無理数とは？意味と例・有理数とのちがいをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

円周率って 3.14 ですよね？ じゃあ有理数じゃないんですか？

合格先生

3.14 は近い値にすぎないんだ。本当の $\pi$ は 3.14159265… とくり返さずに続く無理数。だから分数では表せないよ。

やさしく言うと

無理数は、分数で表せない数です。小数で書くと、くり返さずに、どこまでも続きます。代表は $\sqrt2=1.41421356\cdots$ と、円周率 $\pi=3.14159265\cdots$ です。

無理数は、ふだんの生活の中にもかくれています。

• 正方形の対角線：1 辺 1 m の正方形の対角線の長さは $\sqrt2$ m（約 1.414 m）です。たしかに長さはあるのに、分数ではぴったり表せません。
• コピー用紙：A4 や B5 などの紙は、短い辺と長い辺の比が $1:\sqrt2$ になるように決められています。半分に切っても、同じ形（相似）になるからです。
• タイヤが1回転して進む長さ：直径 50 cm のタイヤなら $50\pi$ cm（約 157 cm）です。$\pi$ が無理数なので、この長さも無理数です。

つまり無理数は、数直線の上にちゃんとあるのに、整数の比では表せない数です。

無理数の例と、無理数ではない数

$\sqrt{n}$（$n$ は自然数）は、$n$ が $1, 4, 9, 16, \dots$ のような平方数でなければ無理数です。見た目に $\sqrt{\ }$ がついているかではなく、計算したあとに分数で表せるかで決まります。

図で見る

数は大きく有理数と無理数に分かれ、2 つを合わせて実数といいます。

無理数も、数直線の上にきちんと場所があります。$\sqrt2$ は 1 と 2 の間、$\pi$ は 3 と 4 の間です。

$\sqrt2$ の場所は、「2 乗して 2 より小さいか大きいか」で、どんどんしぼりこめます。

うかるくん

しぼりこみを続けたら、いつかぴったり終わるんじゃないですか？

合格先生

もし有限小数で終わったら、分数で書けてしまうよね。$\sqrt2$ は分数で書けないことが証明されているから、どこまで続けても終わらないし、くり返しにもならないんだ。

√2 が無理数であることの証明

「分数で表せない」ことは、背理法で証明します。高校の数学Ⅰで学ぶ、有名な証明です。

1. $\sqrt2$ が有理数だと仮定し、$\sqrt2=\dfrac{m}{n}$（$m$, $n$ は自然数で、これ以上約分できない分数）とおきます。
2. 2乗すると $m^2=2n^2$ です。右辺が偶数なので $m^2$ は偶数、だから $m$ も偶数です。$m=2k$ とおきます。
3. $4k^2=2n^2$ より $n^2=2k^2$ です。同じ理由で $n$ も偶数です。
4. $m$ も $n$ も偶数なら 2 で約分できます。「これ以上約分できない」ことと矛盾します。よって $\sqrt2$ は無理数です。

うかるくん

「分数にできる」と仮定して矛盾を出す。だから背理法を使うんだ！

無理数の計算の性質

無理数の大小は、2 乗してくらべるのが基本です。たとえば 3 と $\sqrt{10}$ では、$3^2=9$、$(\sqrt{10})^2=10$ なので $3<\sqrt{10}$ です（どちらも正の数のときに使える方法です）。

無理数は、計算では近い値（近似値）を使うことがあります。$\sqrt2\fallingdotseq1.414$、$\sqrt3\fallingdotseq1.732$、$\pi\fallingdotseq3.14$ は覚えておくと便利です。ただし、答えは $\sqrt{\ }$ や $\pi$ のまま書くのが基本です。

うかるくん

無理数どうしをたしても、無理数になるとは限らないんだ…。

テスト・入試ではこう出る

無理数は中学 3 年の「平方根」で習います。高校入試では、無理数を選ぶ問題、大小をくらべる問題、整数部分・小数部分の問題がよく出ます。高校の数学Ⅰでは、$\sqrt2$ が無理数であることの証明や、それを使って「$1+\sqrt2$ は無理数」などを示す問題が出ます。

まちがえやすい点

合格先生

「$\pi=3.14$」「$\sqrt{\ }$ がつけば無理数」はどちらも×！ 分数で表せるかどうかで判断しよう。

• $\pi=3.14$ だと思う：3.14 や $\dfrac{22}{7}$ は $\pi$ に近い値（近似値）で、どちらも有理数です。$\pi$ そのものは無理数です。
• 終わらない小数はみんな無理数だと思う：0.333… のようにくり返す小数は $\dfrac13$ で有理数です。無理数は「くり返さずに」続く小数です。
• 規則があれば有理数だと思う：0.1010010001… は「0 が 1 個ずつふえる」という規則がありますが、同じ並びのくり返しではないので無理数です。
• 無理数どうしの計算の答えも無理数だと思う：$\sqrt2\times\sqrt2=2$、$\sqrt2+(-\sqrt2)=0$ のように、有理数になることがあります。
• $\sqrt{\ }$ がつけば無理数だと思う：$\sqrt9=3$、$\sqrt{0.25}=0.5$ は有理数です。中が平方数かどうかを確かめましょう。

ことばの由来

「無理」は「むちゃくちゃ」という意味ではありません。英語では irrational number といい、ratio（比）が入っています。「整数の比（分数）で表せない数」という意味です。反対に、整数の比で表せる有理数は rational number といいます。

日本語の「有理数」「無理数」は、この英語の言葉に合わせた訳語です。「理」を「比」と読みかえると、意味がつかみやすくなります。

ミニ問題

合格先生

無理数かどうかは「分数で表せるか」。見た目のルートにまどわされないように！

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 有理数・無理数と循環小数
• 平方根の計算
• 平方根の大小と整数部分・小数部分
• 自然対数の底 e の定義（lim(1＋1/n)ⁿ）

あわせて覚えたい用語

• 有理数
• 平方根
• 背理法

よくある質問