合格大作戦 数学用語辞典 › 図形
大学受験
三角比とは
直角三角形の角 θ \theta θ です。sin θ = 対辺 斜辺 \sin\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} sin θ = 斜辺 対辺 cos θ = 隣辺 斜辺 \cos\theta=\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} cos θ = 斜辺 隣辺 tan θ = 対辺 隣辺 \tan\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} tan θ = 隣辺 対辺
読み方：さんかくひ／英語：trigonometric ratio／習う学年：数学Ⅰ（図形と計量）
うかるくん
sin と cos、どっちがどっちか、すぐ分からなくなるんです…
合格先生
半径1の円で考えると楽だよ。cos が x x x y y y 。直角三角形なら、sin は「対辺÷斜辺」だね。
この用語のポイント
sin θ = 対辺 斜辺 \sin\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} sin θ = 斜辺 対辺 cos θ = 隣辺 斜辺 \cos\theta=\dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} cos θ = 斜辺 隣辺 tan θ = 対辺 隣辺 \tan\theta=\dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} tan θ = 隣辺 対辺 相似 なので、三角形の大きさに関係なく角だけで比が決まる 円を使って 0°〜180° に広げる。鈍角では cos・tan が負 このページの内容
やさしく言うと なぜ角だけで比が決まるの？ 三角比の例 90°より大きい角（円で考える） 三角比どうしの関係 テスト・入試ではこう出る まちがえやすい点 ことばの由来 ミニ問題 関連する公式・用語 よくある質問 やさしく言うと 三角比は、直角三角形の「角の大きさ」と「辺の長さの比」を結びつけるもの です。角が決まれば辺の比が決まり、辺の比が決まれば角が決まります。
坂道の標識 ：道路の「10%」という坂の標識は、横に 100m 進むと 10m 上がるという意味です。これは「高さ÷横」で、三角比の tan \tan tan 木の高さを測る ：木から何 m かはなれて、てっぺんを見上げる角度を測れば、のぼらなくても木の高さを計算できます（下の例題）。すべり台やスロープ ：角度が大きいほど、同じ長さでも高く上がります。どれだけ高くなるかを表すのが sin \sin sin 直角三角形で、注目する角 θ \theta θ 対辺 、いちばん長い辺（直角の向かい）を斜辺 、残りの θ \theta θ 隣辺 （底辺）とよぶと、3つの三角比は次のように決まります。
θ
A C B
斜辺
対辺
隣辺
sinθ ＝ 対辺 /斜辺
cosθ ＝ 隣辺 /斜辺
tanθ ＝ 対辺 /隣辺
角θから見た対辺・斜辺・隣辺と、sin・cos・tan sin \sin sin 正弦 、cos \cos cos 余弦 、tan \tan tan 正接 ともいいます。tan θ \tan\theta tan θ 坂の傾き そのものです。まとめると、三角比は「角度」を「長さの比」に置きかえる道具 です。
なぜ角だけで比が決まるの？ 理由は相似 です。直角と θ \theta θ 三角形の大きさに関係なく 、比は角だけで決まります。
30° 1 2 √3
30° 2 4 2√3
sin30° ＝ 1/2 ＝ 2/4
大きさがちがっても、角が同じなら辺の比は同じ
30°の直角三角形は、大きさがちがっても対辺÷斜辺＝1/2 うかるくん
相似だから、三角形の大きさが変わっても比は同じなんだ！
この値は、三角定規の形（辺の比が 1 : 2 : 3 1:2:\sqrt3 1 : 2 : 3 1 : 1 : 2 1:1:\sqrt2 1 : 1 : 2
三角比の例 ○ 正しい
sin 3 0 ∘ = 1 2 \sin30^\circ=\dfrac12 sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 6 0 ∘ = 1 2 \cos60^\circ=\dfrac12 cos 6 0 ∘ = 2 1 tan 4 5 ∘ = 1 \tan45^\circ=1 tan 4 5 ∘ = 1 sin 12 0 ∘ = 3 2 \sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2} sin 12 0 ∘ = 2 3 cos 18 0 ∘ = − 1 \cos180^\circ=-1 cos 18 0 ∘ = − 1 sin 9 0 ∘ = 1 \sin90^\circ=1 sin 9 0 ∘ = 1 cos 9 0 ∘ = 0 \cos90^\circ=0 cos 9 0 ∘ = 0 × まちがい・定義されない
sin 3 0 ∘ = 3 2 \sin30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2} sin 3 0 ∘ = 2 3 cos 12 0 ∘ = 1 2 \cos120^\circ=\dfrac12 cos 12 0 ∘ = 2 1 − 1 2 -\dfrac12 − 2 1 tan 9 0 ∘ \tan90^\circ tan 9 0 ∘ sin θ = 1.2 \sin\theta=1.2 sin θ = 1.2 − 1 -1 − 1 sin 2 θ = 2 sin θ \sin2\theta=2\sin\theta sin 2 θ = 2 sin θ 90°より大きい角（円で考える） 直角三角形の中の角は 90° 未満なので、それ以上の角には使えません。そこで数学Ⅰでは、原点を中心とする半径 r r r を使って 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘ 0^\circ\le\theta\le180^\circ 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘ x x x θ \theta θ P ( x , y ) \mathrm{P}(x,\ y) P ( x , y )
sin θ = y r , cos θ = x r , tan θ = y x \sin\theta=\frac{y}{r},\quad \cos\theta=\frac{x}{r},\quad \tan\theta=\frac{y}{x} sin θ = r y , cos θ = r x , tan θ = x y
と決めます。半径1の円なら、sin θ \sin\theta sin θ y y y cos θ \cos\theta cos θ x x x
x y O
1 −1
120°
P(−1/2, √3 /2)
√3 /2
−1/2
sin120° ＝ Pのy座標 ＝ √3 /2 cos120° ＝ Pのx座標 ＝ −1/2
半径1の円で見る120°。sin120°＝√3/2、cos120°＝−1/2 サクラちゃん
三角形がないのに、どうして sin120° が考えられるんですか？
合格先生
90° より小さい角では、円の点の座標が直角三角形の比とぴったり同じ になるよね。だから「座標で決める」という新しい決め方にしても、今までの値は変わらない。そのまま 120° にも広げられるんだ。
三角比どうしの関係 半径1の円の点 P( cos θ , sin θ ) (\cos\theta,\ \sin\theta) ( cos θ , sin θ )
1つの値がわかれば、ほかの2つが求められます。さらに数学Ⅱでは、角を180°より大きい角や負の角にも広げて三角関数 として学びます。公式は公式辞典の三角比・三角関数の基本 へ。
テスト・入試ではこう出る 三角比は高校の数学Ⅰ（図形と計量）で習います。よく出るのは、直角三角形の辺から三角比を求める 問題、見上げる角から高さを求める 問題、1つの値から残りの値を求める 問題、sin θ = 1 2 \sin\theta=\dfrac12 sin θ = 2 1 1 2 a b sin C \dfrac12ab\sin C 2 1 ab sin C
例題1（木の高さ）
木の根もとから 10m はなれた地点 A から、木のてっぺんを見上げる角が 3 0 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
A、木の根もと C、木のてっぺん B で、C が直角の直角三角形ができる。 角 A から見て、木の高さ BC は対辺 、AC = 10 =10 = 10 隣辺 なので、tan を使う：tan 3 0 ∘ = B C 10 \tan30^\circ=\dfrac{\mathrm{BC}}{10} tan 3 0 ∘ = 10 BC B C = 10 tan 3 0 ∘ = 10 × 1 3 = 10 3 3 \mathrm{BC}=10\tan30^\circ=10\times\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{10\sqrt3}{3} BC = 10 tan 3 0 ∘ = 10 × 3 1 = 3 10 3 3 ≒ 1.732 \sqrt3\fallingdotseq1.732 3 ≒ 1.732 10 × 1.732 3 ≒ 5.77 \dfrac{10\times1.732}{3}\fallingdotseq5.77 3 10 × 1.732 ≒ 5.77 答え 10 3 3 \dfrac{10\sqrt3}{3} 3 10 3
30°
A B
10m（隣辺）
高さ h（対辺）
tan30° ＝ h ÷ 10
h ＝ 10 × tan30° ＝ 10/√3
≒ 5.8m
見上げる角と、はなれた長さがわかれば、tan で高さが出る 例題2（相互関係）
θ \theta θ sin θ = 3 5 \sin\theta=\dfrac35 sin θ = 5 3 cos θ \cos\theta cos θ tan θ \tan\theta tan θ
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 cos 2 θ = 1 − ( 3 5 ) 2 = 1 − 9 25 = 16 25 \cos^2\theta=1-\left(\dfrac35\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25} cos 2 θ = 1 − ( 5 3 ) 2 = 1 − 25 9 = 25 16 θ \theta θ cos θ < 0 \cos\theta<0 cos θ < 0 cos θ = − 4 5 \cos\theta=-\dfrac45 cos θ = − 5 4 tan θ = sin θ cos θ = 3 5 ÷ ( − 4 5 ) = − 3 4 \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac35\div\left(-\dfrac45\right)=-\dfrac34 tan θ = cos θ sin θ = 5 3 ÷ ( − 5 4 ) = − 4 3 答え cos θ = − 4 5 \cos\theta=-\dfrac45 cos θ = − 5 4 tan θ = − 3 4 \tan\theta=-\dfrac34 tan θ = − 4 3
まちがえやすい点 合格先生
対辺・隣辺は注目する角から見て 決まる！ 角が変わると入れかわるよ。
どの角から見るかを取りちがえる ：対辺・隣辺は、注目する角 θ \theta θ 決まります。角が変わると、対辺と隣辺が入れかわります。鈍角の符号 ：9 0 ∘ < θ < 18 0 ∘ 90^\circ<\theta<180^\circ 9 0 ∘ < θ < 18 0 ∘ cos θ \cos\theta cos θ tan θ \tan\theta tan θ 負 になります（sin θ \sin\theta sin θ sin θ = 1 2 \sin\theta=\dfrac12 sin θ = 2 1 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘ 0^\circ\le\theta\le180^\circ 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘ sin 2 θ \sin^2\theta sin 2 θ sin θ 2 \sin\theta^2 sin θ 2 sin 2 θ \sin^2\theta sin 2 θ ( sin θ ) 2 (\sin\theta)^2 ( sin θ ) 2 tan 9 0 ∘ \tan90^\circ tan 9 0 ∘ θ = 9 0 ∘ \theta=90^\circ θ = 9 0 ∘ x = 0 x=0 x = 0 tan 9 0 ∘ \tan90^\circ tan 9 0 ∘ ことばの由来 sin は英語の sine（サイン）の略です。cos（コサイン）は「余角の sin 」という意味で、cos θ = sin ( 9 0 ∘ − θ ) \cos\theta=\sin(90^\circ-\theta) cos θ = sin ( 9 0 ∘ − θ ) 9 0 ∘ − θ 90^\circ-\theta 9 0 ∘ − θ
ミニ問題 問題1 ∠ C = 9 0 ∘ \angle\mathrm C=90^\circ ∠ C = 9 0 ∘ B C = 3 \mathrm{BC}=3 BC = 3 C A = 4 \mathrm{CA}=4 CA = 4 A B = 5 \mathrm{AB}=5 AB = 5 sin A \sin A sin A cos A \cos A cos A tan A \tan A tan A
答えと解き方を見る 角 A から見ると、対辺は BC = 3 =3 = 3 = 4 =4 = 4 = 5 =5 = 5 sin A = 3 5 \sin A=\dfrac35 sin A = 5 3 cos A = 4 5 \cos A=\dfrac45 cos A = 5 4 tan A = 3 4 \tan A=\dfrac34 tan A = 4 3 sin B = 4 5 \sin B=\dfrac45 sin B = 5 4
問題2 sin 15 0 ∘ \sin150^\circ sin 15 0 ∘ cos 13 5 ∘ \cos135^\circ cos 13 5 ∘
答えと解き方を見る sin ( 18 0 ∘ − θ ) = sin θ \sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta sin ( 18 0 ∘ − θ ) = sin θ cos ( 18 0 ∘ − θ ) = − cos θ \cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta cos ( 18 0 ∘ − θ ) = − cos θ sin 15 0 ∘ = sin 3 0 ∘ = \sin150^\circ=\sin30^\circ= sin 15 0 ∘ = sin 3 0 ∘ = 1 2 \dfrac12 2 1 cos 13 5 ∘ = − cos 4 5 ∘ = \cos135^\circ=-\cos45^\circ= cos 13 5 ∘ = − cos 4 5 ∘ = − 1 2 -\dfrac{1}{\sqrt2} − 2 1 − 2 2 -\dfrac{\sqrt2}{2} − 2 2 y y y x x x
問題3 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘ 0^\circ\le\theta\le180^\circ 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘ sin θ = 1 2 \sin\theta=\dfrac12 sin θ = 2 1 θ \theta θ
答えと解き方を見る θ = 3 0 ∘ , 15 0 ∘ \theta=30^\circ,\ 150^\circ θ = 3 0 ∘ , 15 0 ∘ y y y 1 2 \dfrac12 2 1
サクラちゃん
角から見て対辺・隣辺を決める。鈍角は円で考える。これで三角比はばっちり！
関連する公式・用語 公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問 三角比とは簡単にいうと何ですか？ 直角三角形の角と、辺の長さの比を結びつけたものです。sin、cos、tan の3つがあります。
sin・cos・tan の意味は？ sinθ は対辺÷斜辺、cosθ は隣辺÷斜辺、tanθ は対辺÷隣辺です。半径1の円では、sinθ が点の y座標、cosθ が x座標になります。
三角比と三角関数のちがいは？ 三角比は数学Ⅰで習い、角は0°から180°までです。三角関数は数学Ⅱで習い、角をそれ以外の大きさや負の角にも広げて、関数として考えます。
鈍角の三角比はどうなりますか？ 90°より大きく180°より小さい角では、sinは正、cosとtanは負になります。sin(180°−θ)＝sinθ、cos(180°−θ)＝−cosθ を使って求めます。
sin²θ＋cos²θ＝1 はなぜ成り立ちますか？ 半径1の円の上の点の座標が (cosθ, sinθ) なので、三平方の定理から x²＋y²＝1 となるからです。
三角比は何年生で習いますか？ 高校の数学Ⅰ（図形と計量）で習います。
出典・参考
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（図形と計量） 最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
