ロピタルは何をした人？業績・生涯をわかりやすく｜ロピタルの定理・世界初の微分の教科書

ロピタルは何をした人？（業績をひとことで）

ギヨーム・ド・ロピタル（1661〜1704年）は、フランスの貴族（侯爵）で、数学者です。1696年に、世界ではじめて微分（微分積分の前半）の教科書『無限小解析（Analyse des infiniment petits）』を書いて出版した人として知られています。その本にのっているロピタルの定理（$\frac00$ や $\frac\infty\infty$ の形の極限を、分子と分母をそれぞれ微分して求める方法）は、大学入試でも知られた超有名な道具です。

ただし、この定理を発見したのは、ロピタルではなく、彼が個人教授として雇ったヨハン・ベルヌーイだといわれています。ロピタルは数学者としての業績が小さいわけではありませんが、「他人の発見に自分の名前がついた人」としても有名です。ここでは、その契約の事実と、定理の使い方を、受験に役立つ形でていねいに解説します。

名前の由来を知ると、定理の使い方もいっそう身につきます。

ロピタルの生涯と年表

貴族の家に生まれた、数学好きの騎兵隊長

ロピタルは1661年、パリの名家に生まれました。正式な名前は「ギヨーム・フランソワ・アントワーヌ、ロピタル侯爵」で、父は国王軍の中将をつとめた人です。子どものころはラテン語などが苦手だった一方、数学の才能は早くから目立っていたといわれます。伝記作家のフォントネルによれば、15歳のとき、パスカルが出したサイクロイド（転がる円の点がえがく曲線）の難問を解いたと伝えられています。

貴族の若者として、ロピタルは騎兵隊の隊長になりましたが、ひどい近視で、10歩先も見えなかったといわれます。それがきっかけで軍をやめたとされますが、本当の理由は数学への情熱だったという見方もあります。結婚して、息子1人と娘3人に恵まれました。

若いヨハンを家庭教師に雇う

1691年の終わり、スイスから24歳の若い数学者ヨハン・ベルヌーイがパリにやってきました。ヨハンはライプニッツの微分積分を、兄のヤコブ・ベルヌーイと共に学んだ、当時のヨーロッパでも数少ない達人の一人です。ヨハンは約半年のあいだ、フランスの哲学者マルブランシュの仲間たちに週4回の講義をしました。ロピタルはその講義に出て、すっかり夢中になり、自分の領地にヨハンを招いて個人教授を受けました。1692年11月にはヨハンはバーゼルに戻りましたが、二人の手紙のやりとりは続きました。

1694年の取りきめと、1696年の教科書

1694年3月17日、ロピタルはヨハンにある申し出の手紙を書きます。その内容は、歴史の資料によると次のようなものでした。

• 年に300リーヴル（当時の通貨単位）の謝礼を、1694年1月1日にさかのぼって払う（将来は増額を約束）。
• ヨハンは、ロピタルが頼んだ話題について何時間か考え、発見したことを教える。
• ヨハンは、その発見をほかの人に教えない。ヴァリニョンなどに自分の文章の写しを送らない。

ヨハンはこの申し出をすぐに受け入れました。そして1696年、ロピタルは『無限小解析』を、本人の名前を出さずに出版します（作者がロピタルであることは、当時から知られていました）。

相手のヨハン・ベルヌーイとはどんな人？

ヨハン・ベルヌーイ（1667〜1748年）は、ヤコブ・ベルヌーイの弟で、スイスのバーゼル出身の数学者です。医者になるはずでしたが、兄から数学を学んで才能を開花させ、微積分の達人になりました。1695年にオランダのフローニンゲン大学の教授になり、1705年に兄の死のあとを受けてバーゼル大学の教授に戻りました。のちにオイラーを教えたことでも有名です。息子のダニエル（ダニエル・ベルヌーイ）も大数学者になりました。ロピタルが出会ったころのヨハンは、まだ24歳の無名の若者でした。ロピタルの申し出は、若いヨハンにとって、安定した収入と、有力な貴族との関係をもたらす、ありがたい話だったともいえます。

40代前半で亡くなる

ロピタルは1704年2月2日、パリで亡くなりました。42〜43歳でした（生まれた日がはっきりしないため）。その後、遺稿から『円すい曲線の解析』（1707年）が出版されました。数学者としての仕事は、さらに続けられるはずだった途中での、早い死でした。

ロピタルの主な業績をやさしく解説

ロピタルの名前がつく公式・定理・用語

• ロピタルの定理（ロピタルの法則）：$\frac00$、$\frac\infty\infty$ 型の極限を、分子・分母を別々に微分して求める。→ ロピタルの定理の使い方と例題
• 関連する用語：→ 極限の意味と計算・微分係数と導関数
• ロピタルの定理が成り立つための条件を確かめる場面では、平均値の定理（コーシーの平均値の定理）が証明の中心になります。

この定理は、ロピタルの法則とも、昔のつづりで ロスピタルの定理ともよばれます。つづりは、フランス語の古い書き方 "l’Hospital" と、現代の "l’Hôpital" の違いです。

ロピタルの逸話と名言

本当の発見者はだれ？ 論争の経緯

『無限小解析』が出たとき、ヨハンは強く文句を言いませんでした。ロピタルは本の序文で、ベルヌーイ兄弟とライプニッツに感謝し、特に「現在フローニンゲンの教授である若い方」（ヨハン）の力が大きかったことを書いています。ニュートンの似た発見にも触れています。ただし、ロピタルは基礎の考え方を自分のもののように書いたとも指摘されます。

私は、ベルヌーイ氏たち、とくに現在フローニンゲンの教授である方の仕事に、たいへん恩を受けていることを認めなければならない。

ヨハンが「あの本はほとんど私のものだ」と強く主張しはじめたのは、ロピタルが亡くなったあとだといわれています。ヨハンは晩年に、ロピタルから受け取ったお金のことを、実際より多く言って自まんした、と MacTutor は伝えています。当時は、ロピタルがすでに亡くなっていて、反論できなかったのです。

1921年に見つかった講義ノート

決定的な証拠が出たのは、20世紀になってからです。1921年に、ヨハンがロピタルに教えた講義の写本が見つかりました。その内容は、『無限小解析』の微分の部分と非常によく似ていました。さらに1955年にヨハンの初期の手紙が出版されると、多くの数学者が、ロピタルの定理の発見者はヨハンだったと考えるようになりました。ですから、「ロピタルの定理」は本当は「ベルヌーイの定理」であるべきだ、という見方が、いまは有力です。

ただし、この取りきめを、ロピタルがだましたものと決めつけるのは正しくありません。ロピタルは、お金を払い、序文でもヨハンに感謝していました。ヨハン本人も、1695年の手紙で「あなたの望みをはっきり知らせてくれれば、私は生涯もう何も発表しない」という趣旨のことを書くほど、取りきめを受け入れていました。当時の貴族と学者の関係では、学者が貴族の庇護を受けて研究するのは、ふつうのことだったのです。

最速降下曲線の難問に挑んだ人々

1696年、ヨハンは「2点を結ぶ曲線のうち、重力だけで玉が最も速く転がり落ちるのはどんな曲線か」という難問を、数学者たちへの挑戦状として出しました。これが最速降下曲線（ブラキストクローン）の問題で、答えは、直線でも円弧でもなく、サイクロイドという曲線です。ライプニッツ、ニュートン、ヤコブ・ベルヌーイ、そしてロピタルが解答を寄せたと伝えられます。ニュートンは名前を伏せて答えを送りましたが、ヨハンはそれを見て、「爪を見ればライオンだとわかる」と言ったという有名な話があります。こうして、ロピタルは当時の最前線の数学者たちの輪の中にいました。

フォントネルがおくった追悼

ロピタルが亡くなったとき、パリ科学アカデミーの書記フォントネルは追悼文を書き、ロピタルの数学への情熱をたたえました。貴族の身分のせいで、ロピタルは通常の選挙でアカデミーの会員になれませんでしたが、1699年の組織改編のあとに名誉会員にむかえられました。

受験・勉強とロピタルのつながり

大学受験：ロピタルの定理は答案で使っていい？

ロピタルの定理は、高校数学Ⅲの教科書には出てきません。そのため、入試の採点基準は大学によって違います。「使うと減点される」「証明なしに使うと、答案としては認められない」と注意されることもあれば、実際に使って正解になる場合もあります。安全なのは、教科書の範囲の方法（微分の公式、平均値の定理、はさみうちの原理、置きかえ）で解けるようにしておき、ロピタルの定理は「答えの検算」に使うことです。

こんなときに便利（検算でも威力）

• $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$（2回微分：$\frac{\sin x}{2x}\to\frac{\cos x}{2}$）
• $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=0$（$\frac\infty\infty$ 型。2回微分して $\frac{2}{e^x}\to0$）
• $\displaystyle\lim_{x\to0}x\log x=0$（$\log x\big/\frac1x$ に直して $\infty/\infty$ 型にする）

$0\times\infty$ や $\infty-\infty$ の形は、変形して $\frac00$ や $\frac\infty\infty$ の形にしてから使います。累乗の形 $f^g$ は、対数をとってから使うのが定石です。

使ってはいけない場面（落とし穴）

たとえば $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}$ は $\frac\infty\infty$ 型ですが、分子分母を微分した $\frac{1+\cos x}{1}$ には極限がありません（くり返し振動します）。しかし、元の式は $1+\frac{\sin x}{x}\to1$ で、ちゃんと極限があります。ロピタルの定理は「微分した後の極限が存在すれば」成り立つだけで、存在しなくても元の極限が存在することがあるのです。

勉強法として：道具の「出どころ」を知る

ロピタルの定理の背景には、テイラー展開の考え方があります。実は、$\frac00$ 型の極限はテイラー展開で分子・分母を展開して比べると、ロピタルの定理を使わなくても求められます。テイラーの展開と合わせて学ぶと、微分の理解が深まります。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）、難関大の極限・微積の出題は京大理系数学の出題分析も参考にしてください。

ロピタルがその後の数学にあたえた影響

• 微積分の広まり：『無限小解析』は、微分を学ぶための最初の教科書として、ヨーロッパ中に微積分を広めました。教科書の形で整理されたことで、微積分が「一部の天才の技」から「学べる学問」になったのです。
• 解析学の発展：オイラーらの18世紀の解析学は、ロピタルの本を学んだ世代によって育てられました。のちにコーシーが極限と微分の定義を厳密にして、ロピタルの定理もきちんと証明されました。
• 科学史・倫理への影響：「発見者」と「紹介者」の関係は、研究の優先権やお金の取りきめをどう考えるかの有名な事例として、科学史の本で取りあげられます。

ロピタルの名前が数学の世界で大きく残ったのは、教科書を書いて「広める人」になったことが大きかったからです。いま私たちが、教科書で微分を学べるのは、ロピタルのような人がいたおかげでもあります。数学の公式一覧は算数・数学の公式一覧（公式辞典）、用語は数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）で調べられます。

ロピタルに挑戦！練習問題

ロピタルと関係する数学者

• ヤコブ・ベルヌーイ（ヨハンの兄）：ヨハンの兄で、ヨハンに微積分を教えた。ロピタルの先生のお兄さん。
• ライプニッツ（微積分の記号を作った人）：ロピタルは序文で感謝を述べ、手紙をやりとりした。
• ニュートン（流率法の創始者）：ロピタルは序文でニュートンにも触れている。
• オイラー（ヨハンの弟子）：ヨハンの弟子で、微積分を大きく発展させた。
• テイラー（テイラー展開）：同じ時代の解析学者。ヨハンと論争した。
• コーシー（極限の厳密な定義）：ロピタルの定理を厳密に証明する土台を作った。

数学記号の読み方は数学でよく使う記号の意味一覧（Σ・∫・≡）もどうぞ。

16〜17世紀の数学者

• タルタリアの業績と生涯
  3次方程式の解き方を見つけた（カルダノの公式のもと）
• カルダノの業績と生涯
  『アルス・マグナ』で3次・4次方程式の解の公式を発表。確率の研究の先がけ
• ヴィエトの業績と生涯
  文字を使った式（記号代数）を広めた。解と係数の関係
• ネイピアの業績と生涯
  対数を発明し、大きな数のかけ算を足し算に変えた。ネイピアの骨
• ケプラーの業績と生涯
  惑星の運動の3法則。たる（樽）の体積の研究は積分の先がけ
• デカルトの業績と生涯
  座標（x軸・y軸）で図形を式に。「我思う、ゆえに我あり」
• フェルマーの業績と生涯
  フェルマーの最終定理・フェルマーの小定理。本業は法律家のアマチュア数学者
• ウォリスの業績と生涯
  無限大の記号 ∞ を使い始めた。ウォリスの公式（ウォリス積分）
• パスカルの業績と生涯
  パスカルの三角形・確率論。計算機（パスカリーヌ）。「人間は考える葦である」
• ホイヘンスの業績と生涯
  確率論の最初の本。振り子時計・光の波の性質
• 関孝和の業績と生涯
  行列式の考え・ベルヌーイ数を西洋とほぼ同じころ発見。「算聖」とよばれる
• ニュートンの業績と生涯
  微分積分（流率法）・二項定理の一般化・万有引力

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有名な数学者一覧（年代順・国別・分野別）で、ほかの数学者も見られます。数学者たちが挑んだ問題は数学の難問・未解決問題の一覧にまとめています。

読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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  公式・証明・例題を1つずつ
• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
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