相似の中心と拡大図・縮図の解き方と公式｜相似の位置・拡大図のかき方・縮尺と面積比【中学受験〜高校受験】

中学受験高校受験

OA'=k\times OA

辺は平行で $k$ 倍、面積は $k\times k$ 倍

この公式のポイント

O からの長さをみんな $k$ 倍にする
対応する辺は平行で $k$ 倍、角は同じ
面積は $k\times k$ 倍
相似比は OA：OA'（AA' ではない）

ハルちゃん

拡大図をかくとき、点Oからどうやって長さを決めればいいの？

合格先生

Oから各頂点までの長さを、みんな同じ $k$ 倍にするんだ。すると辺は平行で $k$ 倍、角は同じ形になるぞ。

相似の中心と拡大図・縮図

1つの点 O から図形の各点までの長さを、みんな同じ倍率でのばしたり縮めたりすると、形が同じで大きさだけがちがう図形（拡大図・縮図）ができます。このとき、2つの図形は相似の位置にあるといい、点 O を相似の中心といいます。

相似の中心 O で k 倍

$OA'=k\times OA,\quad OB'=k\times OB,\quad OC'=k\times OC$

対応する辺は平行で、長さは $k$ 倍
角の大きさは変わらない
面積は $k\times k$ 倍（体積なら $k\times k\times k$ 倍）
O が2つの図形の間にあると、向きが逆になる

点 O を相似の中心にして、三角形 ABC を2倍に拡大した図。O から各頂点までの長さを2倍にする

拡大図のかき方（3ステップ）

点 O から、各頂点を通る直線を引く。
それぞれの直線の上に、O からの長さが $k$ 倍になる点をとる（2倍なら、O から A までと同じ長さをもう1つ先へ）。
とった点を、もとの図形と同じ順につなぐ。

なぜ同じ形になるのか（証明）

辺 AB と、拡大した辺 A'B' に注目します。三角形 OAB と三角形 OA'B' をくらべると、

$OA:OA'=1:k$ 、 $OB:OB'=1:k$ （どちらも $k$ 倍にのばした）
$\angle AOB=\angle A'OB'$ （同じ角）

なので、2組の辺の比とその間の角が等しく、△OAB∽△OA'B'（三角形の相似条件）。よって $A'B'=k\times AB$ です。さらに $\angle OAB=\angle OA'B'$ で、これは同位角なので AB∥A'B'。ほかの辺 BC、CA でも同じなので、すべての辺が $k$ 倍で平行、角は同じ大きさのまま。だから同じ形の図形になります。

∠O が共通で、はさむ2辺の比が 1：k なので △OAB∽△OA′B′。A′B′ は AB の k 倍で平行

小学生向けの言い方：O からのばす線は、ちょうど電灯の光のようなものです。電灯 O の光でできる影は、物の形をそのまま大きくした形になります。電灯の位置が相似の中心です。

面積が $k\times k$ 倍になる理由：縦も横も $k$ 倍になるからです。正方形の1辺を2倍にすると、もとの正方形が $2\times2=4$ 個入ります（相似な図形の面積比・体積比）。

相似の中心 O が2つの図形の間にあると、向きが逆の縮図・拡大図になる

中学受験（算数）での使い方

小学6年で習う「拡大図と縮図」「縮尺」の問題は、すべてこの考え方です。地図の縮尺 $\dfrac{1}{25000}$ は「実際の長さを $\dfrac{1}{25000}$ 倍に縮めた縮図」という意味です。

中学受験

例題1（縮尺）

縮尺

\dfrac{1}{25000}

の地図で 4cm の道のりは、実際には何 km ですか。

解き方

実際の長さは地図の 25000 倍。 $4\times25000=100000$ （cm）。 $100000$ cm＝ $1000$ m＝ $1$ km。

答え　1km

中学受験

例題2（相似の中心で3倍）

点 O を中心にして、三角形 ABC を3倍に拡大した三角形 A′B′C′ をかきました。OA＝2cm、AB＝3cm、三角形 ABC の面積が 4cm² のとき、OA′、A′B′ の長さと、三角形 A′B′C′ の面積を求めなさい。

解き方

O からの長さも、辺の長さも3倍： $OA^{\prime}=2\times3=6$ （cm）、 $A^{\prime}B^{\prime}=3\times3=9$ （cm）。

面積は $3\times3=9$ 倍： $4\times9=36$ （cm²）。

答え　OA′＝6cm、A′B′＝9cm、面積 36cm²

高校受験（中学数学）での使い方

中学3年の「図形の相似」で、相似の位置・相似の中心を習います。問題では OA と AA' の区別がポイントです。相似比は $OA:OA'$ で決まります。

高校受験

例題3（相似比と面積比）

点 O を相似の中心として、△ABC と △A′B′C′ が相似の位置にあります。A は線分 OA′ 上にあり、OA＝4cm、AA′＝6cm です。BC＝6cm のとき、B′C′ の長さと、△ABC と △A′B′C′ の面積比を求めなさい。

解き方

$OA^{\prime}=4+6=10$ （cm）なので、相似比は $OA:OA^{\prime}=4:10=2:5$ 。

$B^{\prime}C^{\prime}=6\times\dfrac{5}{2}=15$ （cm）。面積比は $2^2:5^2=4:25$ 。

答え　B′C′＝15cm、面積比 4：25

よくある間違い

合格先生

相似比を OA：AA′ にしてはだめだ。くらべるのは O からの長さどうし、OA：OA′ だぞ。

面積も $k$ 倍にする：辺が $k$ 倍なら、面積は $k\times k$ 倍。2倍の拡大図の面積は4倍です。
相似比を OA：AA' にする：相似比は O からの長さどうしの比 OA：OA'。のびた部分 AA' とくらべてはいけません。
O が間にあるときの向き：O をはさんで反対側にできる図形は、上下左右が逆になります。頂点の対応を取りちがえないように。

練習問題

ハルちゃん

面積は $k\times k$ 倍、ここを忘れないでね！

中学受験縮尺 $\dfrac{1}{50000}$ の地図で 3cm の道のりは、実際には何 km ですか。
答えと解説を見る
$3\times50000=150000$ （cm）＝ $1500$ m＝ $1.5$ km
中学受験点 O を中心に、面積 7cm² の四角形を2倍に拡大しました。拡大した四角形の面積は何 cm² ですか。
答えと解説を見る
面積は $2\times2=4$ 倍なので $7\times4=28$ （cm²）
高校受験相似の中心 O が △ABC と △A′B′C′ の間にあり、OA＝3cm、OA′＝6cm です。AB＝5cm のとき、A′B′ の長さを求めなさい。
答えと解説を見る
相似比は $OA:OA^{\prime}=3:6=1:2$ なので $A^{\prime}B^{\prime}=5\times2=10$ （cm）。向きは逆になります

よくある質問

相似の中心とは何ですか？

1つの点Oから図形の各点までの長さを、すべて同じ倍率でのばしたり縮めたりして拡大図・縮図をつくるときの、その点Oのことです。

拡大図はどうやってかきますか？

点Oから各頂点を通る直線を引き、Oからの長さがk倍になる点をとって、もとと同じ順につなぎます。

拡大図の辺がもとの辺と平行になるのはなぜですか？

三角形OABと三角形OA'B'が、2組の辺の比とその間の角が等しいので相似になり、同位角が等しくなるからです。

2倍の拡大図の面積は何倍ですか？

縦も横も2倍になるので、面積は2×2＝4倍です。