微分とは？意味と計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

微分って、結局なにを計算しているんですか？

合格先生

グラフの傾きだよ。曲線は場所によって傾きが変わるから、各点での傾き（瞬間の変化の勢い）を求めるのが微分なんだ。

やさしく言うと

微分は、「その瞬間に、どれくらいの勢いで変化しているか」を求める計算です。グラフでいえば、その点での接線の傾きを求めることです。

• 車の速さ：「2時間で100km進んだ」から出す時速50kmは平均の速さです。スピードメーターが示すのはその瞬間の速さで、こちらを求めるのが微分です。
• 身長ののび：「この 1 年で 6cm のびた」は 1 年間の平均ののびです。「今この時期に、1 年あたり何 cm のペースでのびているか」を考えるのが微分です。
• ジェットコースター：レールの坂は場所によって急だったりゆるやかだったりします。「今いる場所の坂の傾き」を求めるのが微分です。てっぺんでは、坂の傾きはちょうど 0 になります。

どれも、調べる時間や区間の幅 $h$ をどんどん小さくして、0 に近づけたときの行き先（極限）を考えます。

うかるくん

2点を近づけていくと、2点を結んだ直線が接線に変わっていくんだ！

まとめると、微分は「平均の変化」を「瞬間の変化」に変える計算です。

微分の計算の例

多項式の微分は、$(x^n)'=nx^{n-1}$（次数を前に出して、次数を1つ下げる）と、定数を微分すると0の2つが基本です。たし算・ひき算は項ごとに微分し、係数はそのままかけます。

図で見る

$(x^n)'=nx^{n-1}$ のしくみを、表にすると次のようになります。

うかるくん

定数を微分すると、どうして 0 になるんですか？

合格先生

$y=5$ のグラフは水平な直線だよね。傾きはどこでも 0。微分は傾きを求める計算だから、答えも 0 になるんだ。

同じように、$y=x$ は傾き 1 の直線なので $(x)'=1$、$y=3x$ は傾き 3 の直線なので $(3x)'=3$ です。直線の微分が「傾き」そのものになることを確かめると、微分のイメージがつかみやすくなります。

微分・導関数・微分係数のちがい

記号は $f'(x)$、$y'$、$\dfrac{dy}{dx}$ などがあり、どれも導関数を表します。「微分」ということばを導関数の意味で使うこともあります。定義の式や2つのちがいは「微分係数と導関数」のページでくわしく説明しています。

微分で何がわかるか

導関数 $f'(x)$ の符号を見ると、グラフが上がっているか下がっているかがわかります。$f'(x)>0$ なら増加、$f'(x)<0$ なら減少、$f'(x)=0$ の所で山や谷（極値）になることがあります。

微分は、物理の速さにも使われます。真上に投げたボールの高さを時間の式で表すと、それを微分したものが、その時刻の速さ（上向きを正）になります。

ほかにも、接線の方程式、最大値・最小値、面積が最大になる形を求める問題など、「変化」をあつかう場面ではいつも微分が出てきます。

テスト・入試ではこう出る

数学Ⅱでは多項式の微分を学び、導関数の計算・接線の方程式・増減表と極値・最大値と最小値が定番です。3次関数のグラフをかいたり、方程式の実数解の個数を調べたりする問題もよく出ます。数学Ⅲでは、分数関数・三角関数・指数関数・対数関数の微分や、積・商・合成関数の微分を学び、大学入試ではグラフの凹凸や不等式の証明にも使います。

合格先生

$y'=0$ の点を求めたら、その前後で符号が変わるかを増減表で必ず確かめよう！

まちがえやすい点

合格先生

定数を微分すると0！ $(x^2+5)'$ は $2x$ だよ。

• 定数を微分して残す：$(x^2+5)'=2x$ です。定数5は変化しないので、微分すると0になります。
• 積をそれぞれ微分してかける：$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ です。迷ったら、展開してから微分しても確かめられます。たとえば $\{x(x+1)\}'$ は $(x^2+x)'=2x+1$ で、$1\times1=1$ ではありません。
• 傾きと $y$ 座標をまぜる：$f'(1)=2$ は「$x=1$ での傾きが2」で、点の $y$ 座標 $f(1)=1$ とは別のものです。接線の方程式では両方を使います。
• $y'=0$ なら必ず極値だと思う：$y=x^3$ は $x=0$ で $y'=0$ ですが、前後で $y'$ の符号が変わらない（どちらも正）ので、極値ではありません。

ことばの由来・歴史

微分の「微」は「ごくわずか」、「分」は「分ける」という意味の漢字です。英語の differentiation（ディファレンシエーション）は、「差」を表す difference と同じなかまのことばで、ごくわずかな差を考えることから来ています。

微分の考え方は、17 世紀にイギリスのニュートンとドイツのライプニッツがそれぞれ独自に作りました。ニュートンは物の運動（速さ）を、ライプニッツは曲線の接線を考える中で生み出したといわれています。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 微分の公式
• 積の微分・商の微分・合成関数の微分
• 微分と増減・極値
• 接線の方程式

あわせて覚えたい用語

• 微分係数と導関数
• 極値
• 積分

よくある質問