微分係数と導関数とは？違いと定義をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

微分係数と導関数とは？違いと定義をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

合格大作戦 数学用語辞典 › 微分・積分

大学受験

微分係数と導関数とは

微分係数は、関数 f(x)f(x) の x=ax=a での瞬間の変化率（接線の傾き）で、f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} です。導関数は、どの xx にもその微分係数を対応させた関数 f′(x)f'(x) です。

読み方：びぶんけいすう・どうかんすう／英語：derivative／習う学年：数学Ⅱ（微分の考え）。積・商・合成関数の微分などは数学Ⅲ

うかるくん

うかるくん

微分係数と導関数って、名前がちがうだけで同じものですか？

合格先生

合格先生

近いけどちがうんだ。微分係数は1点での傾き（数）、導関数はどの点の傾きも出せる式（関数）。導関数に x=ax=a を入れると微分係数になるよ。

この用語のポイント

  • 微分係数 f′(a)f'(a) は数（1点での接線の傾き）
  • 導関数 f′(x)f'(x) は関数。代入すると微分係数になる
  • 先に微分してから代入する

やさしく言うと

微分係数は、グラフのある1点での傾き（その瞬間の変化の速さ）です。導関数は、その傾きをどの点でも求められるようにした関数です。微分係数は「数」、導関数は「関数」です。

  • 車のスピードメーター：1 時間で 60km 進んだなら平均の速さは時速 60km ですが、とちゅうで速くなったりおそくなったりします。メーターが示す「今この瞬間の速さ」が微分係数にあたります。
  • 山道の坂：ふもとから頂上までの平均の傾きとは別に、「今立っているところの坂の急さ」があります。それがその地点での微分係数です。
  • 天気予報の気温グラフ：「午前 9 時には気温が 1 時間に 2℃ のペースで上がっている」のように、時刻ごとの上がり方を全部まとめて表した式が導関数にあたります。
xyO AB 12 AB の傾き ＝ 3 （B が x＝1＋h なら 2＋h） h → 0 にすると 接線の傾き ＝ 2 f′(1) ＝ 2 （微分係数）
B を A に近づけると、直線 AB の傾きは接線の傾き 2 に近づく

まとめると、微分係数＝1 点での傾き（数）、導関数＝どの点の傾きも出せる式（関数）です。

定義の式

式答えの種類
微分係数f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}数（x=ax=a での傾き）
導関数f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}関数（xx の式）

分数の部分 f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} は、x=ax=a と x=a+hx=a+h の 2 点を結ぶ直線の傾きで、平均変化率といいます。hh を 0 に限りなく近づけたときの行き先が、微分係数です。

例：f(x)=x2f(x)=x^2 の x=1x=1 での微分係数

f(1+h)−f(1)h=(1+h)2−1h=2h+h2h=2+h\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h。h→0h\to0 で f′(1)=2f'(1)=2。

導関数を求めることを「微分する」といいます。導関数は f′(x)f'(x) のほか、y′y' や dydx\dfrac{dy}{dx} とも書きます。

図で見る

hh を少しずつ小さくすると、直線 AB の傾き 2+h2+h がどう変わるかを見てみましょう。

x A 12 B を A に近づける h10.50.20.01傾き32.52.22.01 h を 0 に近づけると 傾きは 2 に近づく → 赤い接線の傾き
h を 1、0.5、0.2…と小さくすると、傾きは 3、2.5、2.2…と 2 に近づく
うかるくん

うかるくん

h=0h=0 を代入すればいいのに、どうして「近づける」なんて言うんですか？

合格先生

合格先生

h=0h=0 だと、もとの式は 00\dfrac{0}{0} になって計算できないんだ。だから先に hh で約分して 2+h2+h にしてから、hh を 0 に近づける。これが極限の考え方だよ。

どの点でも同じように接線の傾きを求めると、点ごとに傾きが 1 つずつ決まります。

xy 傾き −2 傾き 0 傾き 2 x ＝ −1、0、1 → 傾き −2、0、2 傾きを表す関数 f′(x) ＝ 2x が導関数
接線の傾きを並べると f′(x)＝2x になる

微分係数と導関数の関係

f(x)=x2f(x)=x^2 を微分すると、導関数は f′(x)=2xf'(x)=2x です。これに x=1x=1 を代入すると f′(1)=2f'(1)=2 で、上の微分係数と一致します。導関数に x=ax=a を代入したものが、微分係数です。

導関数もグラフにかけます。もとのグラフの接線の傾きが、導関数のグラフの高さになります。

もとの関数 y ＝ x² 導関数 y ＝ 2x xx −303 上の傾き＝下の高さ
y＝x² の接線の傾き（−3、0、3）が、導関数 y＝2x の高さになる

図から、導関数が負のところではもとの関数は減少、正のところでは増加、0 のところで向きが変わるとわかります。これが、微分を使ってグラフの増減や極値を調べるしくみです。

○ 正しい使い方

  • f′(x)=2xf'(x)=2x（xx の式）→ 導関数
  • f′(3)=6f'(3)=6（ただの数）→ 微分係数
  • dydx=3x2\dfrac{dy}{dx}=3x^2（y=x3y=x^3 の導関数）
  • y′=2x+3y'=2x+3（y=x2+3xy=x^2+3x の導関数）
  • 「x=1x=1 における微分係数は 2」

× まちがった使い方

  • f(3)=9f(3)=9 を微分した「00」を f′(3)f'(3) とする
  • f′(x)f'(x) に x=3x=3 を代入する前に「微分係数」とよぶ
  • 平均変化率 f(3)−f(1)3−1\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} を、そのまま「x=1x=1 の微分係数」とする
  • 「導関数は 6」のように、導関数を数で答える
  • y=∣x∣y=|x| の x=0x=0 での微分係数を 0 とする（存在しない）
机で勉強するうかるくん

うかるくん

「微分してから代入」の順番を守れば、微分係数はすぐ出せるね！

ひらめいたうかるくん

うかるくん

導関数に数を入れると、その点の微分係数になるんだね！

テスト・入試ではこう出る

数学Ⅱの「微分・積分の考え」で、平均変化率から微分係数を定義し、多項式の導関数を求めることを学びます。テストでは、定義にしたがって微分係数を求める問題、導関数を使って係数を決める問題、接線の方程式、増減表などがよく出ます。数学Ⅲでは、分数関数・三角関数・指数関数などの導関数や、積・商・合成関数の微分を学びます。

例題1（定義にしたがって求める）

f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x の x=2x=2 における微分係数を、定義にしたがって求めなさい。

  1. f(2+h)=(2+h)2+3(2+h)=4+4h+h2+6+3h=10+7h+h2f(2+h)=(2+h)^2+3(2+h)=4+4h+h^2+6+3h=10+7h+h^2。
  2. f(2)=4+6=10f(2)=4+6=10 なので、f(2+h)−f(2)h=7h+h2h=7+h\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{7h+h^2}{h}=7+h。
  3. h→0h\to0 とすると 77。

答え　f′(2)=7f'(2)=7（確かめ：公式で f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3、f′(2)=7f'(2)=7 で一致）

例題2（係数を決める）

f(x)=ax2+bxf(x)=ax^2+bx について、f′(1)=5f'(1)=5、f′(2)=9f'(2)=9 のとき、定数 aa、bb の値を求めなさい。

  1. まず微分して導関数を出す：f′(x)=2ax+bf'(x)=2ax+b。
  2. x=1x=1 を代入：f′(1)=2a+b=5f'(1)=2a+b=5。
  3. x=2x=2 を代入：f′(2)=4a+b=9f'(2)=4a+b=9。
  4. 2 式を引くと 2a=42a=4 で a=2a=2、b=1b=1。

答え　a=2, b=1a=2,\ b=1（f(1)f(1) や f(2)f(2) に代入してから微分すると、0 になって解けません）

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

f′(3)f'(3) は「先に微分、あとで代入」！ f(3)f(3) を微分すると0になっちゃうよ。

  • 微分係数と導関数をまぜる：f′(a)f'(a) は数、f′(x)f'(x) は関数です。「x=ax=a における微分係数を求めよ」なら、答えは数です。
  • 代入してから微分する：f(x)=x2f(x)=x^2 で、先に f(3)=9f(3)=9 を出して微分すると 00 になってしまいます。先に微分してから代入します（f′(3)=6f'(3)=6）。
  • 定義の計算で h=0h=0 を先に入れる：(1+h)2−1h\dfrac{(1+h)^2-1}{h} にいきなり h=0h=0 を入れると 00\dfrac00 です。約分してから h→0h\to0 にします。
  • 平均変化率と微分係数を同じものと思う：平均変化率は 2 点を結ぶ直線の傾き、微分係数は 1 点での接線の傾きです。平均変化率で h→0h\to0 としたものが微分係数です。
  • つながっていれば必ず微分できると思う：y=∣x∣y=|x| は x=0x=0 でつながっていますが、とがっているので、微分係数はありません（右からの傾き 11、左からの傾き −1-1）。

ことばの由来・記号

導関数は「もとの関数から導かれた関数」という意味で、英語の derivative（デリバティブ、「引き出されたもの」）にあたります。微分係数の「係数」は、x=ax=a の近くで f(a+h)−f(a)f(a+h)-f(a) がおよそ f′(a)×hf'(a)\times h になる、そのかける数だと考えるとわかりやすいです。

微分の考え方は、17 世紀にイギリスのニュートンとドイツのライプニッツがそれぞれ独自に作りました。dydx\dfrac{dy}{dx} の記号はライプニッツが使い始めたものです。

ミニ問題

問題1　f(x)=x3f(x)=x^3 の導関数 f′(x)f'(x) と、微分係数 f′(2)f'(2) を求めましょう。

答えと解き方を見る

f′(x)=3x2f'(x)=3x^2、f′(2)=12f'(2)=12 です。導関数は xx の式（関数）、微分係数はそこに x=2x=2 を入れた数です。f(2)=8f(2)=8 を微分して 00 とするのはまちがいです。

問題2　f(x)=3x2−4x+1f(x)=3x^2-4x+1 の、x=−1x=-1 における微分係数を求めましょう。

答えと解き方を見る

−10-10 です。f′(x)=6x−4f'(x)=6x-4 に x=−1x=-1 を代入して 6×(−1)−4=−106\times(-1)-4=-10。微分係数が負なので、x=−1x=-1 ではグラフは右下がりです。

問題3　f(x)=x2f(x)=x^2 で、xx が 1 から 3 まで変わるときの平均変化率と、x=2x=2 での微分係数を求めて、比べましょう。

答えと解き方を見る

どちらも 4 です。

  1. 平均変化率は f(3)−f(1)3−1=9−12=4\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4。2 点を結ぶ直線の傾きです。
  2. 微分係数は f′(x)=2xf'(x)=2x より f′(2)=4f'(2)=4。1 点での接線の傾きです。

2 次関数では、区間のまん中での微分係数が、その区間の平均変化率と等しくなります。ふつうは 2 つは別の値なので、区別して使います。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

微分係数と導関数のちがいは？

微分係数はある1点での接線の傾きで、答えは数です。導関数はどの点でも傾きを出せる関数で、x の式です。導関数に x＝a を代入すると、x＝a での微分係数になります。

微分係数の定義の式は？

f′(a)＝lim(h→0) {f(a＋h)−f(a)}/h です。点 a と点 a＋h を結ぶ直線の傾きで、h を0に近づけたものです。

導関数の書き方にはどんなものがありますか？

f′(x)、y′、dy/dx などがあります。どれも同じ導関数を表します。

平均変化率と微分係数のちがいは？

平均変化率は2点を結ぶ直線の傾きです。微分係数は、その2点を限りなく近づけたときの傾き、つまり1点での接線の傾きです。

f′(3) を求めるとき、f(3) を微分してはいけないのはなぜ？

f(3) はただの数なので、微分すると必ず0になります。先に f(x) を微分して導関数を求め、そこに x＝3 を代入します。

微分係数はいつでも求められますか？

いいえ。y＝|x| の x＝0 のように、グラフがとがっている点では、右からと左からの傾きが合わず、微分係数はありません。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（微分・積分の考え）・数学Ⅲ（微分法）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦