扇形（おうぎ形）とは？面積・弧の長さをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

おうぎ形の面積の式、いつもわすれちゃいます…

合格先生

式を丸暗記しなくて大丈夫。おうぎ形は円の一部だから、円の面積に「円の何分の1か」をかければいいんだ。中心角60°なら1/6だね。

やさしく言うと

扇形（おうぎ形）は、円を、中心から2本の半径で切り取った形です。身近なところで探してみましょう。

• ピザやホールケーキの1切れ：真ん中から切り分けた1切れが、おうぎ形です。8 等分なら、1 切れは中心角 $360\div8=45^\circ$ のおうぎ形です。
• 扇子（せんす）：開いた扇子の形に似ているので、「おうぎ形」という名前がついています。
• 時計の長い針が通ったところ：長い針が 15 分で動くと、通った部分は中心角 $90^\circ$ のおうぎ形になります（円の $\dfrac14$）。

2本の半径の間の角を中心角、曲がった線の部分を弧といいます。中学の教科書では「おうぎ形」とひらがなで書くのがふつうです。

まとめると、おうぎ形は「円の一部」で、中心角が「円の何分の1か」を決める形です。

おうぎ形・おうぎ形ではない形

ポイントは、頂点が円の中心にあることと、2本の辺がどちらも半径（同じ長さ）であることです。

図で見る

おうぎ形の大きさは、中心角 ÷ 360 で「円の何分の1か」がわかります。よく出る角は、すぐ分数にできるようにしておきましょう。

ハルちゃん

どうして 360 でわるんですか？

合格先生

円をひとまわりすると $360^\circ$ だからだよ。中心角 $60^\circ$ なら、ひとまわりのうちの 60 個分で $\dfrac{60}{360}=\dfrac16$。弧の長さも面積も、この割合だけ円から取り出すんだ。

弧の長さと面積の求め方

おうぎ形は円の一部なので、まず「円の何分の1か」を中心角から考えます。中心角が $a^\circ$ なら、円の $\dfrac{a}{360}$ です。

中学受験の算数では、円周率を 3.14 として計算するのがふつうです（「約」の数は 3.14 で計算した値）。中学・高校では、ふつう $\pi$ のまま答えます。

ハルちゃん

まず「円の何分の1か」を考えるのがコツ！ 中心角60°なら 60÷360 で 1/6 だね。

面積は「弧 × 半径 ÷ 2」でも求まる

おうぎ形を細く切ると、1切れ1切れはほとんど三角形です。並べ直すと、底辺が弧の長さ、高さが半径の三角形と同じ面積になります。だから、弧の長さ $\ell$ がわかっていれば $S=\dfrac12\ell r$ でも求まります。中心角がわからないときに便利です。

高校の数学Ⅱでは、角をラジアン（弧度法）で表し、中心角 $\theta$ のおうぎ形の弧の長さを $\ell=r\theta$、面積を $S=\dfrac12r^2\theta$ と書きます。$\ell=r\theta$ を $S=\dfrac12\ell r$ に入れると、同じ式になります。

中心角を求める（逆算）

弧の長さと半径から中心角を出すときは、弧が円周の何分の1かを考えて、360° にかけます。

$$\text{中心角}=360^\circ\times\frac{\text{弧の長さ}}{\text{円周}}$$

この考え方は、円すいの展開図でよく使います。側面のおうぎ形の弧は、底面の円周と同じ長さです。そのため、中心角は $360^\circ\times\dfrac{\text{底面の半径}}{\text{母線の長さ}}$ で求められます。

テスト・入試ではこう出る

おうぎ形の弧の長さと面積は、中学 1 年で習います。中学受験の算数でも、円周率 3.14 を使った計算でよく出ます。よく出るのは、弧の長さ・面積・まわりの長さを求める問題、中心角を逆算する問題、円すいの展開図、図形が回転して通った部分の面積を求める問題です。

まちがえやすい点

合格先生

まわりの長さは「弧＋半径2本」！ 弧だけで答えないように。

• 弧の長さと面積の式をまぜる：弧の長さは円周（$2\pi r$）の何分の1か、面積は円の面積（$\pi r^2$）の何分の1かです。弧の長さに $r^2$ を使うのはまちがいです。
• まわりの長さで半径をたし忘れる：おうぎ形のまわりの長さは、弧だけでなく半径2本もふくみます。半径 6cm・中心角 60° なら、$2\pi$ ではなく $2\pi+12$（cm）です。
• 中心角を求めるとき、割合のまま答える：弧が円周の $\dfrac13$ なら、中心角は $\dfrac13$ ではなく $360^\circ\times\dfrac13=120^\circ$ です。
• 円すいの展開図で、半径を底面の半径にする：側面のおうぎ形の半径は母線です。底面の半径は、弧の長さを出すのに使います。
• ラジアンの式に度をそのまま入れる：$S=\dfrac12r^2\theta$ の $\theta$ はラジアンです。60° なら $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ を入れます。

ことばの由来

「扇（おうぎ）」は、あおいで風を送る扇子（せんす）のことです。広げた扇の形に似ているので、この図形を扇形（おうぎ形）と呼びます。扇の骨が中心から広がっている様子は、おうぎ形の半径によく似ています。

英語では sector（セクター）といいます。会社の「部門」などにも使う言葉で、全体を区切った一部分という意味があります。

ミニ問題

まなぶくん

中心角÷360で割合を出せば、弧も面積も中心角も、ぜんぶ同じ考え方で解けるね！

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• おうぎ形の面積と弧の長さの公式
• 円の面積と円周の長さの公式
• レンズ形・葉っぱ形の面積
• 図形の回転移動と通った部分の面積

あわせて覚えたい用語

• 弧と弦
• 弧度法
• 円周角

よくある質問