ピタゴラスは何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜三平方の定理・万物は数・無理数

ピタゴラスは何をした人？（業績をひとことで）

ピタゴラス（前570年ごろ〜前495年ごろ）は、古代ギリシャの数学者・哲学者です。「万物は数である」と考えるピタゴラス教団（ピタゴラス学派）をひらき、数と図形、そして音楽の関係を調べました。名前は、中学3年で習う三平方の定理（ピタゴラスの定理）として、世界中の中学生に知られています。

ただし、ピタゴラス本人が書いた本は1冊も残っていません。「ピタゴラスが何を発見したのか」は、のちの時代の人たちが書いた伝記や、弟子たちの考えをもとにした話がほとんどです。そのため、このページでは確かな事実と、「〜と伝えられます」「諸説あります」の話をはっきり分けて書きます。

受験生にとってのピタゴラスは、なんといっても三平方の定理（a²＋b²＝c²）の証明と例題です。直角三角形の辺の長さを求める問題、座標の2点間の距離、立方体の対角線の長さ、空間での三平方の定理など、高校入試から大学入試まで何度も使います。用語としては三平方の定理とは（意味と使い方）を先に読んでおくと、問題文の意味がつかめます。

ピタゴラスの生涯と年表

サモス島に生まれた

ピタゴラスは、エーゲ海の東にあるサモス島で、前570年ごろに生まれたとされます。父は宝石に彫刻をする職人、あるいは商人だったと伝えられますが、はっきりしません。若いころにエジプトやバビロニアなど各地をめぐって学んだという話もありますが、これはずっとのちの時代の伝記に書かれたもので、確かめられません。

南イタリアのクロトンで教団をひらく

前530年ごろ、ピタゴラスはサモス島を去り、南イタリアのギリシャ人の町クロトンに移ったと伝えられます。そこで弟子たちを集めて、勉強と共同生活をするピタゴラス教団をひらきました。男女ともに入れたといわれ、教団には、数学や音楽を学ぶ人たちと、教えを守って生活を整える人たちがいたと説明されます。

教団は、魂は生まれかわる（輪廻）と考え、特別な食べ物のきまりを守ったという話もあります。「豆を食べてはいけない」というきまりは有名ですが、理由には諸説あります。教団の教えは秘密にされ、発見はすべて「師匠ピタゴラスのもの」として発表されたため、どの発見が本人でどれが弟子なのか区別がつかないのです。

教団の最期とピタゴラスの死

教団は政治にもかかわるようになり、やがて反対する人々に攻撃されたと伝えられます。建物が焼かれ、ピタゴラスは近くの町メタポンティオンに逃れ、前495年ごろにそこで亡くなったとされます。ただし、亡くなった年や場所、その事情はいくつもの説があり、はっきりしません。教団の弟子たちは、ピタゴラスの死後もギリシャ各地で活動を続けました。

ピタゴラスの主な業績をやさしく解説

ピタゴラスの名前がつく公式・定理・用語

ピタゴラスの名前がついた用語はたくさんあります。受験で出会うものを中心にまとめました。

• 三平方の定理（ピタゴラスの定理）：$a^2+b^2=c^2$。→ 三平方の定理の公式・証明・入試問題。中学3年で習います。
• 空間での三平方の定理：直方体の対角線の長さ $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。→ 直方体の対角線と空間の三平方の定理
• ピタゴラス数：$a^2+b^2=c^2$ を満たす整数の組。(3, 4, 5)、(5, 12, 13)など。入試では「辺が整数の直角三角形」としてよく出ます。
• ピタゴラス音律：3：2の比（5度）を重ねて音階をつくる方法。
• 三角比のピタゴラスの関係：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。半径1の円の上の点に三平方の定理を使うと出てきます。→ 三角比とは（sin・cos・tan）
• ピタゴラスの定理の逆：3辺が $a^2+b^2=c^2$ を満たせば、その三角形は直角三角形です。
• ピタゴラス学派：ピタゴラス教団の弟子たち。「三角数」「完全数」「友愛数」「無理数」の研究が結びつきます。

ピタゴラスの逸話と名言

「万物は数である」

ピタゴラスの言葉として最も有名なのが、次のものです。

万物は数である。

数の比が音の美しさを決めることから、星の動きも宇宙もすべて数でできていると考えた、と説明されます。この考えは、「自然の法則を数式で表す」現代の科学の出発点とよく言われます。

「ピタゴラスの食事」と豆

教団の人は、豆（ソラマメ）を食べてはいけないと伝えられます。理由は、豆が人間の魂に似ているから、風をおこすから、豆で投票していたから、など、昔の人もいろいろな説を書き残していて、本当のところは分かりません。肉を食べなかったとする話もありますが、教団全体がそうだったかは諸説あります。

地球は丸い？明けの明星と宵の明星は同じ星？

「地球が球形だと最初に考えたのはピタゴラス」「朝に見える金星と夕方に見える金星が同じ星だと見ぬいた」と伝えられます。どちらも、のちの時代の人が書いた話で、ピタゴラス本人の発見かどうかは、確かではありません。それでも、宇宙は数のきまりにしたがって動くという考えは、ギリシャの天文学の土台になりました。

ピタゴラスの魂は生まれかわる？

ピタゴラスは、自分の前世をおぼえていると語ったという話も、伝記にあります。犬がたたかれているのを見て「その声は友人の魂の声だ」と止めた、という笑い話も書かれていますが、これも逸話です。数学者でありながら宗教の教祖でもあるという、ふしぎな人物像が、後世の人の関心を集めてきました。

受験・勉強とピタゴラスのつながり

中学受験：3：4：5 と面積の問題

中学受験では、三平方の定理そのものは習いませんが、3：4：5（直角三角形）や5：12：13の辺の比は、覚えておくと便利です。図形の問題で「この三角形は直角三角形だから、辺の比が3：4：5」といった形で、ヒントとして出ることがあります。三角定規の辺の比（1：1：√2 と 1：2：√3）は、「どんな形か」を問う問題で見かけます。

高校受験：三平方の定理の標準問題

高校入試では、直角三角形の辺の長さ、正三角形の高さと面積、円の弦の長さ、座標平面での2点間の距離、直方体の対角線、円錐の高さなど、三平方の定理の利用問題が必ず出ると言ってよいほどです。正三角形で一辺が $a$ のとき、高さは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$、面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ です。三平方の定理の入試問題と解き方を何度も練習しましょう。

大学受験：距離・内積・三角関数

大学入試では、座標やベクトルでの距離（$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$）、空間図形、三角関数の相互関係 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$、余弦定理（三平方の定理を一般にした公式）などに、形を変えて出てきます。難関大の整数問題では、ピタゴラス数の媒介変数表示 $(m^2-n^2,\ 2mn,\ m^2+n^2)$ を使う問題もあります。京大理系数学の出題分析（整数問題の出方）で、整数問題の出方を確かめられます。

勉強法として：定理を「理由まで」覚える

ピタゴラスの学派が大切にしたのは、「なぜそうなるのか」を考えることでした。公式を暗記するだけでなく、図をかいて、理由を自分の言葉で説明できるようにすると、応用問題に強くなります。数学全体の勉強の進め方は、数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。

ピタゴラスがその後の数学にあたえた影響

• 証明の数学：「理由を示して納得させる」という数学の進め方は、ギリシャで発展し、ユークリッドの『原論』と公理による証明へ完成しました。
• プラトンの哲学：ピタゴラス学派の考えは、プラトンの「イデア」の哲学や、5つの正多面体（プラトンの立体）の研究に影響をあたえたといわれます。
• 無理数と実数の理論：√2 の発見は、ユークリッドの無理数論を経て、近代のデデキントの実数論につながる長い歴史のはじまりでした。
• 音楽と数学：音階を数の比で説明する考えは、ケプラーの惑星の調和にも引きつがれたといわれます。
• 三平方の定理の広がり：距離を決める式として、デカルトの座標、オイラーの公式、アインシュタインの相対性理論の時空の距離にまで、形をかえて登場します。
• フェルマーの最終定理：ピタゴラス数 $a^2+b^2=c^2$ の指数を広げた問題が、フェルマーの最終定理です。

現代の数学者のあいだでは、ピタゴラス教団を、数学と宗教と哲学が分かれる前の、ふしぎな学校だったと考える人もいます。教団が実際にどんなことをしていたのかは、資料が少なく、今も研究が続いています。

ピタゴラスに挑戦！練習問題

ピタゴラスと関係する数学者

• タレス（ピタゴラスより少し前のギリシャの数学者）：「証明する数学」の始まりの人とされ、ピタゴラスの先生という伝承もあります。
• ユークリッド（『原論』で三平方の定理を証明）：ピタゴラス学派の成果を、公理から順にならべて大きな体系にまとめました。
• アルキメデス（円周率と球の体積）：ギリシャ数学を代表する天才。ピタゴラスの定理を使って円周率を計算しました。
• エラトステネス（素数のふるい）：ピタゴラス以来の「数の性質」を受けついだ人。
• フェルマー（フェルマーの最終定理）：ピタゴラス数 $a^2+b^2=c^2$ を $n$ 乗に広げた問題を残しました。
• デカルト（座標の発明者）：座標平面上の距離は、三平方の定理そのものです。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、ギリシャ文字（π・θ・α・β）の読み方はギリシャ文字の読み方一覧（24文字）もどうぞ。

古代の数学者

• タレスの業績と生涯
  「半円に対する円周角は直角」（タレスの定理）。証明を数学に持ちこんだ最初の人とされる
• ユークリッドの業績と生涯
  『原論』で幾何学を体系にまとめた。ユークリッドの互除法・素数が無限にあることの証明
• アルキメデスの業績と生涯
  円周率を3.14まで求め、球の体積と表面積を発見。てこ・浮力の原理
• エラトステネスの業績と生涯
  素数を見つける「エラトステネスのふるい」。地球の大きさを測った
• アポロニウス（前262ごろ〜前190ごろ）
  『円錐曲線論』。楕円・放物線・双曲線の名前をつけた
• ヘロンの業績と生涯
  3辺の長さから三角形の面積を出す「ヘロンの公式」
• プトレマイオス（100ごろ〜170ごろ）
  『アルマゲスト』。円に内接する四角形の「トレミーの定理」
• ディオファントス（200ごろ?〜284ごろ?）
  『算術』。整数の解を求める方程式（ディオファントス方程式）。「代数の父」
• 劉徽（220ごろ?〜280ごろ?）
  『九章算術』の注釈。正多角形で円周率を3.14まで求めた
• パップス（290ごろ〜350ごろ）
  中線定理・パップス＝ギュルダンの定理。ギリシャ数学をまとめた
• ヒュパティアの業績と生涯
  記録に残る最初期の女性数学者。円錐曲線論などを注釈して教えた
• 祖沖之の業績と生涯
  円周率を3.1415926〜3.1415927の間と求め、355/113（密率）を示した

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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