カルダノは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜3次方程式の解の公式・虚数・確率

カルダノは何をした人？（業績をひとことで）

ジェロラモ・カルダノ（1501〜1576年）は、ルネサンス期のイタリアの数学者・医者・占星術師です。1545年の著書『アルス・マグナ（大いなる術）』で、3次方程式と4次方程式の解の公式をはじめて世の中に公開しました。3次方程式の解法をめぐるタルタリアとの争いは、数学史でもっとも有名な事件の一つです。

この本には、$\sqrt{-15}$ のような負の数の平方根を計算に使う場面が出てきます。これが虚数（複素数）のはじまりです。さらに、サイコロ遊びを数学で考えた『さいころ遊びの書』は、確率論の先がけとされます。方程式・虚数・確率――高校数学の大切な3つの単元に、カルダノは顔を出します。

受験生にとってのカルダノは、「2次方程式の解の公式の3次バージョンをつくった人」であり、複素数と2次方程式の背景を知る入口です。「カルダノの公式」は大学入試で直接問われることはまれですが、解と係数の関係や因数分解で3次方程式を解く練習をしている人は、すでにその続きに立っています。

カルダノの生涯と年表

弁護士の子として、パヴィアに生まれる

カルダノは1501年9月24日、北イタリアのパヴィアで生まれました。父ファツィオは弁護士で、幾何学にくわしく、レオナルド・ダ・ヴィンチに幾何学を相談されたことがあると伝えられます。カルダノは正式な結婚によって生まれた子ではなかったため、のちに職業上の苦労をすることになります。

医者として、数学者として

カルダノは大学で医学を学び、1526年ごろにパドヴァ大学で博士になりました。ところが、生まれのことなどからミラノの医師組合に入れてもらえず、小さな村で医者をしたり、賭け事で生活費をかせいだりする苦しい時期を過ごします。その後、ミラノで数学を教えながら名医として評判になり、1539年に医師組合に入ることができました。同じ年に、算術の本『実用算術』も出しています。

1539年　タルタリアとの出会い

このころイタリアでは、3次方程式の解き方が学者の「秘密兵器」でした。賞金つきの公開試合で、問題を出し合って勝ち負けを決めていたからです。1535年の試合に勝ったタルタリアの3次方程式の解き方の評判を聞いたカルダノは、1539年にミラノにタルタリアを呼び、解き方を教えてほしいとたのみます。タルタリアは「公表しない」という約束をさせて、詩の形で解き方を教えました。

1545年　『アルス・マグナ』

カルダノは、弟子のルドヴィコ・フェラリとともに3次方程式を研究し、フェラリは4次方程式の解き方も見つけました。1543年、2人はボローニャで、すでに亡くなっていた数学者デル・フェロ（1526年没）が、タルタリアより前に同じ解き方を見つけていたことを知ります。「デル・フェロが先なら約束は関係ない」と考えたカルダノは、1545年に『アルス・マグナ』を出版して、3次・4次方程式の解き方を公表しました。本の中には、タルタリアとデル・フェロの名前も書かれています。

タルタリアは「約束をやぶられた」とはげしく怒り、1546年に出した本でカルダノを非難しました。これに答えたのが弟子のフェラリで、1548年にミラノで公開試合が行われ、フェラリが優勢だったと伝えられます（資料により勝敗の描き方は少しちがいます）。

この争いのあと、カルダノはミラノで名医として評判を高め、ボローニャ大学でも医学を教えました。数学の仕事を続けながら医者として生計を立てるという生き方は、当時の学者としては珍しくありませんでした。数学は、仕事というより、自分の知的な興味のために続けた「情熱」だったともいえます。

名医としての名声、そして不幸

カルダノは医者としても有名で、スコットランドの大司教の病気を治すために旅をしたと伝えられます。しかし、私生活では不幸が続きました。1560年には長男が妻を毒殺した罪で処刑され、カルダノは大きな打撃を受けます。1570年には、キリストの星占いを書いたことなどを理由に異端の疑いで一時とらえられました。釈放後はローマに移り、教皇から年金をもらいながら、自伝『わが人生の書』を書きました。1576年9月21日、ローマで亡くなりました。

カルダノの主な業績をやさしく解説

カルダノの名前がつく公式・定理・用語

• カルダノの公式：3次方程式 $x^3+px=q$ の解を、平方根と3乗根で表す公式。→ 解の公式とは
• カルダノ法：$x=u+v$ とおいて3次方程式を2次方程式に変える解き方。
• 判別式：3次方程式の解のようすを決める $\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}$ の符号（正なら実数解1つ、負なら実数解3つ）。
• 既約の場合（還元不能）：実数解が3つあるのに、公式の途中で虚数が出てくる場合。ボンベッリが解決。
• カルダノ格子・カルダン継手（自在継手）：カルダノが書いた暗号法や、車軸を自由な角度でつなぐ部品として、名前が機械の世界に残っています。
• 解と係数の関係：3次方程式の3つの解の和と積は係数で表せる。→ 解と係数の関係の公式

カルダノの逸話と名言

自分の死ぬ日を予言した？

カルダノは占星術にも熱心で、自分の死ぬ日を予言したという話があります。「予言した日に死ぬために、食事をやめた」とも語られますが、これは後世に広まった伝説で、確かな証拠はありません。亡くなったのが1576年9月21日で、じつは75歳の誕生日の3日前だったことは事実です。

「ごまかしの数」について

『アルス・マグナ』の中で、カルダノは負の数の平方根をあつかうとき、次のような意味のことを書いたとされます。現代語に直した要約です。

精神的な苦痛をわきに置いて、5＋√(−15)と5−√(−15)をかけると、25−(−15)＝40になる。

何でも書いた百科事典のような学者

カルダノは数学だけでなく、医学・物理・哲学・占星術・夢の解釈まで、あらゆる分野について大量の本を書きました。著作は200近いともいわれ、自然界のふしぎを広く集めた『精妙さについて』（1550年）はヨーロッパで広く読まれました。耳の聞こえない人でも、文字を使えば読み書きを学べると考えた、といった話も伝わっています。当時の「学者」は、分野を分けず、世界のすべてを一人で理解しようとした人たちだったのです。数学者というより、ルネサンス的な万能の知識人というほうが近いかもしれません。

賭けと決闘の人生

カルダノは自伝の中で、賭け事（さいころ、トランプ、チェス）にのめり込んだ時期があったと正直に書いています。また、短気で、ケンカもよくしたようです。そうした人間くささが、研究だけでなく自分の失敗まで書いた自伝『わが人生の書』を、ルネサンス期の貴重な記録にしています。

数学の勝ち負けと、公表の倫理

タルタリアとの争いは、「秘密にする約束」をやぶったかどうかが争点でした。カルダノは、デル・フェロが先に見つけていたこと、タルタリアの名前をきちんと書いたことを理由に正当化しました。一方、タルタリアは「教えたのは自分だ」と怒りました。どちらの言い分にも理があり、今でも「どちらが正しかったか」は意見が分かれます。いずれにせよ、この争いのおかげで、3次・4次方程式の解き方が多くの人に知られるようになったことは確かです。

受験・勉強とカルダノのつながり

中学受験：場合の数

サイコロやカードの「全部で何通り？」を数える問題は、中学受験の定番です。カルダノの「全部の場合を書き出して、目的の場合を数える」は、そのまま樹形図や表の考え方になります。サイコロ2個の表は、サイコロの目の確率の求め方で練習しておきましょう。

高校受験：確率の基本

確率は、$\dfrac{\text{ある場合の数}}{\text{全部の場合の数}}$ で求めます。「どれも同じ程度に起こりやすい」ことが前提です。カルダノもこの前提を大切にしていました。表にして数えるのが基本です。

大学受験：3次方程式・複素数・確率

• 3次方程式：因数定理で1つの解を見つけ、残りを2次方程式にする。解と係数の関係の利用。
• 複素数：$i^2=-1$ の計算、共役複素数、複素数平面（数学C）。→ 複素数と2次方程式の解
• 確率：反復試行・条件つき確率。→ 反復試行の確率の求め方

京都大学・東京大学では、3次関数や3次方程式の実数解の個数を調べる問題がよく出ます。京大理系数学の出題分析（頻出分野）も参考になります。

たとえば $x^3-6x^2+11x-6=0$ は、$x=1$ を代入すると $1-6+11-6=0$ になるので $(x-1)$ で割り切れます。割ると $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ となり、解は $1,2,3$ です。カルダノの公式を使うと、この簡単な方程式でも途中に虚数が出てきて大変になります。入試では、「まず整数の解をさがす」が鉄則です。公式は、そのあとの最終手段と考えましょう。

勉強法として：次数を下げて考える

カルダノ法の本質は、「難しい問題を、解ける問題に変える」ことです。3次を2次に、4次を3次に。入試でも、置き換え（$t=x+\dfrac{1}{x}$ など）で次数を下げる問題がよく出ます。解けない式を見たら、「何かにおきかえて、知っている形にできないか」と考えてみましょう。数学の勉強法は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。

カルダノがその後の数学にあたえた影響

• 方程式の理論：3次・4次方程式の解の公式は、ラグランジュによる解の入れかえの研究（ラグランジュの方程式の研究）を経て、アーベルとガロアの方程式論の理論に発展しました。
• 複素数：負の数の平方根は、デカルトの「虚数」という名づけ、オイラーの記号 i、ガウスの複素数平面をへて、現在の数学と物理学の基礎になりました。
• 確率論：カルダノの「場合を数える」考えは、パスカルとフェルマーの文通（1654年）、のちのラプラスの確率論へ発展します。
• 数学の公表のルール：「だれがいつ見つけたか」を書く優先権の考え方が、近代の論文の書き方に影響しました。
• 代数の記号化：カルダノの時代の式は言葉で書かれていました。やがてヴィエトが文字で式を書き、私たちの知っている方程式の形になります。

カルダノに挑戦！練習問題

カルダノと関係する数学者

• タルタリア（3次方程式を再発見した人）：カルダノに解き方を教え、のちに争った相手です。
• ヴィエト（文字を使った式の先駆者）：カルダノの数十年後に、方程式を文字で表す方法を広めました。
• パスカル（確率論）・フェルマー（確率論）：カルダノの確率の考えを理論に育てた人たちです。
• オイラー（虚数 i の記号）・ガウス（複素数平面）：虚数を数学の一員にした人たちです。
• アーベル（5次方程式は解けない）・ガロア（方程式の理論）：カルダノたちが切り開いた方程式の歴史を完成させました。

公式をまとめて学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、記号の意味は数学でよく使う記号の意味一覧も参考にしてください。

16〜17世紀の数学者

• タルタリア（1499ごろ〜1557）
  3次方程式の解き方を見つけた（カルダノの公式のもと）
• ヴィエト（1540〜1603）
  文字を使った式（記号代数）を広めた。解と係数の関係
• ネイピアの業績と生涯
  対数を発明し、大きな数のかけ算を足し算に変えた。ネイピアの骨
• ケプラーの業績と生涯
  惑星の運動の3法則。たる（樽）の体積の研究は積分の先がけ
• デカルトの業績と生涯
  座標（x軸・y軸）で図形を式に。「我思う、ゆえに我あり」
• フェルマーの業績と生涯
  フェルマーの最終定理・フェルマーの小定理。本業は法律家のアマチュア数学者
• ウォリス（1616〜1703）
  無限大の記号 ∞ を使い始めた。ウォリスの公式（ウォリス積分）
• パスカルの業績と生涯
  パスカルの三角形・確率論。計算機（パスカリーヌ）。「人間は考える葦である」
• ホイヘンス（1629〜1695）
  確率論の最初の本。振り子時計・光の波の性質
• 関孝和の業績と生涯
  行列式の考え・ベルヌーイ数を西洋とほぼ同じころ発見。「算聖」とよばれる
• ニュートンの業績と生涯
  微分積分（流率法）・二項定理の一般化・万有引力
• ライプニッツの業績と生涯
  微分積分を独自に作り、dx・∫の記号を考えた。2進法

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カルダノがかかわった数学の難問

• 5次方程式の解の公式とは（不可能・決められないと証明）
  2次・3次・4次方程式のような、四則と累乗根だけの解の公式が5次方程式にもあるか。一般にはないと証明された

有名な数学者一覧（年代順・国別・分野別）で、ほかの数学者も見られます。数学者たちが挑んだ問題は数学の難問・未解決問題の一覧にまとめています。

読みもの（合格大作戦の数学の記事）

• モンティ・ホール問題をわかりやすく
  変えると確率2/3になる理由
• 虚数 i の書き方（斜体か立体か）
  国際規格と手書きのコツ
• 数学でよく使う記号の意味一覧
  ∞・Σ・∫ などの記号と読み方
• 算数・数学の公式一覧（公式辞典）
  公式・証明・例題を1つずつ
• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
• 数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）
  青・黄・赤チャートの使い分け
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よくある質問

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