか） |
| ② 左からの極限 | を、 の式で計算 |
| ③ 右からの極限 | を、 の式で計算 |
| ④ くらべる | ②・③・① が全部等しければ連続 |
うかるくん
左からの極限、右からの極限、f(a)。3つそろって同じなら連続だ！
連続と微分可能のちがい
「連続」と「微分できる（微分可能）」は、別のことがらです。
は でつながっているので連続です。でも、左からの傾きは 、右からの傾きは でちがうため、 では微分できません。逆に、微分できる関数は必ず連続です。つまり「微分可能 ⇒ 連続」は正しく、「連続 ⇒ 微分可能」は正しくありません。
テスト・入試ではこう出る
連続は、高校の数学Ⅲ（関数の極限）で習います。大学入試では、場合分けされた関数が連続になる条件を求める問題、中間値の定理で方程式が解をもつことを示す問題、連続と微分可能を調べる問題がよく出ます。
例題1（連続になる条件）
関数 を、 のとき 、 のとき と定めます。 が で連続になるような定数 の値を求めなさい。
- での値： の式を使って 。右からの極限も 。
- 左からの極限： の式で 。
- 連続になるには、左からの極限 ＝ ＝ 右からの極限。 より 。
答え
のとき、 の部分は で、 で となり、左の放物線とつながります。
例題2（中間値の定理）
方程式 が、 の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示しなさい。
- とおく。 も も連続なので、 は区間 で連続。
- と の符号がちがうので、中間値の定理より、 となる が に少なくとも1つある。
よって、方程式 は の範囲に実数解をもつ。
まちがえやすい点
合格先生
「グラフがつながって見える」だけでは答案にならない！ 左右の極限と を比べよう。
- 見た目だけで判断する：「グラフがつながっていそう」では答案になりません。極限が存在するか、それが と等しいかを、式で確かめます。
- 左右の極限の片方だけ見る：ガウス記号や絶対値をふくむ関数、場合分けされた関数では、左からと右からを別々に計算します。
- 極限があれば連続だと思う： で 1、 で 0 の関数は、極限 1 があっても とちがうので不連続です。3 つ目の条件を忘れないようにしましょう。
- 「とがっている＝不連続」と思う： は でとがっていますが連続です。とがった点では微分できないだけです。
- 中間値の定理で連続を確かめ忘れる：符号がちがうだけでは解があるとはいえません。 は で負、 で正ですが、間に となる はありません（ で連続でないため）。
ことばの由来
「連続」は「連なって続く」という意味で、ふだんの言葉の「連続ドラマ」「連続優勝」と同じ字です。英語では continuous（コンティニュアス）で、ゲームの「コンティニュー（continue＝続ける）」と同じ仲間の言葉です。
ミニ問題
問題1 次の関数のうち、 で連続なものをすべて選びましょう。
ア イ （ガウス記号） ウ エ
答えと解き方を見る
アとウです。
- ア：左右どちらから近づいても 0 に近づき、。とがっていても連続です。
- イ： を左から 0 に近づけると 、右からだと 0 に近づくので、極限がなく不連続です。
- ウ：多項式なので連続です。
- エ： は定義域に入らないので、 での連続は考えられません（「 で連続」とはいえません）。
問題2 ガウス記号 （ をこえない最大の整数）は、どんな で不連続ですか。また、 では連続ですか。
答えと解き方を見る
が整数のところで不連続です。たとえば では、左から近づくと 、右から近づくと で、値がとびます。
のまわり（）では のまま変わらないので、 では連続です。
問題3 （）、 とします。 が で連続になるような の値を求めましょう。
答えと解き方を見る
のとき なので、。連続になるには、これが と等しければよいので、 です。
サクラちゃん
つながっているかは極限で確かめる。連続なら中間値の定理も使えるのね！
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よくある質問
関数が連続であるとはどういう意味ですか？
x＝aで、xをaに近づけたときのf(x)の極限が存在し、それがf(a)と等しいことです。グラフでいうと、その点でつながっていることです。
y＝1/x は x＝0 で不連続ですか？
x＝0は定義域に入らないので、高校の定義では「x＝0で連続か」は考えません。y＝1/xは定義域全体で連続な関数です。ただし、x＝0で不連続と書く本もあります。
連続なら微分できますか？
できるとは限りません。y＝|x|はx＝0で連続ですが、とがっているので微分できません。逆に、微分できる関数は必ず連続です。
中間値の定理とは何ですか？
区間で連続な関数の両はしの値の符号がちがえば、その間に値が0になる点が少なくとも1つある、という定理です。方程式が解をもつことを示すのに使います。
場合分けされた関数の連続はどう調べますか？
区切りの点で、左からの極限、右からの極限、その点の値の3つを計算し、全部等しいかを確かめます。
連続は何年生で習いますか？
高校の数学Ⅲ（関数の極限）で習います。
出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅲ（極限：関数の値の極限、連続性）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
