円周角とは？中心角との関係をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

円周角とは？中心角との関係をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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円周角とは

円周上の点 P から、弧 AB の両はしに引いた2本の弦がつくる角 ∠APB\angle\mathrm{APB} のことです。同じ弧に対する円周角はすべて等しく、中心角の半分になります。

読み方：えんしゅうかく／英語：inscribed angle／習う学年：中学3年（円周角の定理）

うかるくん

うかるくん

円周角と中心角って、どっちが大きいんでしたっけ？

合格先生

合格先生

同じ弧に対してなら、円周角は中心角の半分だよ。中心から見るほうが近いから、角が大きく見えると考えるといい。そして、円周上ならどこから見ても円周角は同じなんだ。

この用語のポイント

  • 円周角 ＝ 円周上の点から弧の両はしを見こむ角
  • 円周角 ＝ 中心角の半分。同じ弧に対する円周角はすべて等しい
  • 直径に対する円周角は 90°

やさしく言うと

円周角は、円周の上の1点から、弧の両はしを見こむ角です。円周上の点 P から、弧 AB の両はし A・B へ線を引いてできる角 ∠APB\angle\mathrm{APB} を、弧 AB に対する円周角といいます。

身近なたとえで考えてみましょう。

  • サッカーのゴール：ゴールポストの2本を弧の両はしだと思ってください。2本のポストを通る円の上なら、どこからけっても、ゴールの見える角度は同じです。
  • 円い劇場の客席：舞台の左はしと右はしを通る円の上に席をならべると、どの席からも舞台が同じ角度の広さに見えます。
  • 写真をとる：横に長い建物を、同じ角度の広さでカメラにおさめられる場所をさがすと、建物の両はしを通る円の形にならびます。
100° 50°50° O ABPQ 弧AB 円周角 ∠APB ＝ ∠AQB ＝ 50° 中心角 ∠AOB ＝ 100° 円周角 ＝ 中心角の半分
弧ABに対する円周角は、どこでも等しく、中心角の半分

まとめると、円周角は「円周上のどこから見ても同じ大きさで、中心から見た角（中心角）の半分」になる角です。

円周角・円周角でない角

○ 円周角

  • 頂点が円周上にあり、2辺が円と交わる角（∠APB\angle\mathrm{APB}）
  • 直径の両はしを見こむ角（90∘90^\circ になる）
  • 円に内接する四角形 ABCD の角 A（弧 BD に対する円周角）
  • 円に内接する三角形の内角（向かいの辺の弧に対する円周角）
  • 頂点が円周上で、短い弧の上にある角（長い弧に対する円周角。90∘90^\circ より大きい）

× 円周角ではない角

  • 頂点が円の中心にある角（中心角）
  • 頂点が円の内側にある角（円周角より大きい）
  • 頂点が円の外側にある角（円周角より小さい）
  • 頂点は円周上でも、1辺が円の接線になっている角（接線と弦のつくる角。接弦定理であつかう）
  • 2本の弦が円の内側で交わってできる角

円周角かどうかは、頂点が円周の上にあるかと、2本の辺がどちらも弦（円と2回交わる線）かで決まります。頂点が円の内側・外側にある角は、円周角の定理がそのままは使えません。

円周角の定理

  • 1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です。
  • 同じ弧に対する円周角は、すべて等しいです。

たとえば、中心角 ∠AOB=100∘\angle\mathrm{AOB}=100^\circ なら、円周角 ∠APB=50∘\angle\mathrm{APB}=50^\circ です。同じ円で弧の長さが等しければ、円周角も等しいこと、逆に円周角が等しければ弧の長さも等しいことも、あわせて習います。証明や例題は、公式辞典の「円周角の定理」にくわしくのせています。

図で見る

なぜ円周角は中心角の半分になるのでしょう。いちばん分かりやすいのは、中心 O が辺 PB の上にあるときです。

a a 2a O ABP OA ＝ OP（半径） → 二等辺三角形なので 　底角はどちらも a 外角 ∠AOB は となりでない2つの 内角の和だから ∠AOB ＝ 2a
OA＝OP の二等辺三角形の底角が a なら、外角の中心角は 2a

OA と OP はどちらも半径なので、三角形 OAP は二等辺三角形です。底角はどちらも同じ大きさ aa になります。中心角 ∠AOB\angle\mathrm{AOB} は三角形 OAP の外角なので、となりにない2つの内角の和 a+a=2aa+a=2a です。つまり中心角は円周角の2倍、円周角は中心角の半分です。O が角の内側や外側にあるときも、直径 PD を引いて2つに分けて考えると、同じ結果になります。

うかるくん

うかるくん

点 P を動かしても、どうして円周角は変わらないんですか？

合格先生

合格先生

P がどこにあっても、円周角は「同じ中心角 ∠AOB\angle\mathrm{AOB} の半分」だからだよ。中心角は P を動かしても変わらないよね。だから円周角も変わらないんだ。

直径に対する円周角

弧が半円（弦が直径）のときは、中心角が 180∘180^\circ なので、円周角はいつも 90∘90^\circ です。円の中に直角三角形を見つける手がかりになります。

O ABPQR AB は直径 （中心角 180°） 円周角はどれも 90°
直径ABに対する円周角は、どの点でも 90°

逆に、∠APB=90∘\angle\mathrm{APB}=90^\circ となる点 P をたくさんとると、P は AB を直径とする円の上にならびます。三角定規の直角の頂点を、2本のくぎにあてながら動かすと、円がかけるのはこのためです。

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

直径を見こむ円周角は、いつも90°！ 円の問題で直角をさがすときの合言葉だね。

円の内側・外側から見ると

同じ弦 AB を、円周上・円の内側・円の外側の3つの場所から見こむ角をくらべてみます。

AB P R S 円周上 P：40° 内側 R：約 61° 外側 S：約 31° 内側は大きく、 外側は小さく見える （弦ABの中心角 80°）
頂点が円の内側なら円周角より大きく、外側なら小さい

内側の点からは角が大きく、外側の点からは小さくなります。この性質を使うと、「∠ACB=∠ADB\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{ADB} なら、4点 A・B・C・D は同じ円周上にある」という円周角の定理の逆が説明できます。角が等しいなら、D は内側でも外側でもなく、ちょうど円周上にあるしかないからです。

テスト・入試ではこう出る

円周角の定理は中学3年で習います。高校入試では、角度を求める問題が毎年のように出ます。直径があれば 90∘90^\circ を使い、同じ弧に対する円周角をさがして、三角形の内角の和と組み合わせるのが基本の流れです。相似の証明（「円周角が等しいので、2組の角がそれぞれ等しい」）でもよく使います。高校の数学Aでは、円に内接する四角形・接弦定理・方べきの定理へと発展します。

例題1（中心角から求める）

円 O の周上に 3 点 A・B・C があり、中心角 ∠BOC=124∘\angle\mathrm{BOC}=124^\circ です。点 A が弧 BC をふくまない側にあるとき、∠x=∠BAC\angle x=\angle\mathrm{BAC} を求めなさい。

  1. ∠x\angle x と中心角 ∠BOC\angle\mathrm{BOC} は、同じ弧 BC に対する角。
  2. 円周角は中心角の半分なので、∠x=124∘÷2=62∘\angle x=124^\circ\div2=62^\circ。

答え　∠x=62∘\angle x=62^\circ

例題2（直径を使う）

AB を直径とする円の周上に点 C・D があり、A と D は弦 BC について同じ側にあります。∠ABC=34∘\angle\mathrm{ABC}=34^\circ のとき、∠BDC\angle\mathrm{BDC} を求めなさい。

  1. AB は直径なので、直径に対する円周角 ∠ACB=90∘\angle\mathrm{ACB}=90^\circ。
  2. 三角形 ABC の内角の和は 180∘180^\circ なので、∠BAC=180∘−90∘−34∘=56∘\angle\mathrm{BAC}=180^\circ-90^\circ-34^\circ=56^\circ。
  3. ∠BDC\angle\mathrm{BDC} と ∠BAC\angle\mathrm{BAC} は同じ弧 BC に対する円周角なので等しい（A と D は弦 BC について同じ側）。

答え　∠BDC=56∘\angle\mathrm{BDC}=56^\circ

机で勉強するうかるくん

うかるくん

「直径を見たら90°」「同じ弧をさがす」。この2つでほとんどの角度の問題が解けるぞ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

円周角は中心角の半分。どの弧に対する角なのかを、まず確かめよう！

  • どの弧に対する角かを取りちがえる：弦 AB には、短い弧と長い弧の2つがあります。点 P が長い弧の上にあれば、∠APB\angle\mathrm{APB} は短い弧に対する円周角です。中心角 100∘100^\circ の弧に対する円周角は 50∘50^\circ ですが、P が短い弧の上にあると ∠APB=(360∘−100∘)÷2=130∘\angle\mathrm{APB}=(360^\circ-100^\circ)\div2=130^\circ です。
  • 弦の反対側の円周角も等しいと思う：同じ弦 AB でも、弦をはさんで反対側にある円周角は等しくなりません。2つを合わせて 180∘180^\circ です（円に内接する四角形の向かい合う角の和が 180∘180^\circ になる理由）。
  • 中心角を円周角の半分にする：逆です。円周角が中心角の半分（中心角は円周角の2倍）です。
  • 円周角が弦の長さに比例すると思う：同じ円で円周角に比例するのは弧の長さです。弦の長さは比例しません。たとえば円周角が 30∘30^\circ と 90∘90^\circ のとき、弧の長さは 1：3 ですが、弦の長さは 1：2 です。
  • 頂点が円周上にない角に定理を使う：頂点が円の内側・外側にある角や、接線と弦のつくる角は、円周角の定理をそのまま使えません。図をよく見て、頂点が円周上にあるかを確かめましょう。

ことばの由来・歴史

「円周角」は、頂点が円周上にある角という意味の言葉です。頂点が中心にある角を「中心角」とよぶのと対になっています。英語では inscribed angle（インスクライブド・アングル）といい、「円の内側に書きこまれた角」という意味です。

円周角と中心角の関係や、同じ弧に対する円周角が等しいことは、古代ギリシャのユークリッドの『原論』第3巻にすでにのっています。直径に対する円周角が直角になることは、「タレスの定理」ともよばれます。

ミニ問題

問題1　円 O で、弧 AB に対する中心角 ∠AOB\angle\mathrm{AOB} が 140∘140^\circ です。点 P が弧 AB をふくまない側の円周上にあるとき、∠APB\angle\mathrm{APB} は何度ですか。

答えと解き方を見る

70∘70^\circ です。円周角は中心角の半分なので、140∘÷2=70∘140^\circ\div2=70^\circ。

問題2　円周上に 4 点 A・B・C・D があり、C と D は弦 AB について同じ側にあります。∠ACB=38∘\angle\mathrm{ACB}=38^\circ のとき、∠ADB\angle\mathrm{ADB} は何度ですか。

答えと解き方を見る

38∘38^\circ です。∠ACB\angle\mathrm{ACB} と ∠ADB\angle\mathrm{ADB} は、どちらも同じ弧 AB に対する円周角なので等しくなります。中心角を求める必要はありません。

問題3　円 O で、中心角 ∠AOB=80∘\angle\mathrm{AOB}=80^\circ の短いほうの弧 AB の上に点 P をとります。∠APB\angle\mathrm{APB} は何度ですか。

答えと解き方を見る

140∘140^\circ です。

  1. P は短い弧の上にあるので、∠APB\angle\mathrm{APB} は長いほうの弧 AB に対する円周角です。
  2. 長いほうの弧の中心角は 360∘−80∘=280∘360^\circ-80^\circ=280^\circ。
  3. その半分で 280∘÷2=140∘280^\circ\div2=140^\circ。

40∘40^\circ と答えるのは、どの弧に対する角かを取りちがえたまちがいです。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

円周角とは簡単にいうと何ですか？

円周上の1点から、弧の両はしに線を引いてできる角です。同じ弧に対する円周角は、どこでも同じ大きさになります。

円周角と中心角の関係は？

同じ弧に対して、円周角は中心角の半分です。中心角が100°なら、円周角は50°です。

直径に対する円周角はなぜ90°ですか？

直径に対する中心角は180°なので、その半分で90°になります。

円周角が中心角の半分になるのはなぜですか？

中心と円周上の点をむすぶと、半径2本を等しい辺とする二等辺三角形ができます。その外角が中心角になるので、中心角は円周角の2倍になります。

円周角の定理の逆とは何ですか？

2点C、Dが直線ABについて同じ側にあり、角ACBと角ADBが等しいとき、4点A、B、C、Dは同じ円周上にある、という定理です。

円周角は何年生で習いますか？

中学3年で円周角の定理として習います。高校の数学Aでは、円に内接する四角形や接弦定理などに発展します。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 B 図形（円周角と中心角）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦