合格大作戦 数学用語辞典 › 図形
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相似とは
一方の図形を拡大または縮小すると、もう一方とぴったり重なる（合同になる）とき、2つの図形は相似であるといいます。形が同じで大きさだけがちがう関係で、記号「∽」で表します。
ハルちゃん
相似と合同って、どうちがうんですか？
合格先生
合同は形も大きさも同じ。相似は形だけ同じで、大きさはちがってもいいんだ。合同は「相似比が 1 : 1 の相似」ともいえるよ。
この用語のポイント
- 相似 ＝ 形が同じで大きさだけちがう。角は同じ、辺は同じ倍率
- 三角形の相似条件は3つ。よく使うのは2組の角がそれぞれ等しい
- 相似比 なら面積比 、体積比
やさしく言うと
相似は、形が同じで、大きさだけがちがうことです。角の大きさはそのままで、すべての辺の長さが同じ倍率で変わります。身のまわりには、相似がたくさんあります。
- コピー機の拡大・縮小：200% で拡大コピーすると、たても横も2倍になります。形はそのままで大きさだけが変わるので、もとの図と相似です。
- 地図：縮尺 の地図は、実際の土地を 25000 分の 1 に縮めた図です。地図の上の 1cm は、実際の 250m にあたります。
- 写真やスマホの画面：写真を指で広げて大きくしても、写っている人の形は変わりません。たてと横を同じ倍率で大きくしているからです。
相似の記号は「∽」です。△ABC∽△DEF と書き、対応する頂点を同じ順に並べます。対応する辺の比を相似比といいます。まとめると、相似は「拡大・縮小すると、ぴったり重なる関係」です。
相似な図形と、相似とは限らない図形
○ いつも相似
- どんな2つの円（半径が変わるだけ）
- どんな2つの正方形
- どんな2つの正三角形・正六角形
- 30°・60°・90° の直角三角形どうし
- 合同な2つの図形（相似比 1 : 1）
- どんな2つの球・立方体
× 相似とは限らない
- 2つの長方形（たて2・横1 と たて3・横1）
- 2つのひし形（角の大きさがちがえば別の形）
- 2つの二等辺三角形（頂角がちがえば別の形）
- 2つの直角三角形（ほかの角がちがえば別の形）
- 2つの平行四辺形
- 2つの円柱（太さと高さの割合がちがう）
左の図形は、形が1種類しかないので、大きさがちがっても必ず相似です。右の図形は、同じ名前でもいろいろな形があるので、相似とは限りません。
図で見る：相似の基本形
図形の問題で相似を見つけるときは、次の2つの形がとくによく出ます。どちらも平行線から相似が生まれます。
ピラミッド形は、三角形の中に底辺と平行な線を引いた形です。上の小さい三角形と全体の三角形が相似です。ちょうちょ形（砂時計形）は、平行な2本の線を×の形の線で結んだ形で、上下の2つの三角形が相似です。
まなぶくん
平行線があると、どうして相似になるの？
合格先生
平行線では同位角や錯角が等しいよね。だから2組の角が等しくなって、相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」にあてはまるんだ。ちょうちょ形の真ん中は対頂角で等しいよ。
三角形の相似条件
2つの三角形は、次のどれか1つが成り立てば相似です（中学3年で習います）。
| 相似条件 | 例 |
|---|---|
| 3組の辺の比がすべて等しい | 3 : 4 : 5 と 6 : 8 : 10 |
| 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい | 2辺が 2 : 3 と 4 : 6 で、その間の角が同じ |
| 2組の角がそれぞれ等しい | 40° と 60° をもつ三角形どうし |
証明でいちばんよく使うのは「2組の角がそれぞれ等しい」です。三角形の内角の和は180°なので、2つの角が等しければ残りの角も等しくなります。合同条件とくらべると、相似条件は「長さ」が「長さの比」に変わっています。
相似比と面積比・体積比
相似比が のとき、面積比は 、体積比は です。長さが2倍になると、面積はたて・横の両方が2倍で4倍、体積はさらに高さも2倍で8倍になります。
| 相似比 | 面積比 | 体積比 |
|---|---|---|
| 1 : 2 | 1 : 4 | 1 : 8 |
| 2 : 3 | 4 : 9 | 8 : 27 |
| 1 : 3 | 1 : 9 | 1 : 27 |
ハルちゃん
長さが2倍なら面積は4倍、体積は8倍。かける回数がふえていくんだね！
ハルちゃん
相似比が 1:2 なら、面積比は 1:4、体積比は 1:8 だよ！
相似で測る：影の長さ
相似を使うと、直接はかれない高さや距離を求められます。同じ時刻なら太陽の光は平行なので、棒とその影、木とその影でできる直角三角形は相似です。
このように「高さ：影の長さ」の比が同じになることを使えば、木や建物の高さを影から計算できます。
テスト・入試ではこう出る
相似は中学3年で「相似な図形」として習い、その入口は小学6年の「拡大図と縮図」です。中学受験の算数では、ピラミッド形・ちょうちょ形を使って長さや面積を求める問題、影の長さの問題がよく出ます。高校入試では、相似の証明と、相似比・面積比・体積比の計算がよく出ます。
例題1（ピラミッド形）
△ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE∥BC です。AD＝4cm、DB＝2cm、DE＝6cm のとき、BC の長さを求めなさい。
- DE∥BC なので、同位角が等しく、∠ADE＝∠ABC、∠AED＝∠ACB。2組の角がそれぞれ等しいので △ADE∽△ABC。
- 相似比は AD : AB ＝ 4 : (4＋2) ＝ 4 : 6 ＝ 2 : 3。
- DE : BC ＝ 2 : 3 なので、、。
答え BC ＝ 9cm
例題2（面積比）
相似比が 2 : 3 の2つの三角形があります。小さいほうの面積が のとき、大きいほうの面積を求めなさい。
- 相似比が なので、面積比は 。
- 小さいほうが なので、。
答え （ とするのは×）
まちがえやすい点
合格先生
相似比が 2 : 3 なら、面積比は 4 : 9！ 長さの比をそのまま面積に使わないでね。
- 面積比を相似比と同じにする：相似比 2 : 3 の面積比は 4 : 9、体積比は 8 : 27 です。2 : 3 のままにしないようにしましょう。
- 対応する頂点の順をまちがえる：△ABC∽△DEF と書いたら、AとD、BとE、CとFが対応します。順がずれると、辺の比もずれます。
- ピラミッド形で比をとる辺をまちがえる：例題1で DE : BC を AD : DB（＝2 : 1）としてしまうまちがいです。全体の辺 AB と比べて、AD : AB（＝2 : 3）を使います。
- 辺の比だけで判断する（四角形）：四角形は、辺の比が等しくても角がちがえば相似ではありません（正方形とひし形など）。三角形では3辺の比が等しければ相似です。
ことばの由来
「相似」の「相」は「たがいに」、「似」は「にる」という意味で、「たがいに似ている」図形ということです。英語では similar（似ている）といい、相似な図形は similar figures です。日常の「似ている」より意味がきびしく、数学では角がすべて等しく、辺の比がすべて等しいときだけ相似といいます。
ミニ問題
問題1 縮尺 の地図で 4cm の道のりは、実際には何 km ですか。
答えと解き方を見る
1km です。地図と実際の土地は相似で、相似比は 。実際の長さは （cm）（m）（km）です。単位の直しまちがいに注意しましょう。
問題2 長さ 1.2m の棒の影が 0.8m のとき、同じ時刻に影が 10m の建物の高さは何 m ですか。
答えと解き方を見る
15m です。太陽の光は平行なので、棒と影・建物と影でできる直角三角形は相似です。高さ：影 なので、建物の高さは （m）です。
問題3 頂点を下にした円すいの形の容器に、高さの半分まで水を入れました。水の体積は、容器いっぱいの体積の何分のいくつですか。
答えと解き方を見る
です。
- 水の部分も、頂点を下にした円すいで、容器と相似です。
- 高さが半分なので、相似比は 。
- 体積比は 。
「半分の高さだから半分」と考えがちですが、実際は しか入っていません。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
相似と合同のちがいは？
合同は形も大きさも同じ図形、相似は形が同じで大きさはちがってもよい図形です。合同な図形は、相似比が1対1の相似ともいえます。
相似の記号はどう書きますか？
∽ を使い、△ABC∽△DEF のように書きます。対応する頂点を同じ順番に並べるのが決まりです。
三角形の相似条件は？
3組の辺の比がすべて等しい、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい、2組の角がそれぞれ等しい、の3つです。
相似比と面積比の関係は？
相似比が a対b なら、面積比は a²対b²、体積比は a³対b³ です。相似比2対3なら面積比は4対9、体積比は8対27です。
いつも相似になる図形は？
円、正方形、正三角形などの正多角形、球、立方体は、大きさがちがってもいつも相似です。長方形やひし形は相似とは限りません。
相似は何年生で習いますか？
中学3年で「相似な図形」として習います。小学6年の「拡大図と縮図」がその入口です。
出典・参考
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 B 図形（図形の相似）
- 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第6学年（縮図や拡大図）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
