外心・内心・重心とは？違いと性質をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

外心・内心・重心とは？違いと性質をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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外心・内心・重心とは

外心は3辺の垂直二等分線の交点（外接円の中心）、内心は3つの角の二等分線の交点（内接円の中心）、重心は3本の中線の交点で、中線を頂点の側から 2:12:1 に分ける点です。

読み方：がいしん・ないしん・じゅうしん／英語：circumcenter / incenter / centroid／習う学年：数学A（図形の性質）

うかるくん

うかるくん

外心と内心、どっちがどっちかすぐ忘れちゃいます…

合格先生

合格先生

名前のとおりだよ。外心は三角形の外を囲む円（外接円）の中心、内心は内側に入る円（内接円）の中心。円の中心から頂点までが等しいのが外心、辺までが等しいのが内心だね。

この用語のポイント

  • 外心 ＝ 垂直二等分線の交点 ＝ 外接円の中心（3頂点から等距離）
  • 内心 ＝ 角の二等分線の交点 ＝ 内接円の中心（3辺から等距離）
  • 重心 ＝ 中線の交点。中線を頂点の側から 2 : 1 に分ける

やさしく言うと

三角形には、特別な線を3本ずつ引くと必ず1点で交わる点があります。その代表が外心・内心・重心です。

  • 外心：3つの頂点から同じ距離の点。三角形の外側を囲む円（外接円）の中心。
  • 内心：3つの辺から同じ距離の点。三角形の内側にぴったり入る円（内接円）の中心。
  • 重心：三角形の板を指1本で支えられる点（つり合いの点）。

身近なたとえで考えてみましょう。

  • 3つの家の井戸：3けんの家から同じ距離のところに井戸をほるなら、その場所は外心です。
  • 三角形の土地の丸い池：三角形の土地に、はみ出さずに入るいちばん大きな丸い池をつくるなら、池の中心は内心です。池のふちは3本の辺にふれます。
  • 厚紙の三角形：厚紙を三角形に切って、えんぴつの先1本でのせてつり合う場所が重心です。
O ABC 外心 O 垂直二等分線の交点 OA＝OB＝OC 青い円＝外接円
外心 O は、3辺の垂直二等分線の交点。外接円の中心

まとめると、外心は「頂点から等しい」、内心は「辺から等しい」、重心は「つり合う」点です。

3つの心のちがい（一覧）

何の交点か何の中心か大事な性質
外心3辺の垂直二等分線外接円3頂点から等しい距離（外接円の半径）
内心3つの角の二等分線内接円3辺から等しい距離（内接円の半径）
重心3本の中線（頂点と向かいの辺の中点を結ぶ線）－中線を頂点の側から 2 : 1 に分ける
ひらめいたうかるくん

うかるくん

外心は「外接円」、内心は「内接円」の中心。名前に答えが書いてあるんだ！

ハートを作るサクラちゃん

サクラちゃん

外心は垂直二等分線、内心は角の二等分線、重心は中線の交点よ。

図で見る

外心の図（上）、内心と重心の図（下）を見くらべてみましょう。引く線がちがうので、同じ三角形でも交わる点の場所がちがいます。

I ABC 内心 I 角の二等分線の交点 緑の円＝内接円 3辺から等しい距離
内心 I は、3つの角の二等分線の交点。内接円の中心
G 2 1 M（BCの中点） ABC 重心 G 中線の交点 AG : GM ＝ 2 : 1 頂点の側が 2
重心 G は、3本の中線の交点。中線を 2 : 1 に分ける

3本の線が本当に1点で交わるのはなぜでしょう。外心で考えます。辺 AB の垂直二等分線の上の点は、A と B から等しい距離にあります。辺 BC の垂直二等分線の上の点は、B と C から等しい距離にあります。2本の交点 O は、A・B・C の3つから等しい距離にあるので、辺 CA の垂直二等分線の上にもあります。だから3本は1点で交わります。内心も、「角の二等分線の上の点は、2辺から等しい距離にある」ことを使って同じように説明できます。

うかるくん

うかるくん

重心が 2 : 1 に分けるのは、どうしてですか？

合格先生

合格先生

2本の中線の足どうしをむすぶと、中点連結定理でもとの辺と平行で長さが半分の線ができる。そこにできる2つの三角形は相似で、相似比が 2 : 1 だから、重心も中線を 2 : 1 に分けるんだよ。

三角形の内部にあるか

○ 必ず三角形の内部にある

  • 内心（どんな三角形でも内部）
  • 重心（どんな三角形でも内部）
  • 鋭角三角形の外心（3つの角がすべて 90∘90^\circ より小さい）
  • 正三角形の外心（外心・内心・重心が同じ点になる）
  • 二等辺三角形の内心・重心（頂角の二等分線の上にならぶ）

× 内部にあるとは限らない

  • 鈍角三角形の外心（三角形の外にある）
  • 直角三角形の外心（斜辺の中点。辺の上）
  • 鈍角三角形の垂心（三角形の外にある）
  • 直角三角形の垂心（直角の頂点そのもの）
  • 傍心（いつも三角形の外にある）
鈍角三角形 直角三角形 ABC ABC O O 外心は三角形の外 外心は斜辺の中点
鈍角三角形の外心は外に、直角三角形の外心は斜辺の中点にある

直角三角形では、直角を見こむ辺（斜辺）が外接円の直径になります。これは「直径に対する円周角は 90∘90^\circ」の言いかえです。正三角形では、外心・内心・重心が同じ点になります。

三角形の五心

外心・内心・重心に、垂心（3つの頂点から向かいの辺に下ろした垂線の交点）と傍心（1つの内角の二等分線と、ほかの2つの外角の二等分線の交点。1つの三角形に3つある）を加えて、三角形の五心とよびます。外心・重心・垂心は1本の直線（オイラー線）の上にならび、重心は外心と垂心をむすぶ線分を 1:21:2 に分けます（正三角形では3点が重なります）。

重心の座標

3つの頂点が (x1, y1)(x_1,\,y_1)、(x2, y2)(x_2,\,y_2)、(x3, y3)(x_3,\,y_3) のとき、重心は (x1+x2+x33, y1+y2+y33)\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) です。たとえば (0, 0)(0,\,0)、(6, 0)(6,\,0)、(3, 9)(3,\,9) なら、重心は (3, 3)(3,\,3) です。3つの頂点の平均をとる、と覚えましょう。

テスト・入試ではこう出る

外心・内心・重心は、高校の数学A「図形の性質」で習います。定期テストや大学入試では、角度を求める問題（外心なら中心角と円周角、内心なら角の二等分）、外接円・内接円の半径、重心で中線の長さを分ける問題、数学Ⅱ・Bの座標やベクトルを使って重心を表す問題がよく出ます。中学では、外心・内心という名前は使わずに、垂直二等分線や角の二等分線の作図として出てきます。

例題1（外接円と内接円の半径）

3辺の長さが 3、4、5 の三角形について、外接円の半径と内接円の半径を求めなさい。

  1. 32+42=523^2+4^2=5^2 なので、斜辺 5 の直角三角形。
  2. 外心は斜辺の中点なので、外接円の半径は R=52R=\dfrac52。
  3. 面積は S=12×3×4=6S=\dfrac12\times3\times4=6。内心 I と3つの頂点をむすんで3つの三角形に分けると、S=12r(3+4+5)=6rS=\dfrac12r(3+4+5)=6r。
  4. 6r=66r=6 より r=1r=1。

答え　外接円の半径 52\dfrac52、内接円の半径 1

例題2（重心と中線）

三角形 ABC の辺 BC の中点を M、重心を G とします。中線 AM の長さが 12 のとき、AG と GM の長さを求めなさい。

  1. G は重心なので、中線 AM を頂点の側から 2:12:1 に分ける。
  2. AG=12×23=8\mathrm{AG}=12\times\dfrac23=8、GM=12×13=4\mathrm{GM}=12\times\dfrac13=4。

答え　AG＝8、GM＝4

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

重心は中線を頂点の側から 2 : 1。それと、鈍角三角形の外心は三角形の外にあるよ！

  • 外心と内心を取りちがえる：外心は「外接円の中心＝垂直二等分線」、内心は「内接円の中心＝角の二等分線」です。
  • 外心はいつも内部にあると思う：鈍角三角形では外心は三角形の外に出ます。図をかくときに注意しましょう。
  • 重心の 2 : 1 を逆にする：頂点の側が 2、辺の中点の側が 1 です。
  • 重心を「角の二等分線の交点」と思う：重心は中線（頂点と向かいの辺の中点をむすぶ線）の交点です。角の二等分線は、ふつう向かいの辺の中点を通りません（通るのは二等辺三角形の頂角などのときだけ）。
  • 内心を「3つの頂点から等しい点」と思う：内心から等しいのは辺までの距離です。頂点までの距離が等しいのは外心です。

ことばの由来・歴史

「外心」は外接円の中心、「内心」は内接円の中心を短くした言葉です。「重心」は物理の言葉で、重さの中心（つり合いの点）という意味です。英語では外心を circumcenter（まわりを囲む円の中心）、内心を incenter（内側の円の中心）、重心を centroid（中心のような点）や center of gravity（重さの中心）といいます。

ミニ問題

問題1　3 点 (1, 2)(1,\,2)、(5, −1)(5,\,-1)、(3, 8)(3,\,8) を頂点とする三角形の重心の座標を求めましょう。

答えと解き方を見る

(3, 3)(3,\,3) です。xx 座標は 1+5+33=3\dfrac{1+5+3}{3}=3、yy 座標は 2+(−1)+83=3\dfrac{2+(-1)+8}{3}=3。3つの頂点の座標をたして 3 で割るだけです。

問題2　鋭角三角形 ABC の外心を O とします。∠BAC=50∘\angle\mathrm{BAC}=50^\circ のとき、∠BOC\angle\mathrm{BOC} は何度ですか。

答えと解き方を見る

100∘100^\circ です。O は外接円の中心なので、∠BOC\angle\mathrm{BOC} は弧 BC に対する中心角、∠BAC\angle\mathrm{BAC} は同じ弧に対する円周角です。中心角は円周角の 2 倍なので 50∘×2=100∘50^\circ\times2=100^\circ。

問題3　三角形 ABC の内心を I とします。∠A=80∘\angle\mathrm{A}=80^\circ のとき、∠BIC\angle\mathrm{BIC} は何度ですか。

答えと解き方を見る

130∘130^\circ です。

  1. ∠B+∠C=180∘−80∘=100∘\angle\mathrm{B}+\angle\mathrm{C}=180^\circ-80^\circ=100^\circ。
  2. I は角の二等分線の交点なので、∠IBC+∠ICB=100∘÷2=50∘\angle\mathrm{IBC}+\angle\mathrm{ICB}=100^\circ\div2=50^\circ。
  3. 三角形 IBC で、∠BIC=180∘−50∘=130∘\angle\mathrm{BIC}=180^\circ-50^\circ=130^\circ。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

外心と内心のちがいは？

外心は3辺の垂直二等分線の交点で、3つの頂点から等しい距離にあり、外接円の中心です。内心は3つの角の二等分線の交点で、3つの辺から等しい距離にあり、内接円の中心です。

重心はなぜ2対1に分けるのですか？

中点連結定理や相似を使うと、重心が中線を頂点の側から2対1に分けることが証明できます。三角形の板を支えるつり合いの点にもなっています。

外心が三角形の外にあるのはどんなときですか？

鈍角三角形のときです。直角三角形では斜辺の中点、鋭角三角形では内部にあります。

重心の座標はどう求めますか？

3つの頂点のx座標どうし、y座標どうしをそれぞれたして3で割ります。3つの頂点の平均の点です。

三角形の五心とは何ですか？

外心・内心・重心・垂心・傍心の5つです。垂心は3本の垂線の交点、傍心は1つの内角と2つの外角の二等分線の交点です。

外心・内心・重心は何年生で習いますか？

高校の数学A「図形の性質」で習います。垂心・傍心とあわせて三角形の五心とよばれます。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（図形の性質：三角形の性質）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦