拡大図・縮図とは？意味とかき方・縮尺をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

2 倍の拡大図って、角度も 2 倍にするんだっけ？

合格先生

角度はそのままだよ。2 倍になるのは辺の長さだけ。角度まで変えたら、形が変わってしまうからね。

やさしく言うと

拡大図は、形を変えずに大きくした図、縮図は、形を変えずに小さくした図です。「同じ形で、大きさだけちがう」図のことです。

• 写真の引きのばし：スマホの写真を指で広げると、たても横も同じ倍率で大きくなります。顔の形は変わりません。これが拡大図です。
• 地図：地図は、実際の町を同じ割合で小さくした縮図です。どれだけ小さくしたかを表すのが縮尺です。
• プラモデル：「1/100 スケール」の模型は、本物のすべての長さを $\dfrac1{100}$ にしたものです。

ポイントは「どの辺も同じ倍率」で大きく（小さく）すること。たてだけ 2 倍、横はそのまま、では形が変わってしまうので、拡大図とはいいません。

拡大図・縮図では、次の 2 つが必ず成り立ちます。

• 対応する辺の長さの比は、どれも等しい（上の図ではどれも $1:2$）。
• 対応する角の大きさは、それぞれ等しい。

まとめると、拡大図・縮図は「辺は同じ倍率でのび縮みし、角はそのまま」の図です。

まなぶくん

長さは 2 倍になっても、角度は 2 倍にならない。ここが大事だね！

拡大図・縮図になっているもの・いないもの

「かけ算で同じ倍率にする」のが拡大図・縮図です。たし算で同じ長さをふやしても、拡大図にはなりません。

図で見る：拡大図のかき方

方眼を使う

方眼紙なら、ますの数を同じ倍率にするだけでかけます。ななめの辺も、たてと横のますの数がどちらも 2 倍になるので、ちゃんと 2 倍の長さになります。

1 つの点を中心にする

方眼がないときは、1 つの点 O を決めて、O から各頂点までの長さを 2 倍にしたところに新しい頂点をとります。頂点を結べば拡大図のできあがりです。$\dfrac12$ にすれば縮図になります。

ハルちゃん

点 O は、どこにとってもいいの？

合格先生

どこでもいいんだ。O の場所を変えると、できる図の位置は変わるけれど、形と大きさは同じになるよ。O を頂点の 1 つにとると、かくのが楽になるね。

縮尺の意味

地図や設計図で、実際の長さをどれだけ縮めたかを表す割合を縮尺といいます。表し方は 3 つあります。

1：25000 の地図で 1 cm は、実際は $25000$ cm＝$250$ m です。縮尺の計算でいちばん大事なのは単位の直し方です。100 cm＝1 m、1000 m＝1 km を使います。

影の長さと高さ

同じ時刻なら、太陽の光は同じ角度でさしこみます。だから、棒と影がつくる三角形と、木と影がつくる三角形は、拡大図・縮図の関係になります。木に登らなくても、影から高さがわかるのです。

同じ考え方で、地図の上の長さから実際の距離を求めたり、縮図をかいて川はばを求めたりできます。

長さが 2 倍なら、面積と体積は？

拡大図では長さが同じ倍率になりますが、面積や体積は同じ倍率にはなりません。1 辺 1 cm の正方形を 2 倍に拡大すると、1 辺 2 cm で面積は 4 cm²。小さい正方形が $2\times2=4$ 個入る大きさです。

面積はたてと横の 2 つ、体積はたて・横・高さの 3 つがそれぞれ同じ倍率になるので、その数だけかけ算します。中学 3 年の相似では「面積比は相似比の 2 乗、体積比は 3 乗」として学びます。

テスト・入試ではこう出る

拡大図・縮図は小学 6 年で習います。中学では「相似」という名前でくわしく学びます。よく出る形は次のとおりです。

• 対応する辺・角を見つけて、辺の長さや角の大きさを求める。
• 方眼や 1 つの点を使って、○倍の拡大図・○分の 1 の縮図をかく。
• 縮尺を使って、実際の長さ・地図上の長さを求める。

中学受験では、影の長さ、木や建物の高さ、相似な三角形を使った長さの問題がよく出ます。

ハルちゃん

縮尺の問題は、最後に cm を m や km に直すのを忘れないようにしよう！

まちがえやすい点

合格先生

2 倍の拡大図の面積は 2 倍じゃない！ たても横も 2 倍だから 4 倍だよ。

• 角度まで 2 倍にする：2 倍の拡大図で、$40^\circ$ の角を $80^\circ$ にするまちがいです。角の大きさは変わりません。変わるのは辺の長さだけです。
• 面積も 2 倍と思う：2 倍の拡大図の面積は、たても横も 2 倍なので $2\times2=$ 4 倍です。3 倍なら 9 倍です。
• 対応する辺をまちがえる：向きを変えた図や、うら返した図では、どの辺とどの辺が対応するか迷います。等しい角を先に見つけると、対応がわかります。
• 単位を直し忘れる：1：25000 の地図で 6 cm を「150000 km」とするまちがいです。$6\times25000$ の答えは cm です。m、km に順に直しましょう。

ことばの意味

「拡」は広げる、「縮」は縮めるという意味の漢字です。「拡大」は大きく広げること、「縮図」は縮めてかいた図のことです。中学では、拡大図・縮図の関係にある図形を「相似（そうじ）」といいます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 相似の中心と拡大図・縮図
• 相似な図形の面積比・体積比
• 影の長さ
• 相似の基本形

あわせて覚えたい用語

• 相似
• 比と比の値
• 割合・百分率

よくある質問