虚数・複素数とは？意味とiの計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

2乗してマイナスになる数なんて、本当にあるんですか？

合格先生

実数の中にはないね。だから新しい数 $i$ を約束して作ったんだ。$i$ を使うと、どんな2次方程式にも解があることになって、計算がすっきりするんだよ。

やさしく言うと

実数は、2乗すると必ず 0 以上になります。だから $x^2=-1$ となる実数はありません。そこで、2乗すると −1 になる新しい数を考えて、$i$ と書きます。$i$ を虚数単位といいます。たとえで考えてみましょう。

• 負の数ができたときと同じ：昔は「3 − 5」は答えのない計算でした。負の数を考えたことで、答えが出せるようになりました。虚数も同じで、「2乗して −1」に答えを出すために考えられた数です。
• 数直線の外へ出る：実数は 1 本の数直線にならびます。虚数は、その数直線の外（たての方向）にある数だと考えると、平面の点として表せます。
• 向きを 90° 変える数：数直線の上で「−1 をかける」は、向きを反対（180°）にすることです。$i$ をかけるのは、その半分の 90° だけ回すことだと考えられます。2 回かけると 180° 回って $-1$ 倍、つまり $i^2=-1$ です（数学Cの複素数平面で学びます）。

実数 $a$, $b$ を使って $a+bi$ と書ける数を複素数といいます。$a$ を実部、$b$ を虚部といいます。複素数のうち、$b\neq0$ のものが虚数です。$b=0$ なら $a$ だけが残り、ふつうの実数になります。

まとめると、複素数は「実数」と「虚数」を全部ふくむ、いちばん大きな数のなかまです。

虚数の例と、虚数ではない数

見た目に $i$ があっても、計算すると実数になることがあります。答えは $a+bi$ の形に整理してから判断しましょう。

図で見る

数は、「できない計算」を できるようにするたびに、なかまを広げてきました。ひき算のために整数、わり算のために有理数、$\sqrt2$ のような数のために実数、そして $x^2=-1$ のために複素数です。

複素数 $a+bi$ は、横に $a$、たてに $b$ をとった点で表せます。これを複素数平面といいます。実数は横軸（実軸）の上、純虚数はたて軸（虚軸）の上の点です。

複素数平面では、$i$ をかけることは「原点のまわりに 90° 回す」ことになります。

うかるくん

「虚」って「うそ」って意味ですよね。うその数を勉強して意味があるんですか？

合格先生

名前は「想像上の数」くらいの意味でつけられたんだ。でも今では、回転を計算で表せる便利さから、電気の交流の計算や、物理・工学で毎日のように使われている、とても「実用的」な数なんだよ。

計算のしかた

$i$ を文字のように計算し、$i^2$ が出たら $-1$ におきかえます。

• たし算：$(2+3i)+(1-i)=3+2i$（実部どうし、虚部どうし）
• かけ算：$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$
• 共役複素数：$a+bi$ に対して $a-bi$。$(2+3i)(2-3i)=4-9i^2=13$ のように、かけると実数になります。
• わり算：分母の共役複素数を分母・分子にかけて、分母を実数にします。$\dfrac{1+2i}{1-i}=\dfrac{(1+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{-1+3i}{2}$

2つの複素数が等しいのは、実部どうし・虚部どうしが両方等しいときです（$a,\ b,\ c,\ d$ が実数のとき、$a+bi=c+di \Leftrightarrow a=c,\ b=d$）。これを使うと、1 つの式から 2 つの式が作れます。

うかるくん

i は文字と同じに計算して、i² を見たら −1 にかえる。これだけでいいんだ！

うかるくん

i の2乗を −1 に置きかえれば、ふつうの文字式と同じに計算できる！

2次方程式と虚数解

2次方程式は、判別式 $D<0$ のときも虚数の範囲なら解があることになります。$x^2-2x+5=0$ の解は $x=1\pm2i$ です（この2つの解を虚数解といいます）。実数の係数の2次方程式なら、虚数解はいつも共役複素数のペアで出てきます。

複素数平面と絶対値

原点から点までの距離が、複素数の絶対値です。$|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ です。$a+bi$ と、共役複素数 $a-bi$ は、実軸について対称な点になります。複素数平面は、高校の数学Cで習います。

テスト・入試ではこう出る

数学Ⅱでは、複素数の四則計算、虚数解をもつ2次方程式、解と係数の関係がよく出ます。数学Cでは、複素数平面での回転や、ド・モアブルの定理を使う問題が出ます。

まちがえやすい点

合格先生

$\sqrt{-2}\times\sqrt{-3}=\sqrt6$ は×！ 先に $\sqrt2\,i\times\sqrt3\,i=-\sqrt6$ と直そう。

• $\sqrt{-2}\times\sqrt{-3}=\sqrt6$ とする：先に $\sqrt{-2}=\sqrt2\,i$、$\sqrt{-3}=\sqrt3\,i$ に直します。$\sqrt2\,i\times\sqrt3\,i=\sqrt6\,i^2=-\sqrt6$ が正しい答えです。$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ は $a$, $b$ が負のときは使えません。
• 虚数と純虚数をまぜる：$2+3i$ は虚数ですが、純虚数ではありません。純虚数は実部が 0 の虚数（$5i$ など）です。
• 虚数に大小をつける：$2i>i$ のような大小は考えません。大小を比べられるのは実数だけです。
• $i^2$ を 1 にする：$i^2=-1$ です。$(2i)^2=4i^2=-4$ で、4 ではありません。
• 「実数 $a,\ b$」の条件を忘れる：$a+bi=0$ から $a=0,\ b=0$ と言えるのは、$a$, $b$ が実数のときだけです。

ことばの由来

「虚」は「実」の反対で、実数に対して虚数と呼ばれます。英語では imaginary number（想像上の数）といい、虚数単位の記号 $i$ はその頭文字です。複素数の英語 complex number の complex は「いくつかが組み合わさった」という意味で、実部と虚部の 2 つが組み合わさった数であることを表しています。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 複素数と2次方程式
• 解と係数の関係
• ド・モアブルの定理
• オイラーの公式（e^{iθ}＝cosθ＋i sinθ）

あわせて覚えたい用語

• 実数
• 平方根
• 判別式

よくある質問