実数とは？意味と有理数・無理数・虚数をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

実数とは？意味と有理数・無理数・虚数をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

実数とは

有理数と無理数をあわせた数で、数直線の上の点で表せる数のすべてです。整数・分数・小数・2\sqrt2・π\pi はみな実数です。2乗すると負になる数（虚数）は実数ではありません。

読み方：じっすう／英語：real number／習う学年：数学Ⅰ（数と式）

うかるくん

うかるくん

実数って、「本当にある数」っていう意味ですか？ じゃあ 2\sqrt2 は？

合格先生

合格先生

2\sqrt2 も実数だよ。数直線の上に点として表せる数は、ぜんぶ実数なんだ。実数でないのは、2乗すると負になる虚数のほうだね。

この用語のポイント

  • 実数 ＝ 有理数 ＋ 無理数（数直線の上の点で表せる数）
  • 自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数
  • 実数は2乗すると 0 以上。2乗して負になるのは虚数

やさしく言うと

実数は、数直線の上に点として表せる数のすべてです。整数・分数・小数・2\sqrt2・π\pi など、中学までに出てくる数はみんな実数です。身近なものでいうと、こんなイメージです。

  • ものさし：ものさしの上のどの位置も、1つの数で表せます。目もりの間にも、ぎっしり数がつまっています。
  • 温度計：0℃より下の −5℃ もあります。温度計の目もりのように、マイナスの側にものびた数直線の全体が実数です。
  • 正方形の対角線：1辺 1m の正方形の対角線は 2\sqrt2 m で、分数では表せません。でも、長さとして実際にある数なので実数です。

実数は、有理数（分数で表せる数）と無理数（分数で表せない数）を合わせたものです。まとめると、「長さ・量・位置として数直線の上に表せる数」が実数です。

実数 有理数 1/2、−0.75、0.333… 整数 0、−1、−2、… 自然数 1、2、3、… 無理数 √2 π 1＋√3 分数で 表せない数
実数＝有理数＋無理数。有理数の中に整数、その中に自然数

実数の例と、実数ではない数

○ 実数

  • 5、0、−3（整数）
  • 23\dfrac23、−0.25、0.333…（有理数）
  • 2\sqrt2、−5-\sqrt5、π\pi（無理数）
  • 9\sqrt9（＝3。ルートがついていても整数）
  • 1+31+\sqrt3（無理数をふくむ式の値）
  • −π-\pi（負の無理数）

× 実数ではない数（虚数）

  • ii（2乗すると −1 になる数）
  • 2+3i2+3i（虚数をふくむ）
  • −4\sqrt{-4}（＝2i2i）
  • x2=−1x^2=-1 の解 ±i\pm i
  • −1+1\sqrt{-1}+1
  • 5i5i（純虚数）
分類例
実数有理数（整数）−2、0、7
有理数（整数でない）12\dfrac12、0.25、0.333…
無理数3\sqrt3、π\pi、1+21+\sqrt2

実数かどうかは、2乗して負になる数 ii がふくまれているかで見分けます。ルートの中が負の数（−4\sqrt{-4} など）なら実数ではありません。

図で見る：数直線と実数

実数は、数直線の上に1つずつ点として並べられます。反対に、数直線の上のどの点も1つの実数を表します。

−2−101234−2−1/20√22π 1.414… 3.141… 整数・分数・無理数、どれも数直線の上の1点 右にあるほど大きい：−2 ＜ −1/2 ＜ 0 ＜ √2 ＜ 2 ＜ π すきまなく並ぶ数の全体が「実数」
整数も分数も無理数も、数直線の上の1点で表せる

2\sqrt2 のような無理数も、数直線の上にきちんと場所があります。1辺 1 の正方形の対角線をコンパスで回すと、数直線の上の 2\sqrt2 の点にぴたりと重なります。

01 √2 （1.414…） √2 1 1 対角線の長さは 1² ＋ 1² ＝ 2 より √2 コンパスで回すと 数直線の上の1点
正方形の対角線をコンパスで写すと、√2 の位置がわかる
指さして説明するうかるくん

うかるくん

無理数も「長さ」として数直線の上にある。だから実数の仲間なんだ！

小数で見る実数の分類

実数を小数で書くと、3つのタイプに分かれます。

小数のタイプ例分類
有限小数（終わる）0.25=140.25=\dfrac14有理数
循環小数（くり返す）0.333⋯=130.333\cdots=\dfrac13有理数
循環しない無限小数2=1.41421356⋯\sqrt2=1.41421356\cdots、π=3.14159⋯\pi=3.14159\cdots無理数

どの実数も、この3つのどれかの小数で書けます。終わるか、くり返すなら有理数、どちらでもなければ無理数です。

実数の大事な性質

  • 大小が比べられる：どの2つの実数も、どちらが大きいか（または等しいか）が決まります。数直線で右にあるほうが大きい数です。
  • 四則計算ができる：実数どうしをたす・ひく・かける・（0 以外で）わると、答えもまた実数です。
  • 2乗すると 0 以上：どんな実数 aa でも a2≧0a^2\geqq0 です。だから x2=−1x^2=-1 となる実数 xx はありません。
xyO y＝−1 y＝x² どんな実数も 2乗すると 0以上 x²＝−1 となる 実数 x はない
y=x2y=x^2 のグラフは xx 軸より下に行かない。だから x2=−1x^2=-1 は実数の解をもたない

x2=−1x^2=-1 を解けるようにするため、高校では虚数 ii（i2=−1i^2=-1）を考え、数を複素数まで広げます。2次方程式で「実数解」というのは、解のうち実数であるもののことです。

サクラちゃん

サクラちゃん

虚数は大小が比べられないって本当ですか？

合格先生

合格先生

本当だよ。ii と 0 のどちらが大きいかは決められないんだ。「大小が比べられる」のは、数直線にのっている実数の大事な特ちょうなんだよ。

本を読み聞かせる合格先生

合格先生

実数は2乗すると必ず0以上になる。これがとても大事な性質だ。

テスト・入試ではこう出る

実数は数学Ⅰの「数と式」で習います。よく出るのは、いろいろな数を自然数・整数・有理数・無理数に分類する問題と、2次方程式が実数解をもつ条件を判別式で調べる問題です。「実数 xx について」「xx は実数とする」という条件は、高校数学の多くの問題に出てきます。

例題1（数の分類）

次の数を、自然数・整数・有理数・無理数に分けなさい。−3-3、00、23\dfrac23、9\sqrt9、5\sqrt5、π\pi、0.1212⋯0.1212\cdots（12 のくり返し）

  1. まず形を整える。9=3\sqrt9=3、0.1˙2˙=0.1212⋯0.\dot1\dot2=0.1212\cdots は循環小数なので分数（433\dfrac{4}{33}）で表せる。
  2. 自然数：9\sqrt9（＝3）
  3. 整数：−3-3、00、9\sqrt9
  4. 有理数：−3-3、00、23\dfrac23、9\sqrt9、0.1212⋯0.1212\cdots
  5. 無理数：5\sqrt5、π\pi

7つともすべて実数です。ルートがついていても、9\sqrt9 のように整数になるものは有理数です。

例題2（実数解をもつ条件）

2次方程式 x2+4x+k=0x^2+4x+k=0 が実数解をもつような定数 kk の値の範囲を求めなさい。

  1. 2次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 が実数解をもつのは、判別式 D=b2−4ac≧0D=b^2-4ac\geqq0 のとき。
  2. x2+4x+k=0x^2+4x+k=0 では D=42−4×1×k=16−4kD=4^2-4\times1\times k=16-4k。
  3. 16−4k≧016-4k\geqq0 より k≦4k\leqq4。

答え　k≦4k\leqq4（k=4k=4 のときは (x+2)2=0(x+2)^2=0 で、実数解は x=−2x=-2 の1つ＝重解）

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

2\sqrt2 や π\pi も実数！ 実数でないのは ii をふくむ虚数だよ。

  • ふくむ・ふくまれるを逆にする：自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数 です。「実数は整数の一部」ではありません。
  • 実数解の個数で虚数解を数える：x2+1=0x^2+1=0 の解は x=±ix=\pm i で、実数解は 0 個です。2次方程式の実数解の個数は、判別式 DD の符号で決まります（D>0D>0 で2個、D=0D=0 で1個、D<0D<0 で0個）。
  • 無理数は実数ではないと思う：2\sqrt2 や π\pi も数直線の上にあるので実数です。実数でないのは、ii をふくむ虚数です。
  • ルートがあれば無理数と決めつける：9=3\sqrt9=3、14=12\sqrt{\dfrac14}=\dfrac12 は有理数です。計算した値で判断します。
  • 「実数解をもつ」で D>0D>0 にする：重解（解が1つ）も実数解なので、条件は D≧0D\geqq0 です。等号を忘れないようにしましょう。

ことばの由来

英語では real number（リアル ナンバー）で、real は「現実の・実在の」という意味です。これを訳したのが「実数」です。反対に、虚数は imaginary number（想像上の数）です。「実」と「虚」が対になったことばで、どちらも数直線の上にあるかどうかで分けています。

ミニ問題

問題1　16\sqrt{16} は、自然数・整数・有理数・無理数のどれにあてはまりますか。あてはまるものをすべて答えましょう。

答えと解き方を見る

16=4\sqrt{16}=4 なので、自然数・整数・有理数のすべてにあてはまります（もちろん実数です）。無理数ではありません。ルートがついているかどうかではなく、計算した値で判断します。

問題2　0.101001000100001⋯0.101001000100001\cdots（1 と 1 の間の 0 が 1 個ずつ増えていく小数）は、有理数と無理数のどちらですか。

答えと解き方を見る

無理数です。規則はありますが、同じ並びをくり返す（循環する）わけではありません。終わらずに循環もしない小数は、分数で表せないので無理数です。数直線の上の1点なので、実数ではあります。

問題3　3つの実数 5\sqrt5、2.22.2、94\dfrac94 を小さい順に並べましょう。

答えと解き方を見る

2.2<5<942.2<\sqrt5<\dfrac94 です。どれも正の数なので、2乗して比べられます。2.22=4.842.2^2=4.84、(5)2=5(\sqrt5)^2=5、(94)2=8116=5.0625\left(\dfrac94\right)^2=\dfrac{81}{16}=5.0625。小数で見ても 5=2.236⋯\sqrt5=2.236\cdots、94=2.25\dfrac94=2.25 です。実数はいつでも大小を比べられます。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

実数とは簡単にいうと何ですか？

数直線の上に点として表せる数のすべてです。有理数（分数で表せる数）と無理数（分数で表せない数）を合わせたものです。

0は実数ですか？

実数です。0は整数で、有理数でもあり、数直線の上の原点に表せます。

ルート2やπは実数ですか？

実数です。分数で表せない無理数ですが、数直線の上に点として表せるので実数にふくまれます。

実数でない数はありますか？

あります。2乗すると負になる数（i や 2＋3i などの虚数）は実数ではありません。実数と虚数を合わせたものを複素数といいます。

実数解とは何ですか？

方程式の解のうち、実数であるものです。2次方程式では、判別式Dが0以上のとき実数解をもちます。

実数は高校の何で習いますか？

数学Ⅰの「数と式」で、有理数・無理数をまとめた実数として習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（数と式）・数学Ⅱ（複素数と2次方程式）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦