合同とは？意味と三角形の合同条件をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

合同とは？意味と三角形の合同条件をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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合同とは

2つの図形が形も大きさも同じで、ぴったり重なることです。ずらす・回す・裏返すで重なれば合同で、記号 ≡\equiv を使って △ABC≡△DEF\triangle\mathrm{ABC}\equiv\triangle\mathrm{DEF} と書きます。

読み方：ごうどう／英語：congruent／習う学年：小学5年（合同な図形）、中学2年（三角形の合同条件と証明）

まなぶくん

まなぶくん

3つの角が全部同じなら、合同ですよね？

合格先生

合格先生

それだと大きさがちがってもいいから、合同とはいえないんだ。それは相似の条件。合同には、少なくとも1つの辺が必要だよ。

この用語のポイント

  • 合同 ＝ 形も大きさも同じで、ぴったり重なる（裏返してもよい）
  • 三角形の合同条件は3辺／2辺と間の角／1辺と両端の角
  • 対応する頂点を同じ順に書く

やさしく言うと

合同は、形も大きさも同じで、ぴったり重なることです。ずらしたり、回したり、裏返したりして重なれば合同です。

  • クッキーの型：同じ型でぬいたクッキーは、お皿の上で向きがちがっても、重ねるとぴったり合います。合同です。
  • トランプのカード：同じトランプのカードは、どれも同じ形・同じ大きさです。何枚あっても、みんな合同です。
  • 右手と左手の手ぶくろ：右と左の手ぶくろは、片方を裏返すと重なります。裏返して重なるものも、算数・数学では合同とみます。
ABC DEF △ABC ≡ △DEF（回して動かすと重なる）
回して動かすと重なる2つの三角形は合同

合同な図形では、対応する辺の長さと対応する角の大きさがそれぞれ等しくなります。記号 ≡\equiv を使って △ABC≡△DEF\triangle\mathrm{ABC}\equiv\triangle\mathrm{DEF} と書き、対応する頂点を同じ順に並べます。まとめると、合同は「動かせばぴったり重なる」という関係です。

合同な図形・合同でない図形

○ 合同

  • 同じ型で作ったクッキー（向きがちがっても重なる）
  • 裏返すと重なる2枚の三角形
  • 1辺3cmの正方形2つ
  • 半径が同じ2つの円
  • 3辺が 3cm・4cm・5cm の三角形2つ（3辺が決まると形は1つ）
  • 平行四辺形を対角線で切った2つの三角形

× 合同ではない

  • 1辺3cmと1辺6cmの正方形（形は同じでも大きさがちがう → 相似）
  • 3つの角が等しい2つの三角形（大きさがちがうことがある）
  • 面積が同じ長方形（たて2cm・横6cm と たて3cm・横4cm）
  • まわりの長さが同じ三角形（形がちがうことがある）
  • コピー機で 120％ に拡大した図形（大きさがちがう）

合同かどうかは、「動かしてぴったり重なるか」だけで決まります。面積やまわりの長さが同じでも、形がちがえば合同ではありません。

図で見る

合同な図形を重ねるときの動かし方は、次の3つです。中学1年では、それぞれ平行移動・回転移動・対称移動とよびます。

→ずらす（平行移動） →回す（回転移動） →裏返す（対称移動） 黒い点がどこに動くかに注目
ずらす・回す・裏返す。どの動かし方で重なっても合同
ハルちゃん

ハルちゃん

裏返して重なるのも、合同でいいんですか？

合格先生

合格先生

いいんだよ。紙に書いた三角形を切りぬいて、裏返して重ねてごらん。ぴったり重なるよね。形と大きさが同じなら、向きや表・裏はかまわないんだ。

では、三角形が合同かどうかを調べるには、6つ（辺3つと角3つ）を全部くらべないといけないのでしょうか。実は、3つの辺の長さが決まれば、三角形は1つにきまります。

BCA 5cm 4cm 3cm B から 4cm と C から 3cm の交わる点が A 3辺が決まれば、だれがかいても同じ三角形になる
3辺の長さが決まると、三角形はただ1つにきまる

コンパスで「B から 4 cm」「C から 3 cm」の点をさがすと、辺 BC の上側では交わる点が1つしかありません。だから、3辺が等しい三角形どうしは合同です。これが次の「合同条件」の考え方です。

ひらめいたハルちゃん

ハルちゃん

3つの辺が決まったら、三角形の形も決まっちゃうんだね！

三角形の合同条件（中学2年）

2つの三角形は、次のどれか1つがいえれば合同です。全部の辺と角を調べなくてもよいのです。

合同条件例
① 3組の辺がそれぞれ等しいAB＝DE、BC＝EF、CA＝FD
② 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいAB＝DE、BC＝EF、∠B＝∠E
③ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいBC＝EF、∠B＝∠E、∠C＝∠F

直角三角形では、さらに「斜辺と1つの鋭角」「斜辺と他の1辺」がそれぞれ等しければ合同です。

30° B A C₁ C₂ 6 4 4 AB＝6、AC＝4、∠B＝30° でも2通り → 角が「2辺の間の角」でないと合同とはいえない
2辺と「間でない角」が等しくても、形は2通りある

小学5年では、合同な三角形を「3つの辺の長さ」「2つの辺の長さとその間の角」「1つの辺の長さとその両はしの角」を使ってかきます。これが、中学2年で習う3つの合同条件のもとになっています。

本を読むまなぶくん

まなぶくん

合同条件は3つ。どの辺とどの角が等しいか、しっかり確かめよう！

テスト・入試ではこう出る

小学5年では、合同な図形の対応する辺・角を答える問題や、合同な三角形をかく問題が出ます。中学2年では、合同条件を使った証明が中心です。高校入試でも、三角形の合同の証明はよく出ます。証明では「仮定」「共通な辺」「対頂角」「平行線の錯角」などから等しい辺・角を3つ見つけ、どの合同条件を使ったかをはっきり書きます。

例題1（対応する辺と角）

△ABC≡△DEF で、AB＝6 cm、∠A=50∘\angle\mathrm{A}=50^\circ、∠B=70∘\angle\mathrm{B}=70^\circ です。辺 DE の長さと ∠F\angle\mathrm{F} の大きさを求めなさい。

  1. 対応する頂点は、A と D、B と E、C と F（書いた順番どおり）。
  2. 辺 DE に対応するのは辺 AB なので、DE＝AB＝6 cm。
  3. ∠F\angle\mathrm{F} に対応するのは ∠C\angle\mathrm{C}。三角形の角の和は 180∘180^\circ なので、∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\angle\mathrm{C}=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ。だから ∠F=60∘\angle\mathrm{F}=60^\circ。

答え　DE＝6 cm、∠F=60∘\angle\mathrm{F}=60^\circ

例題2（合同の証明）

四角形 ABCD で、AB＝AD、BC＝DC です。対角線 AC をひくとき、∠B=∠D\angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{D} となることを証明しなさい。

△ABC と △ADC で、

  1. 仮定より AB＝AD
  2. 仮定より BC＝DC
  3. AC は共通

①②③より、3組の辺がそれぞれ等しいので、△ABC≡△ADC。合同な図形の対応する角は等しいので、∠B=∠D\angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{D} です。

ボードで説明するまなぶくん

まなぶくん

証明は「等しいものを3つ書く → 合同条件を書く → 結論」の順番だよ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「3つの角が等しい」は合同ではなく相似！ 「2辺と1角」も間の角でないとダメだよ。

  • 「3つの角が等しい」を合同条件にする：角だけでは大きさが決まりません。3つの角が等しいのは相似の条件です。
  • 「2辺と1つの角」で合同にする：その角が2辺の間の角でなければいけません。上の図のように、間でない角だと形が2通りになることがあります。
  • 対応する頂点の順をばらばらに書く：△ABC≡△DEF\triangle\mathrm{ABC}\equiv\triangle\mathrm{DEF} は、AとD、BとE、CとFが対応するという意味です。順番を変えると別の主張になります。
  • 「1辺と両端の角」を「1辺と2つの角」と覚える：辺の両はしの角でなくても、三角形の角の和は 180∘180^\circ なので残りの角は求まります。ただし証明では、両端の角がそろっていることを書いてから使いましょう。
  • 面積が同じなら合同と思う：たて2cm・横6cm の長方形と、たて3cm・横4cm の長方形は、どちらも面積 12 cm² ですが、重なりません。

なお、整数の「a≡b(modm)a\equiv b\pmod m」も「合同」とよびますが、これは割ったあまりが等しいという別の意味です。

ことばの由来

「合同」は、合わせると同じ（重ねるとぴったり同じ）という意味の言葉です。英語では congruent（コングルエント）といい、ラテン語の「一致する」という言葉から来ています。記号 ≡\equiv は、等号 == に1本線を足した形で、「ただ等しいだけでなく、形まで同じ」という気持ちが表れています。

ミニ問題

問題1　四角形 ABCD と四角形 EFGH は合同で、A と E、B と F、C と G、D と H が対応しています。AB＝4 cm、∠C=80∘\angle\mathrm{C}=80^\circ のとき、辺 EF の長さと ∠G\angle\mathrm{G} の大きさを答えましょう。

答えと解き方を見る

EF＝4 cm、∠G=80∘\angle\mathrm{G}=80^\circ です。合同な図形では、対応する辺の長さと対応する角の大きさが等しくなります。AB に対応するのは EF、∠C\angle\mathrm{C} に対応するのは ∠G\angle\mathrm{G} です。

問題2　△ABC と △DEF で、AB＝DE、BC＝EF、∠A=∠D\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D} です。この2つの三角形は、必ず合同といえますか。

答えと解き方を見る

いえません。等しい角 ∠A\angle\mathrm{A} は、辺 AB と BC の間の角ではないからです（AB と BC の間の角は ∠B\angle\mathrm{B}）。上の図のように、形が2通りできることがあります。

問題3　線分 AB と線分 CD が点 O で交わり、AO＝BO、CO＝DO です。△AOC と △BOD が合同であることを、合同条件を使って説明しましょう。

答えと解き方を見る

△AOC と △BOD で、

  1. 仮定より AO＝BO
  2. 仮定より CO＝DO
  3. 対頂角は等しいので ∠AOC=∠BOD\angle\mathrm{AOC}=\angle\mathrm{BOD}

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOC≡△BOD です。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

合同とはどういう意味ですか？

2つの図形の形も大きさも同じで、ずらしたり回したり裏返したりすると、ぴったり重なることです。

三角形の合同条件は？

3組の辺がそれぞれ等しい、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、の3つです。

合同と相似のちがいは？

合同は形も大きさも同じ、相似は形が同じで大きさはちがってもよい関係です。合同な図形は、相似比が1:1の相似ともいえます。

裏返して重なる図形も合同ですか？

はい、合同です。ずらす・回す・裏返すのどれで重なっても、形と大きさが同じなら合同といいます。

直角三角形の合同条件は？

ふつうの3つの合同条件に加えて、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい、の2つが使えます。

合同は何年生で習いますか？

小学5年で合同な図形を、中学2年で三角形の合同条件と証明を習います。

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第5学年（合同な図形）
  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第2学年（図形の合同）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦